S NOUVELLE THÉORIE
i$ nom fioms
le carré de la dîitancr BfM' aura pour Taleur
f*t « Ton dmgne par r la distance BFiii an point Bf, d'un antre point m dont M Mit k {iro|ecti«i snr 4e plan de la figure, et dont la distance à M tok repreientée fiar x, on ann
IjCs ëlémens de Tolnme correspondans à ces points M' et m anront pour expressions aidJék^ et frAfyfjnrfr; et si le liqnide dont sont formés les deaX'prismeaest le liquide intérieur an^el répond la force Q , leur action mutuelle , dirigée suivant la droite M'ni, devra être représentée par le produit
9 ^tuil. k niéni* foiiction de r que dans Je owném ptéoédo^
I# jMOWie des profectsons de tf et «("aur ia droite DE, on k partie air de œtte droite interceptée ente Jes peqpendicakifes MNetMW^ scn fjgsk^ iiCDSP^tf'cosi/;«n k divisant par r, onannlecosîoos de Tangk que £dt k ilroite M'mavec k dmctâon ^e Q> ; ^p«r conséquent, on aura
L'intégrale rskfite a 2t aélMdn seidement depms xtsso jusquTi «r ras 90 , parée que Von a doublé le résultat; les inti^raAesTdatives à uAtt seront an« prises depuis ti r^ o et tt'csso jusqult usioo irt tiiaextb . Quant aux inti^rales qui répondent à (^ et /, dBes auront pour Htnites les angles a^hfd^V\^\ comme les élémens de volume dont on a 6nt usage supposent les difierentielles d» et às^ positives, et, par conséquent, left angles p et i/ croissant dans ces intégrations, n faudra toujours prendre pour k première limite relative à p, le plus petit des den)t angles a et 6 , en ayant égard ^ leun signes , et pour k limite relative k i^', le moindre des deux latigles i/ et b'.
Cela posé, rintëgrale quintuple se réduira à une intégrale simple, pr Tanalyse suivante.
(4S). Je mets xu , xu', xdu^ xdu% k la place de u, vl^ du, du' ; ce qui ne change rien aux limites zéro et Tinfini des intégrales relatives à a et £1^. D en résulte
Z » a fffff^ IS^ϱ£2^ a*uu!dxdudu'd.d/, r' =s o:* [i -f- w» -f- «'' + 2UU* cos {sf *f- p')]. Cette dernière- équation donne
X'ax =» ^^:^^ + ,/. ^. aw^ efls (i^ + /)]' '
les limites relatives à r seront aussi rs= o et r == 00 » et la valeur de Z deviendra
2kf^Kr^drz=^i^qk,
en faisant^ pour abréger,
k 8=a fflt A r ^ ïT^^iiA — ^ / '^ ,yy. dudu!dudv^.
et ayant égard à la valeur de 9 du n"" n4< Si noua faisons maintenant
i< = pco80| a/s=spsinO; dudu' s:^ pdo d6 ,
les limites relatives à p et 8 seront pssoet p =1 co , fissoei
Oss-^, et nous aurons
OU, ce qui est la même chose ,
eo mettant p dirbé par y/i + a cos fl sin 9 cos(c -|- «*') à la piace de p ce qui ne change rien aux limites.
Par les règles ordinaires, on trouve
L'intégrale relative à 6 s'obtient aussi , mais moins simplement. Je fais d aboitl
il en résulte
cos fl = -V(co8 fl'— sin flO» «in ô = 4= (cos fi' + sin fl*) j et si Ton appelle g Tintégràle quil s'agit diobtenir, on aura
•y o [i + a coâ 6 ai
8În 6 cos i/) C08 9 a infl ,|i
sin 6 cos ((^ + /)]
2 /*? ^cos y + cos y) cos fl^ — (cos y
^? • <cos i. + cos cos 9' - (cos ^-co^Qainy ^ ^g,^.
On peut supprimer la partie de cette dernière intégrale qui renferme le facteur sin 6' sous le signe /, et qui se composerait d elémens deux à deux égaux et de signes contraires ; on peut aussi ,
eu doublant le résultat, prendre 6'=^o et 0' =» ^^ P^^^ limites de 'autre partie; et si Ton y fait, en outre,
sin fl'srs j , cos ÔWfl' =r djr, cos 26' = i — 2j^ , on aura simplement
■ 1 /• V^ (cos y + cos O
*^Vo [1+C08(f+/)--
(cos y + cosV) (i — y)«ty
Kn effectuant cette intégration par les règles oitlinaires , il yient
cos V + cos /
s SCi + cosCi' + O?*
Au moyen de ces valeurs des intégrales relatives à p et à 6, la valeur de k devient
DE L'ACTK»^ CAPILLAIRE.
jr ^ ph f*V (cQg y ^ cos y^) |/i»|//
(44) • On a identiquement
c os y -f CO> V^ .^ «/«L "™ ^^^ "^ ^'^ **" ^
I + COs(i' + O "^ I+COsCi'+i') '
ot, par conséquent^
/**^ (cos«' + cosi'')</v ^__^ /^^^ cos v'dv' ^j /^y sin(t>+i/)8in/</y' «^ [l + cos (i' + y')Y^J 4^ l + COsCt'+O **" J a' [l + 008(P+v')]*
En intégrant par partie , on a aussi
'^ sin (p +1*') siq s^d^ ^^ sin y sin o^
fl* [i + cos (i' + /)]' *"" i + cos(i»+6') i + cosCi'+a')
r^ oos/J/
a' i + coa(«'+ «O*
et si Ton ajoute cette équation k la précédente^ il en résulte
/•*' (cos V + cos v) dv' ^^^ sin V sin ai
le [i + cos (i' + i/)J» ^" I + cos {y + *') 1 + 005(1^ + 11') ^
d'où l'on conclut
«- Jtf i-hcos(i'+y) j II i + cosCi' + ir)
J'effectue ces intégrations par les règles ordinaires^ puis je substitue la yaleur de k qui en résulte dans celle de Z; il vient finalement
Z = î{sin V [tangl(aH-éO- **«g5(*+ *')]
— sin d [tangi(a + €/) ~tangi(a'+- 6)]}. (4)
Si l'on eût intégré d'abord par rapport à v^ et ensuite par rapport à 1^, on aurait trouvé cette autits formule :
Z = î{sîn6[tangi(a'+6)-!ang.^(6 + é')]
— sin a Qang i (a + a';— tang j (a •+ i')]} , (6)
qui doit être équivalente à la précédente.
Dans les applications qu'on fera de ces deux formules | on se sou- Tiendra que les différences b ^— a et i/-^ a' sont supposées toutes deux positives.
Relativement à la quantité V du n^ 38, il faudra prendre les lignes MF, MF, MA^ MN, de la figure lo, au lieu des droites CÀ, CB, CA', CB', de la figure 12 , et la ligne FMO à la place de Taxe ECD, à partir duquel sont comptés les angles a, a!^ b, b\ On aura alofB
a = o, é = FMB's= ne — iê,
a' = A'MO=:aP— -jr, ft'=OMN = ûi— ' ît;
Où étant, comme dans le n^ 4^9 Tangle RMN, obtus ou aigu, mais toujours ccmipris entre zéro et 9r, ce qui rend positives les différences ^ — - a et b' — a\ Il en résultera immédiatement
V = — ç sin ûi ,
quand on fait usage.de la formule (5). Lorsqu'on emploie la for^ mule (4)> on trouve
V = jf jcos co tang Q^ •"- ' ^) "h ^os cê — ^sîn ai cot -^ â»
quantité qnW peut effectivement réduire à — - jf siû ûi. Dans le cas particulier de ai s=: -tt , la figure xo montre que la force V est égale
a la force F du n^ 38, dont la valeur est, en effet, P = — q:
(45)« La quantité Z devient, en général, infinie, lorsque Tune des sommes a-^-a', b'^b\ a + &', a'+^, est égale à sbTT; ce qui tient à ce que les deux prismes ont alors une face commune, et qu'on a supposé leurs faces infinies. Mais si , en même temps , l'un des angles a, 6, a% V^ est zéro ou d= ^, le terme qui ren*
drait la valeur de Z infinie se présente sous la forme -, et est réellement indéterminé ; circonstance qui exige une attention parti-* culière*
Supposons, par exemple, que les droites CA et CA'se confondent avec CE (iig. î5), en sorte que Ze exprime l'action exercée, suivant . la direction CD , par le prisme dont la section est BCE , sur la
couche liquide située à gauche de DCE et augmentée ou diminuée d'une partie correspondante à l'angle DCB' , selon que la droite CB' tombe à droite ou à gauche de CD^ c'est-4i*dire selon que l'angle b^ est positif ou négatif. Ou aura alors
a = o, fl'= — -jr, ft = ECB, A'5=DCB';
et en faisant
sinatang-(a*4*a')s=:a:, sin a'tang -(a + a')=«%
les formules (4) et (5) deviendront
Z = q Tsin b' tang -b' — sin b' tang -^ (A + i&')— x' J ,
Z es — ç jsin b cot - ft *f- sin i tang - (fr+ ^OH" -'^ ] -
Or, X et x' dépendant de deux quantités a et a' indépendantes entre elles, on ne saarait déterminer, à priori ^ les véritables valeurs de x
et â/j t}ui se présentent sous la forme - pour les valeurs particu«*
Hères a=:oeta'=: — «tT; mais il y a un cas dans lequel on a évî*demment Z = o , ce qui suflSt pour la détermination des inconnues X et a^. Ce cas a lieu quand on fait coïncider CB et CB' avec les deux parties CG et CG' de la perpendiculaire à DCE mîenée par le point C ; car il est évident que laction de GCE sur G'CE est nulle suivant la direction CD. Si Ton fait
ft=ECG = i^, A'=DCG'=— -^,
il faudra donc qu'on aitZsso; d'où l'on conclut xss-— i, x'=i. Par conséquent, on aura
Z = çrsînA'tangi*' — sin*'tangi(ft + AO — 'T Z = — 9 [ sin & cot - 6 -4- sin 6 tang -{b + b') — 1 |.
On vérifie sans peine l'égalité de ces deux valeurs; nous prendrons leur demi -somme pour l'expression de Z, que l'on pourra
écrire ainsi :
Z=:— -^(oos b 4-cosi') — -q (sîn b -|- mû b*) tang - (^ + ^')* (^)
On vérifie aussi, non pas chacune des yaleurs de «r et x'f mais leur différence; car, à cause de
sin </ — • sia a =3 asin -(a'— a)cos-(a4-^)^ cette différence est
a/ — or = a sîn - (a! — a) sin - (a -f- a') ,
et, par conséquent 9 x' — a: = a, dans le cas de as=o, â'=ss-^^.
Si l'on fait coïncider la droite CB' avec le prolongement CF de la droite CB, on aura b^s=: — bi ce qui réduira la formule (6) à
Z = — qcosb}
Zi étant alors l'action exercée, suivant la direction CD, par le prisme qui répond à BCE sur la couchç liquide correspondante à FCE. En prenant pour b le sirpplément te — â» de l'angle qui a été désigné par o^ dans le n"* iS, la force Q, dont on a calcujé la valeur dans ce numéro , sera l'intégrale de — Zds étendue à tous les élémens ds du contour de la couche liquide, sur laquelle cette force s'exerce. Or, à cause que la constante q est ici la même que dans le n° i8, on voit que cette valeur
Q sa ^^fZds = — qfcos mds^
coïncide avec la formule (lo), que l'on a obtenue d'une autre manière.
La formule (6), ainsi que chacune des équations (4) et (5), suppose que les faces des prismes s'étendent à l'infini ; ce qui n'a pas lieu dans le cas de la force (^ du n^ 38. Mais si l'on prolonge indéfiniment les lignes OF et ÂG au-dessous de la droite GL (fig. lo), on n'altérera pas la valeur de Qc; car, par là, on y ajoutera l'action de CFL sur le prolongement de C, qui est nulle suivant FO, et les actions de LFMB' sur ce prolongement et de LFC sur C , qui sont égales et ooniraîres. Nous pouvons donc appliquer la for*
DE L'ACTION CAPILLAIRE. y!'
mule (6) à la quantité Q; et, pour cela, il y faudra faire
6'=:0MA'=:«» — », & = FMN = -îr— «;
(ê étant le même angle KMN que dans la yaleur de V du numéro précédent. De cette manière, on llrouve
Q = 9 (sin oà 4- cos m) ;
on aura , par conséquent ,
V + Q = 17 cos a ; (7)
et 1 équation (5) deviendra finalement
jT — •'sssCjr + ^rOcosa. (8)
(46). Les normales ji la surface du tube et à celle du liquide, menées par le point 0^ étant sensiblement parallèles aux droites MK et MN, on peut rapporter cette dernière équation è ce point même de la surface du liquide. Ainsi , en un point quelconque O de la surface capillaire, dont la distance è la paroi du tube est insensible ^ mais phis grande que les rajrons d'actiyité des molécules du tube et du liquide , l'angle <» compris entre la partie extérieure de la normale au liquide et la perpendiculaire abaissée du même point sur la paroi voisine du tube, est indépendant de la courbure du tube et donné par l'équation (8).
Dans ce qui précède, nous avons supposé qu'*il s'agissait de la surface libre d'un liquide placé dans le vide ; mais on parviendra à un résultat semblable , si l'on suppose que le point appartienne à la surface de séparation de deux fluides quelconques , pourvu qu'il soit toujours situé à une distance insensible de la paroi du tube : il sera facile, en effet, de voir comment l'équation (8) devra être mo* difiée.
Nous supposerons, dans ce cas général, que les quantités q et tw appartiennent au liquide inférieur; nous désignerons par q^ et 4r' ce que ces quantités deviennent relativement au liquide supérieur, en sorte que e^ soit une force provenant de Faction du tube sur la couche adjacente de ce liquide, et dirigée en sens contraire de la
force £9 da n* 58; nous étendrons, comme dans le n^ o^^^ Tint^rale représentée par q^ aux couches adjacentes des deux liquides; enfin, nous désignerons par ^ Tangle comptis entre la partie de la normale à cette sur&ce , contenue dans le liquide supérieur, et la perpendiculaire à la paroi du tube, menées Tune et l'autre par le point 0. On verra, sans peine, que l'équation (8) devra être remplacée par celle-ci :
c'est-à-dire
K==Gcos(p, (9)
en faisant
Le coefficient G entre déjà dans l'^équation (7) de la surfece capillaire (n^ 29); le coefficient K est une autre constante qui dépen*« dra de la matière des deux liquides et de celle du tube, à raison des quantités 9 et 49^. Si Ton appelle F et F^ les valeurs de K qui auraient lieu • relativement au Hqnide inférieur et au liquide supérieur, considérés isolément , on aura
en sorte que la valeur générale de K peut se conclure de ses deux valeurs particulières, ce qui n'a pas lieu à l'égard du coefficient G.
L'angle 9 sera constant pour tous les points du contour de la surface capillaire, si toutefois le tube est homogène. Si la matière du tube variait par degrés insensibles, l'angle (p varierait de même, et serait toujours déterminé, en chaque point, par l'équation (9). Réciproquement, quand cet angle sera donné par Tobeervation , il fera connaître la valeur correspondante et le signe du rapport de
Kà G.
(47). L'équation relative ^u contour de chaque surfieice capillaire servira à déterminer les fonctions arbitraires contenues dans l'intégrale de l'équation de cette surface ; mais cette dernière équation étaot du second ordre, son intégrale complète renfermera deux fonctions, et il faudra deux conditions particulières pour les détermi-
DE L'ACTION CAPILLAIRE. gS
ner. Or, la jirojection du contour sur le plan des x ^ jr sera toujours une courbe fermée. Il y aura donc detoc valeurs de jr en fonctions de x , qui ix^pondront à cette courbe ; et> l'équation du contour devant subsister pour chacune de ces deux valeurs , sera* réellement double, et fournira les deux équations néclessaires. Dans ces calculs, on pourra prendre, sans erreur sensible, pour la pro«» jection du contour de la surface capillaire , celle de son intersection avec U paroi du tube.
Si 1 on a placé dans l'intérieur du tube un autre corps solide , un cylindre, par exemple , qui traverse le tube suivant sa longueur, réquation du contour aura lieu relativement à la surface extérieure de ce cylindre et à la surface intérieure du tube. Toutefois , pour qu'elle s'applique à la surface du cylindre , il faudra que so^i diamètre ait une grandeur sensible; car cette équation suppose que les rayons de courbure de la surface du corps solide, contre laquéUe le liquide s'appuie, soient extrêmement grands et comme infinis par rapport au rayon d activité moléculaire; condi^on sans laquelle il n'aurait pas été permis de considérer, dans 1 analyse précédente, la surface de ce corps comme un plan, dans toute l'étendue d'activité de 9ts molécules et de celles du liquide. En supprimant le tube , on aura le cas d'un liquide qui s el&ve ou s'abaisse autour d'un corps solide.
En substituant aux variables x et jr^ les coordonnées polaires du point auquel elles appartiennent, c'est-à-dire son rayon vecteur r et l'angle 8^ qu'il fait avec un axe fixe , l'ordonnée z sera une fonction de r et 6 qui ne devra pas devenir infinie pour r=o, lorsque l'origine de ce rayon sera la projection horizontale de l'un des points de la surfiaice capillaire j cl qui devra être nulle pour r = oo , quand il s'agira d'un liquide indéfiniment prolongé, dans lequel on aura plongé Tune des extrémités d'un corps solide* Ces conditions pour*ront remplacer, en partie, celles qui résulteraient de l'équation relative au contour de chaque surface capillaire.
On conclut de là que les équations des surfaces capillaires qu'où a données dans les n"^ ^9 et 3o, celles qui appartiennent à leurs contours, l'équation indiquée dans le n* 3o et relative au volume du licpiide supérieur, quand il y a deux liquides superposés, et', si Ton veut, }es conditions particulières à r =0 et r = oo , seront, dans tous les cas,
en nombre suflSisant pour la détermination complète de la surface d'un ou de plusieurs liquides, dans Tintérieur ou autour d*un corps solide. Ces diverses équations renferment donc la solution complète du problème, qui ne peut plus présenter maintenant que des difficultés d'analyse : on peut les regarder comme insurmontables dans le cas d'une solution rigoureuse et d'un corps de figure quelconque , à cause de la forme compliquée de l'intégrale générale dont^ il faudrait partir, qui comprend, comme cas pailiculier, celle de l'équation relative à la surface de Taire minimn, et qui s'obtient, sous forme finie, par le même procédé; mais cela n empêche pas qu'on ne puisse déduire de ce système d'équations différentielles, comme on le verra dans les deux chapitres suivans , des formules applicables aux nom<bi*eux et très divers phénomènes de capillarité, que les physiciens ont observés.
(48). Si Ton suppose que la surface intérieure du tube soit celle d'un cylindre vertical, la ligne OMFC sera droite et verticale dans toute sa longueur; et il ne sera plus nécessaire, pour l'exactitude de l'analyse précédente, de prendre le point F, comme nous l'avons fait, à une distance insensible du point M. Supposons donc que le plan représenté par GFL, qui sera, dans ce cas, un plan horizontal, soit mené à une distance quelconque au-dessous de la surface ÂOB du liquide, et représentons par et sa distance au plan du niveau extérieur. Considérons le volume du liquide qui répond à LFMNB , lequel sera sensiblement le même que celui du cylindre vertical, tronqué par la surface capillaire, qui répond à LFOB. Soit gf«ë + A son poids ; € étant la base de ce cylindre, g la gravité, p la densité du liquide, 6t A la partie de ce poids soulevé ou abaissé par l'action ca^ pillaire , selon* que cette quantité A sera positive ou négative. L'autre partie gpctC du poids dont il s'agit sera tenue en équilibre par la près* sion exercée en sens contraire sur la base 6, et qui représentera l'action du liquide situé au-dessous du plan GFL, sur la portion de liquide que nous considérons; il faudra done que le poids A soit soutenu par l'action verticale de la couche environnante et qui correspond à GFMNA, sur cette même portion de liquidé. Or, l'action de chaque segment C de cette couche est égale et contraire à la somme des forces qu'on a représentées précédemment par T^, \êet Qi (n* 58);
DE L'ACTION CAPILLAIRE. y 7
si donc ou appelle c le contour de la base C, ou^ sensiblement , celui d'une section horizontale de la paroi du tube, et si Ton olv serve que les forces Te , Vi et Qé sont constantes pour tous les segmens C de la couche liquide, il faudra qu'on ait
ou bien, en vertu de l'équation (8) et de la valeur de ÏT du n"" 4' »
résultat qui coïncide avec l'équation (16) du n^ 56, en observant que le liquide étant placé àiùàs le vide, q^q% est la valeur du coef*
ficient -H. • .
Cet accord remarquable ëotre deux moyens aussi differens de déterminer le poids du liquide soulevé ou abaissé par l'action capillaire, dans le caâ d'un tube cylindrique et vertical, peut servir de vérification à notre anidyse ; mais il faut remarquer que la méthode qui nous a conduit à l'équation (16) est la plus directe, et qu'elle est aussi la plus générale, en ce qu'elle ite suppose au tube aucune forme particulière.
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