CHAPITRE l

De la ligue droite et du |)lau en g^'oéral.

394. — Il résulte de la définition que nous avons donnée de la ligne droite et du plan (4 et 5), que xi une droite a deux de ses points dans un plan, elle est tout entirre dans ce plan. Si , par exemple, on marque deux points .sur une surface plane, et qu'on applique contre ces deux points le bord d’une bonne règle, ce bord coïncidera dans toute son étendue avec la surface plane.

Il suit de là qu’f/«c droite ne. peut rencontrer un plan en plus d'un point , à moins d'vtre tout entière dans ce plan.

395. — Deux points, A et B (fig. 323), suffisent pour déterminer une ligne droite; on peut, au contraire, imaginer une infinité de .surfaces planes différentes , auxquelles ces deux points appartiennent, et qui toutes contiendraient la droite AB, déterminée par ces deux points. Deux points ne suffisent donc pas pour déterminer un plan. iMais si on l'assujettit à passer en outre par un troisième point C, pris au dehors de la droite A B, qui contient les deux premiers , ce plan sera entièrement déterminé; car on peut concevoir qu’a près avoir fait passer un plan quelconque par les deux points A et B , on fas.se tourner ce plan autour de la droile A B , jusqu’à ce qu’elle vienne passer par le point C, sa position sera

dès lors tout à fait fixée; c’est, pour nous servir d’une comparaison grossière, ce qui arrive à un battant de porte ; les gonds figurent deux points fixes par lesquels la surface vient constamment passer, quèlle que soit la position qu’on lui donne; et pour fixer cette position, il suffit d’amener la surface à passer par un troisième point, par exemple par la gâche où s’engage le pêne de la serrure.

Ainsi, trois points, non en ligne droite, déterminent un plan.

On pourrait en conclure immédiatement la proposi> tion qui va suivre; mais comme elle est fondamentale, il ne sera pas inutile d’en donner une démonstration directe.

396. — XHÉonËME. Deux plans qui ont trois points communs, non en ligne droite , coïncident dans toute leur étendue. Soient A, B,C (fig. 323), trois points non en ligne droite; et supposons, s’il est possible, qu’ils appartiennent à deux plans distincts , que nous appellerons M et P pour faciliter le discours. Si par les deux points A et B on fait passer une ligne droite, d’après ce que nous avons dit plus haut (394), elle sera tout entière dans le plan M ainsi que dans le plan P. Si par les deux points A et C on fait passer une ligne droite , elle sera aussi tout entière dans ces deux plans.

Cela posé , soit D un point quelconque du plan M. Dans ce plan, menons par le point D une droite EF, qui coupe AB ou son prolongement en un point E,.et qui coupe AC, ou son prolongement, en un point F. La droite E F ayant deux de ses points, E et F, dans le plan P, sera tout entière dans ce plan. Le point D appartient donc au plan P, et comme ce point D est un point quelconque du point M, le raisonnement précédent prouve que tous les points du plan M appartiennent au plan P. On démontrerait de la même manière que tous les points du plan P appartiennent au plan M. Ces deux plans ont donc tous leurs points communs, et cpïncident par conséquent dans toute leur étendue.

397 . — Deux droites qui se coupent , A B , A C ( fig. 323) ,

GIÉOMÉTRIE DANS LESPACE. 287

déterminent un plan; car, si l’on prend sur chacune d’elles les points B et C. , ces points, avec le point de rencontre A, détermineront un plan, et ce plan contiendra les deux droites AB et AC, puisque chacune d’elles y a deux points.

On peut se servir de cette remai’que pour produire effectivement une surface plane. Si l’on imagine qu’une droite quelconque EF se meuve sur les droites AB et AC .sans cesser de les couper, pendant tout ce mouvement la droite EF demeurera tout entière dans le plan déterminé par les droites AB et AC, puisqu’elle ne cessera pas d’y avoir deux points; si donc cette droite laissait des traces de toutes ses positions succe.ssives , la réunion de ces traces formerait le plan même dont nous parlons. C’est ce qu’on exprime en disant que ce plan serait engendré par le mouvement de la droite E F sur les deux droites AB et AC.

Application. On réalise ce mode de génération du plan dans la fabrication des tuiles plates, des briques, des carreaux. Le moule dont on fait u.sage e.st une petite caisse en bois ; l’ouvrier la remplit de terre molle un peu au-de.ssus des bords; il fait alors glisser le bord d’une règle sur deux bords contigus de la caisse; la règle, dans ce mouvement, enlève tout ce qui dépas.se le moule, et la surface ainsi obtenue e.st plane, puisqu’elle est engendrée par le mouvement d’une droite sur deux autres droites qui .se coupent.

II. Lorsqu’un charpentier veut scier transversalement une pièce de bois équarrie, il trace, à partir d’un point marqué sur l’un des bords de la pièce , deux droites sur les deux faces contiguës à ce bord; il fait ensuite mouvoir la scie de manière que .son tranchant vienne toujours passer par les deux droites ainsi tracées. Dans ce mouvement la scie produit une surface plane , puisque cette surface peut être considérée comme engendrée par le mouvement d’une droite sur doux autres droites qui se coupent.

III. Les tailleurs de pieri’e ont recours à un pi’océdé analogue lorsqu’ils ne peuvent point faire usage de la

ShXOWDE PARTIE.

scie : ils enlèvent avec le ciseau tout ce qui dépasse le plan de deux, droites qu'ils ont préalablement tracées, et vérilienl au fur et à mesure que la surface obtenue est plane, en y appliquant le bord d'une règle, dans tous les sens.

la détermination des surfaces planes au moyen de deux droites qni se coupent , est mise à profit dans prèsque'tous les ai'ts mécaniques.

398. — Considérons deux droites A B et Ë D (fig. 324) , placées d’une manière quelconque dans l’espace. Par deux points A et B de l’une, et un point C de l’autre , faisons passer un plan illimité. Il pourra arriver que la droite £D n’ait que le seul point C commun avec ce plan , en d’autres termes qu'elle perce ce plan au point C. On sera assuré alors qu'il n’existc aucun plan qui puisse contenir à la fois les deux droites A B et E D; car si un tel plan existait, il se confondrait avec le plan ABC, puisqu’ils ont trois points communs; or, le plan ABC ne contient , par supposition , que la droite AB ; la droite ED le perce et n’y est point contenue.

Les droites AB et ED, qui ne peuvent appartenir à Wà même plan , pourraient être prolongées indéfiniment sans jamais se rencontrer ; car si elles se rencontraient , elles détermineraient un plan (397). Cependant ces deux droites ne sont point parallèles ; la définition que nous avons donnée des parallèles dans la Géométrie plane (80), suppose implicitement que les droites comprises sous cette définition sont situées dans un même plan.

399. — Deux parallèles déterminent un pla/i; cela devient évident d’après les remarques qui précèdent. Par deux points de l’une des parallèles , et par un point de l’autre, faisons, en effet , passer un plan; ce plan devra contenir les deux droites; car si la seconde ne faisait que le percer, les deux droites ne pourraient appartenir à un même plan, et ne seraient par conséquent point parallèles.

On peut se servir de cette propriété des parallèles pour produire une surface plane. Si l’on imagine qu’une droite quelconque se meuve sur deux parallèles , sans

ci£o.MtTiuE dajns l’espack. 289

cesseï’ de les couper, pendant tout ce mouvement, elle demeurera tout entière dans le plan déterminé par les deux parallèles , puisqu’elle ne cessera pas d’y avoir deux points; si donc cette droite laissait des traces de toutes ses j)osilions successives, la réunion de ces traces formerait le plan même dont nous parlons; ce plan j>eut donc être considéré comme engendré par le mouvement de cette droite.

On réalise ce mode de génération dans plusieurs industries.

Applications. I. ?ious pouvons reproduire ici l’exemple déjà cité des tuiles plates, des carreaux et des briques. Les bords supérieurs de la caisse qui sert de moule forment un rectangle AB CD (fig. 32-5); l'ouvrier, pour enlever l’excès de terre et rendre plane la surface sur laquelle il opère, fait d’abord glisser la règle sur les deux bords contigus AB et AD; elle continue à glisser sur les bords parallèles AB et DC, et achève sa roule sur les deux bords contigus D C et B C. La surface plane se trouve donc déterminée , d’abord par deux droites cjui se eoupent, ensuite par deux droites parallèles , et finalement par deux droites qui se coupent. Les trois portions de surface plane ainsi obtenues ne font qu’une seule et même surface plane , parce que les droites AD et BC sont dans le plan déterminé par les parallèles AB et DC, puisqu’elles y ont chacune deux points.

II. Les scieurs de long , pour se guider dans leur travail, Iraeent une ligne droite sur la face supérieure de la pièce à débiter, et une parallèle à cette droite sur la Jace inférieure; ils font ensuite mouvoir la scie de manière que son tranchant passe constamment par les deux parallèles; les surfaces ainsi obtenues sont planes, puisqu’elles peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement d’une droite sur deux autres droites parallèles.

III. Le même procédé s’emploie dans la coupe des pierres : si l’ouvrier ne fait point usage de lu scie , il enlève avec le ciseau tout ce qui dépasse le plan des deux

Diûiîizod by VjOOgli:

SECONDE jpaktie:

parallèles , et vérifie avec la règle, que la surface obtenue «st plaoe.

. IV.€’est CD vertu du même principe que , pour rendre plane la surface d’une toUe sur laquelle on veut dessiner -ou peindre, on tend t^teraent cette toile , dans le sens des fils qui fcu*mcnt la chaîne, sur deux des bords parallèles d’un châssis rectangulaire, et, dans le sens des fils qui forment la trame, sur les deux autres bords parallèles du même châssis. Chaque système de fils tendus dans leur longueur sur deux droites parallèles, forme une surface plane.

On rend également plane la surface d’une feuille de papier, en la collant mouillée sur les bords d’un cadre rectangulaire ; en sériant elle s’étend de chaque bord au bcu'd opposé, qui lui est parallèle, et devient ainsi parfaitement plane.

Dans presque tous les arts mécaniques, ou fait usage des parallèles pour la détermination des surfaces planes.

400. Thëorëme. L’intersection de deux plans est une ligne droite. En effet , l’intersection de deux surfaces ne peut être qu’une ligne ; celle de deux plans ne peut être qu’une ligue droite ; car s’il s’y trouvait seulement trois points qui ne fussent pas en ligne droite, les deux plans coïncideraient dans tonte leur élcndne, en vertu du théorème du n® 396.

■ 'Applications. I.'.Les menuisiers se fondent sur ce principe pour dresser le bord d’une règle. Après avoir rendu plane la plus large face de la règle, ce qu’ils obtiennent au moyen du rabot, et en plaçant de temps en temps l’œil dans le prolongement de cette face pour s’assurer qu’elle n’offre aucune partie s’aillante, qui, dans cette position, deviendrait appréciable, ils n’ont plus qu’à rendre également plane la petite face de la 'règle contiguë à la première; ‘le bord de la règle qui est l’intersection de ces deux faces )>lanes, est nécessairement une ligne droite.

II, Supposons qu’une bougie àllurace soit placée sur une table rectangulaire ABED(fig. 326) dans l’intérieur d’un appartement; tous les rayons lumineux , par-

GÉOMÉTBIE I)AWS l’fSPACE. 291

tis de la flainiiie de la bougie, qui viendront raser un même bord A B de la table, seront dans un même plan. Si le bord dont nous parlons est placé assez près d'une muraille pour que son ombre s’y projette, la ligne de séparation a b entre l’ombre et la partie éclairée sera 4’interseclion du plan de la muraille avec le plan des rayons dont nous parlons. Cette ligne de séparation sera donc une ligue droite, quelle que soit la direction que l’on donne au bord de la table; et c’est ce qu’on observe , eu effet , lors même que la muraille a une position inclinée, comme cela arrive dans les mansardes.

III. Le problème général de la pcrspectwe consiste à représenter sur une surface plane la forme apparente des objets que nous avons sous les yeux ; et comme nous rapportons les objets dans la direction des rayons visuels menés de notre œil à ces objets, le problème se réduit à trouver l’intersection de ces rayons visuels avec la surface sur laquelle les objets doivent être représentés, et que l’on nomme le plan du tableau.

Tous les rayons visuels menés de notre œil ainj^ différents points d’une même ligne droite, telle que le bord <l’une corniche , d’un toit, etc., sont dans un même plan. Leur intersection avec le plan du tableau doit donc former une ligne droite ; c’est-à-dire qu’«/<e ligne droite reste droite en perspective ^ quelle <|ue s<)it d’ailleurs sa position. Si, par exemple, MN (fig. 327) représente le plan du tableau, O l’œil du spectateur, A, B, C, D, différents points d’une ligne droite Al), et«, b, c, d, les intersections respectives des rayons visuels OA, OB , OC, O D, avec le plan du tableau, ces intei’sections seront en ligne droite , et la droite ad sera la perspective de la droite AD.