CHAPITRE IL

Des droites perpendiculaires entre elles dans l'espace , cl des droites perpendiculaires à des plans.

40t. — Théouémb. Si une droite AO (fig. 898) qui rencontre wi est pewpasdiculaire à deux droites

SECONDE PABTIE. »

OB , OC , menées par son pied dans ce plan, elle est aussi perpendiculaire à toute autre droite 01) passant par son pied dans ce même plan. Pour le prouver, tirons une droite quelconque BC, qui coupe les trois droites O B , OD, OC. Prolongeons AO au-dessous du plan MN, d’une quantité OA' égale à OA; et joignons AB, AD, AC, A'B, AD, A’C.,

Les droites CA et CA' sont deux obliques égales, puisque leurs pieds sont également distants du pied de OC perpendiculaire à AA'. Les droites BA , B A' sont ans.si deux obliques égaies, puisque leui’s pieds sont également distants du pied de O B perpendiculaire h A A‘. Les deux triangles ABC et A' B C ont donc leurs trois côtés égaux chacun à chacun; ils sont donc égaux, et il en résulte que l’angle ABC est égal à l’angle A'BC.

Mais si l’on considère les deux triangles A BD et A'BD, on voit qu’ils ont un angle égal ABÜ = A'BD , compris entre côtés égaux chacun à chacun; ils sont donc égaux, et il en résulte AD — A'D.

La droite OD a donc deux de ses points, O et D, à égale distance des extrémités de la droite AA' ; elle est donc perpendiculaire sur cette droite (75) ; et réciproquement AO est perpendiculaire sur OD.

CoROixAiRE. Sur un plan, on ne peut, par un point donné d’une ligne droite, lui élever qu’une seule perpendiculaire. Il n’en est plus de même dans l’espace; par un point d’une droite donnée, on peut lui élever une infinité de perpendiculaires. Le théorème précédent fait voir que toutes ces perpendiculaires sont dans un même plan.

En effet, soient O B et OC (fig. 329) toutes deux jjerpendiculaires à AO; et soit MPi le plan des droites OB et OC. Je dis que toute autre droite élevée j)ar le point O perpendiculairement à A O , sera dans le plan M ]\. Car, si O 1 était une jK^rpendiculaire à AO qui ne fût point située dans le plan M N , on pourrait , suivant AO et O I , conduire un plan , qui rencontrerait le plan MN, puisqu’ils ont le point O commun. SoilOE leur intersection. Les trois droites A O, 01 , OE, seraient dans un même

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plan; l’angle AOI serait droit d’après notre supposi* tion; mais l’angle AO E serait droit aussi d’après le Ihéopème prtkîédent. On pourrait donc, dans un même plan, élever, par un même point d’une droite AO, deux perpendiculaires, OI et OE , à cette droite , ce qui est impossible.

Remarque. Lorsqu’une droite, qui rencontre un plan , est perpendiculaire à toutes celles qui passent par son pied dans ce plan, on dit que la droite est perpendiculaire au plan.

Réciproquement : quand un plan, qui rencontre une droite, contient toutes les perpendiculaires menées à cette droite par son pied, on dit que le plan e.st perpendiculaire à la droite.

402. — Tiiëorëme. Far un point donné hors (F un plan, on ne peut abaisser sur ce plan qu’une seule perpendiculaire. Supj)osons en effet que d’un point O extérieur à un planlUW (fig. 330) on puisse abaisser sur ce plan deux perpendiculaires OA et OR. Joignons AB. D’après la définition que nous venons de donner d’une droite perpendiculaire à un plan, chacune des deux droites OA et O B serait perpendiculaire à la ligne AB qui joint leurs pieds. Mais cette ligne AB est dans le plan des droites O A et O B , puisqu’elle y a deux points; dans le triangle AOB il y aurait donc deux angles droits, ce qui est impossible.

403. — TiiËuiiËME. Par un point pris sur un plan on ne peut lui élever qu’une seule perpendiculaire. Supposons en effet que par un point O pris sur un plan M J\ (fig. 331) on puisse lui élever deux perpendiculaires OA et O B ; ces deux perpendiculaires détermineraient un plan , qui , ayant le point O commun avec le plan MN, couperait ce plan suivant une droite OC. I.’angle AO C serait droit, puisque AO est perpendiculaire au plan MN; l’angle BOC serait droit aussi par une raison semblable. Or, les trois droites OA, O B, OC sont dans un même plan ; on pourrait donc , dans un même plan, élever à une même droite OC, deux perpendiculaires O A et OB , ce qui est impossible.

394 9KOONDB PARTIS.

404. •— Tiiëoréme. Pat un point pris sur une droite ^ on ne peut mener qu’un plan perpendiculaire à cette droite. Car ce plan doit contenir toutes les perpendiculaires menées à la droite donnée par le point donné; et nous avons démontré (401 , Coroll.) que toutes ces per- |>endiculaires sont dans un même plan.

40Ü. — TtiËORÉMB. Par un point pris hors cFune tlroite, on ne peut mener qu’un seul plan perpendiculaire à cette droite. Supposons en effet, que, par un point O pris hors d’une droite AB (fig. 332) , on puisse mener deux plans perpendiculaires à cette droite. Soient C et D les points oii ces plans rencontrent la droite A B. Joignons ÜC et OD. L’angle ACO serait droit; l’angle BDO serait droit aussi; il y aurait donc dans le triangle DOC deux angles droits , ce qui est impossible. On ne peut pas sup|M)ser non plus que les points C et 1) coïncident; car alors on pourrait, par un même point C de la droite AB , mener deux plans perpendiculaires à cette droite, ce qui est également im|X)ssible (404).

406. Toute droite qui rencontre un plan sans lui être perpendiculaire est dite oblique à ce plan.

Tiiéohéme. Si par un point O extérieur à un plan MN (fig. 330), on mène à ce plan une perpendiculaire O A. et une oblique O B , t oblique sercC^ plus longue que la perpendiculaire. Car, si l’on joint AB, le triangle O AB sera rectangle en A. L’hypotliénuse O B sera donc plus grande que le côté O A opposé à un angle aigu.

Corollaire. La véritable distance d’un point à un plan , est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.

407. — Théorème. Si par un point A pris hors d’un plan MN (fig. 338) on mène à ce plan la perpendiculaire A O , différentes obliques A B , A C , AD, telles que le pied de la perpendiculaire soit également distant du pied de chacune (F elles f ces obliques sont égales. Car, si l’on joint O B, OC, OD, ces droites seront égales par .supposition. Les triangles AOB, AOC, AOD, rectangles en O, ont donc un côté égal; ils ont de plus un autre côté commun AO; ces triangles sont donc égaux; et

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par coiTsë(}uent leurs liypothéauses AB, A€ÿAD'ÿ sont égales. J*. .;.]() 'K ,f! i /itio ‘Uï --J.la?

CoBoixAiRC. Si dii pied O de là perpendicuiaire, comme centre, avec Un rayon quelconque QByOndécrit une circonférence BCD, chaque point de la perpendiculaire sera à égale distance de tous les points de cette circonférence ; car les distances d’un même point de la perpendiculaire AO , aux différents points de cette circonférence , seront des obliques égales , d’après le théorème précédent. ' . . •

408. — Tbéorëme. Si par un point A, extérieur à un plan M N (fig. 333) , on mène à ce plan la perpendiculaire AO, et deux obliques quelconques A B , A I , l’oblique A I « dont le pied s’écarte le plus du pied de la perpendicu^ laire y est la plus longue. En effet, joignons OB et 01 ; prenons OC — OB ; et tirons AC. Les obliques AB et AG seront égales, d’après le théorème précédent. Mais les droites 'A Cet 01 sont dans le plan O AI, puisque chacune d'elles y a deux points. Or, dans ce plan, la droite AO étant perpendiculaire à 0 1 , les droites. AC et A I sont obliques par rapport à O I ; et puisque A 1 est celle dont le pied est le plus éloigné du pied de laipérpendiculaire, on a Ai ^ AC, ou, ce qui revient ait même, AI AB. . . m;-i ! . . >»

CoRoi.LAiREi II résulte oe qui précédé : l°que, si deux obliques sont égales y le pied de la perpendiculaire est également distant du pied de chacune d’elles ; car dans le cas contraire elles seraient inégales ; 2“ que, deux obliques A B cf A I sont inégales , le pied de la plus longue s'écarte davantage du pied de la perpendiculaire', et l’on a 01 >• O B ; car, si cela n’était pas, il faudrait qu’on eût ou 01 = OB, et alors les deux obliques AI et AB seraient égales , ou O I >< O B , et alors l’oblique AB serait la plus longue, résultats également contraires à la supposition. .• ;

Remarque. Toutes les obliques égales à AC viennent aboutir à la circonférence ((ui a pour centre le pied O de la perpendiculaire AO, et pour rayon ladistanceOC fhi pied de l’oblique au pied de la perptndiculaire ; caé

si le pied d’nne de ces obliques tombait en dehors on en dedans de celte circonférence , celte oblique serait plus grande ou plus petite que AC. 11 suit de là que si, du point A, avec une longueur constante AC, on décrivait une courbe sur le plan Td N, celle courbe serait une circonférence de cercle B C Ü , et le centre de celte circonférence serait le pied 0 de la perpendiculaire abaissée du point A sur ce plan.

409. — Pboblëme. Par un point donné sur un plan 'élever une perpendiculaire à ce plan. On emploie , pour ré- .soudre pratiquement ce problème, une double équerre (fig. 334) ou équerre à deux branches , formée de deux équérres ordinaires réunies par l’un des côtés AO de l’angle droit. Pour déterminer au mo^en de cet instrument la direction de la perpendiculaire cherchée , on pose l’instrument sur le plan donné , de manière que les côtés O B et O C coïncident avec ce plan , et que le point O tombe au point donné. La droite A O est alors la perpendiculaire cherchée; car cette droite est perpendiculaire aux deux droites OB et OC menées par son pied dans le plan donné. ;

On peut résoudre le même problème au moyen de trois cordeaux. Pour cela, soit O (fig. 335) le point donné. Tracez sur le plan donné deux droites quelconques OB, OC qui passent par le point O. Prenez sur chacune d’elles une longueur de 3 mètres, de 3 pieds, ou en générai de 3 unités de longueur quelconques. Soient O B et OC ces longueurs. Aux points B et C fixez le bout de deux cordeaux dont la longueur soit de 5 unités; et au point O, le bout d’un troisième cordeau dont la longueur soit de 4 unités. Béunissez en un même point A les bouts libres des trois cordeaux tendus ; le cordeau AO donnera la direction de la perpendiculaire demandée. . *

Car , comme on a 25= 9 +16, ' , : 1‘

ÂB’=ÏÏB’ + AÔV AC’=ÔC’+AÔ*.

on aura

et

vr<lv*

fi!

Les triangles AO B, AO C sont donc rectangles en O; la

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 297

droite AO, étant perpendiculaire aux deux droites O B et OC qui passent par son pied dans le plan donné , est donc perpendiculaire à ce plan.