CHAPITRE IV

Équilibre ctun ou de plusie^n liquides dans un tube cofUUaire.

(49)« Je Mppofieni d'abord qa'il jCj fît qn'im seul liqQide homo^ gène et partout à la même temp^ture » ainsi que le tube de forme quelconque que Fou j a plongé par son extrémité inférieure, et je ▼ais retenir, dans ce numéro, les formules relatiyes à Téquilibre de œ liquide, q^e Ton a obtenues eu diASvens endroits des deux chapitres préçédens.

L*équatioQ commuiie à tons .les potpts de la surface libre du liquide, qui sont à une distance des parois du tube plus grande que le rayon d'activité moléculaire^ ^t

le plan des or et j^* est celui du nireau du liquide en-dehors du tube ; Toidonnée verticale ^ est positive ou négative, selon que le point quelconque M auquel ellç répond se trouve au-dessus ou au-dessous du niveau; X et A' sont les rayons de courbure principaux de la sur&ce au point M , et ils sont regardés conmie positifs ou comme négatifii , selop que les lignes de courbure tournent leur concavité ou leur convexité en-dehors du liquide ; p est la densité du liquide , ou , plus exactement , cette densité diminuée de celle de Tair, quand le liquide n*est pas placé dans le vide; on suppose alors que la pression atmosphérique est la même en -dehors et en -dedans du tube; enfin, g représente la pesanteur, et H un coefficient constant donné par l'expérience, et qui dépend de la matière et de la température du liquide* Les formules relatives à la courbure des surfaces donnent

DE L'ACTION CAPILLAIRE. gg

et 9 pour que cette valeur die ~ -f- 7 ^^t le signe conyenablej il faudra

regarder Mii dëaomiiïateary dont le signe est ambigu , comme positif ou comme n^tif ^ selon <foe la nonmale menée par le point M y endehors du liquide, et la verticale menée par le même point , en sens contraire de la pesanteur ou dans le sens des z positives, feront un angle aigu ou obtus.

Relativement i un point quelconque du contour de la surface du liquide, c'est-à-dire relativement à tous les points de cette surface qui sont à une distance însensiUe de celle du tube, mais tou-^ jours plus grande que les rayons d'activité des molécules du tube et du liquide, on a cette équation

F = H cos », (5)

dans laquelle » sera Fangle aigu ou obtus, compris entre la partie extérieure de la normale an liquide menée par le point , et la per«* pendiculaire abaissée du même point sur la paroi du tube la plus voisine de O ; H est le môme coefficient que dans Téquation (i) » et F une autre constaiale, aussi donnée par l'expérience et dépendante de la nature du £quSde et de celle du tube.

Si Ton abaisse de tons les points de ce contour, des perpendiculaires sur le j^an dto x et ^, qui formeront la sur&ce d'un ^lindre vertical ; que Tcm appelle e le contour de sa base, c'est4hd!ire la projection horizontale du contour de la surface capillaire, et que Ton appelle A le poids dans Xix d'un volume du liquide égal ii la partie de ce cylindre compnse entine sa base et la surface capillaire , on aura

oii> ce qui est la même chose,

A«-icFî (4)

A étant regardé oonune positif ou comme négatif, selon que la sur-

loo .NOUVELLE THEORIE

face du liquide sera située au-dessus ou- au-dessous du plan des jc et j^. Quand elle sera coupée par ce plah^ A sera compose de deux parties I Tune positive et l'autre négative, et pourra, conséquemment, être nul , positif ou négatif*

Quoique les deux constantes F et H ne puissent être données, comme nous l'avons dit, que par Tobservation , il ne sera cependant pas inutile de rappeler les formules qui serviraient à les déterminer, à priori j si les lois des actions moléculaires étiient connues enfonction5f des distances. En faisant

et regc'vrdant r comme, une quantité positive donnée par réquation

on aura

<vz=:-7rr' r r r' - dudsd/.

a J O J oj O T

Dans ces formules, R, R', R,, sont des fonctions de r insensibles pour toute valeur sensible de cette variable , qui expriment l'action mutuelle des molécules liquides à la distance r et rapportée aux unités de volume, et quon regarde comme positives ou comme négatives, selon que cette force est répulsive ou attractive : R se rapporte à l'intérieur du liquide, R. à sa couche superficielle, et R' à sa couche adjacente à la paroi du tube. Ces deux quantités R, et R' sont , en outre , des fonctions symétriques de s et s\ qui varient tràs rapidement avec ces variables, et se confondent avec la fonction R,. dès que s et s' sur* passent le rayon d'activité moléculaire. La limité / des intégrales relatives 2l s tX s' doit être de grandeur insensible, mais plus grande que ce rayon, et l'on peut supposer qu'elle soit la même pour q^ et pour nar. On démontre que ces quantités ne changent pas sensible-* ment avec la grandeur de / ; et Ton fait aussi voir qu on aurait

îi = — ^î> ^ = 25^,

DE L'ACTION CAPILLAIRE. lo.

si Ton faisait abstraction de la variàtioD de densité dans l'épaisseur de la couche liquide a laquelle répond chacune de ces quantités^ et que l'on regardât, en conséquence, chacune des fonctions R| et R' comme indépendante de s et / en-*dehors de r.

A la rigueur, si le liquide n'est pas placé dans le vide, l'intégrale représentée par g, devrait s'étendre à la couche atmosphérique adjacente à sa surface , et l'expression de II devrait contenir un troisième terme, relatif à l'action mutuelle des molécules, d'air dont cette couche est formée. Mais l'observation ayant prouvé que les phénomènes capillaires sont les mêmes dans le vide et dans l'air, il parait que ce troisième terme n'a aucun effet sensible, non plus que la partie de 9, qui proviendrait de l'action mutuelle des molécules de l'air et du liquide; et, pour cette raison, nous njr am*ons point égard.

(00). Voici actuellement les conséquences les plus générales qui résultent des formules précédentes.

L'équation (i) montre que la surface du liquide ne pourra reste!* plane, à moins qu'elle ne soit horizontale et qu'elle ne coïncide avec le plan du niveau extérieur. En vertu de l'équation (5) , il faudra, pour cela, qu'on ait F = o; réciproquement, quand cette condition aura lieu, on satisfera aux équations (i) et (3), en prenant z= o, et il n'y aura ni élévation ni abaissement du liquide.'; dont la surface demeurera horizontale. Mais j'ai déjà remarqué (n° 20) qu'on ne peut pas déterminer , à priori, la proportion des actions moléculaires du tube et du liquide que ce cas particulier suppose.

Quel que soit le signe de H, il résulte de l'équation (4) qu'il y aura, en général, élévation ou abaissement du liquide, selon que F sera négatif ou positif, à moins que la surface du liquide dans l'intérieur du tube ne soit coupée par le plan du niveau extérieur, auquel cas il j aura à la fois élévation d'une partie du liquide et abaissement dans une autre partie.

Si la surface intérieure du tube est celle d'un cylindre vertical , A exprimera le poids du liquide soulevé ou abaissé par l'actiou capillaire; il ne changera pas lorsqu'on inclinera le tube (n* 36) ; et, pour un même liquide et différens tubes de même matière, il sera proportionnel, en vertu de l'équation (4), au contour c d'une section horizontale de la surface intérieure de chaque tube. Si l'on appelle b

loa NOUVELLE THÉORIE

Faire de tettb «eétÎM!, et k l\>tâmittée moye&tie é$ b surbice du liquide, cm iUri

et, par conséquent,

gpf^f

Or, . pour des cylindres ou des prisnièB sémblaMes , Tare b est proportionnelle au carré de c $ rëlëvatiou tnOjnentie k dii liquide au-dessus de son niveau ettërieur, seri d6nc de méiue signe que F et en raison inverse du contour c , ou ^ plus généralement , en rakon inverse des lignes homologues des sec^ns faoriaontales, qu'on Suppose être des fîguries senkbIaUes.

(5i). Maintenant, considâx)ils, en partic^ier, le cas le plus ordinaire, celui d'un tube capillaire dont la surfiice intérieure est celle d'un cylindre vertical à base circulaire , et qtu a son extrémité inférieure plongée dans un liquide hohiogène.

La surface bapiUaire Sera alors une surface de révolution ayant pour axe celui du tube ; au point où elle coupera cette droite , et que j'appellerai C, ses deux rayons de courbure seront ^ux et de même signe. En appelant y leur valeur commune, on aura donc As» X'ssy; et l'on devra considérer y comme positif ou comme négatif^ selon qu'au point C le liquide sera concave ou convexe. Si Ton désigne par h l'ordonnée verticale de ce point C , positive ou négative , selon qu'il sera situé au-dessus ou au-dessous du niveau du liquide en-dehors du tube, on aura, d'après l'équation (i),

A cause qu'il est indispensable d'avoir égard, en même temps, à l'attraction mutuelle des molécules fluides et k leur r^ukion cidori* fique, ainsi que nous l'iivons prouvé dans le chapitre premier ^ cet ouvrage, il s'ensuit qu'on ne saurait déterminer, à priori, le signe de H; Car la force, d'où dépendent les deux parties q et q^ det:ette quantité, change alors de signe dans l'étendue de ses vuleura seii* sibles, selon que l'attraction k la distance r est plus grande ou moindre que la répulsion. Mais l'expérience ayant constamment prouvé que

DE L'ACTION CAPILyLlRE. io5

rélévation du point Ç est toujours aecomp^gnëe de la concavité du liquide, et que son abaissement n'a jamais lieu sans que le liquide ne soit ccnfw^xtf il faut que h ait, dans tous les cas, le même signe que yf ce qui exige que H spit toujours une quantité positive. Cela nous montre que, dans TintégratioB d'où dépend la valeur de q, qu'on peut considérer comme la partie principale de H, c'est la force attractive qui est prépondérante ; tandis qu'au contraire la force ré*»pulsive l'emporte, en général, dans la sommation relative à la pression sur une sur&ce plane (n^ 7); niftis ces indications ne suffisent pas pour qu'on en puisse tirer quelques conséquences précises sur les lois de décroissement de ces deux forces, et sur l'étendue relative de leurs rayons d'activité. Quoiqu'il en soit, nous. regarderons doréna** vaut H comme un coefficient positif, dont la valeur absolue variera seule avec la matière et la température du liquide.

(5a). Je représenterai par a le rayon dWe section horizontale, faite dans ia surface intérieure du tube, que l'on prendra, sans er-» reur sensible, pour celui du contour de la surface capillaire, tracé sur cette surfisice à distance insensible de celle 4u tube, et auquel contour l'équation (S) appartient. Si le rayon a est extrêmement petit, on pourra supposer, du moins dans une première approximation » que la surfisice capillaire coïncide avec celle de sa sphère osculatrice au point C. On aura alors

coso»ss — *,

en observant que , d'après le signe qu'on attribue à y , cette quantité est positive ou négative, selon que l'angle eo est obtus ou aigu. En vertu de l'équation (3) et de la formule (6), nous aurons donc

ce qui montre que le point C s'abaissera ou s'élèvera suivant que la quantité F^ dépendante de la matière du liquide et de celle du tube sera positive ou négative; et, d'âpre la seconde formule, l'abaissement ou l'élévation de C , pour un même liquide et différens habes d'une même matière, serait en raison inverse de leurs dia-^

to4 NOUVELLE THÉORIE

mètres ; mais cette loi est un peu modinëe dans la seconde approximation.

Le degré et le sens de la convexité de la surface capillaire dépendant du rapport de F à H et du signe de F, il est bon de chercher à se rendre raison des diverses valeurs de ce rapport pour difiërens liquides. Voici ce que Ton peut dire à ce sujet.

i^. Lorsque la matière du tube n'exerce aucune attraction sur celle du liquide qui s'appuie contre sa paroi intérieure , la couche du liquide adjacente à cette paroi doit être dans le même état que la couche sujierficielle en contact avec l'atmosphère. Ces deux couches liquides y dune épaisseur insensible , transmettent la pression intérieure y Vuae à la surface de l'air, et l'autre à la surface du tube; et cette pression est détruite par celle qui est exercée en sens contraire sur ces mêmes couches, et qui est due â Faction du calorique propre , soit des molécules du tube , ^it des molécules de l'air, sur celui des moléculies du liquide. Cela étant, les forces R, à\. K' seront les mêmes ; on aura donc ^ = — ç,j d'où il résultera F = H , cos « == 1, > = — *; et la surface du liquide sera celle d'une demi-sphère convexe par en haut. Ce premier cas est celui de l'eau contenue dans un tube dont la surface intérieure est enduite d'un corps gras.

2^. Si l'attraction du tube n'est pas nulle, la variation de densité du liquide ne sera plus la même près de 1^ surface libre et prèi de la paroi du tube, et l'on n'aura plus <Z9*=:'— ç,. Lorsque l'action moléculaire du tube sera la même que celle du liquide, celui-ci se trouvera dans le même état que s'il était contenu dans un tube formé dé sa propre * matière ; il n'éprouvera donc plus aucune variation de densité près de la paroi du tube; par conséquent, on a.; ;

Br = 3y (p? 49) J c® V^^ donne -F = — ç, et d'où il résulte

Vu l'état de dilatation du liquide dans l'épaisseur de sa couche superficielle, à laquelle répond l'intégrale que q^ représente, il est naturel de penser que cette quantité q^ est peu considérable relativement à q. Dans ce second cas, le rayon y doit donc peu différer de celui du

DE L'ACTION CAPILLAIRE, u»i»

tube, et la forme du liquide doit être k peu près un hémisphère concave.

3*. D'après Texamen de ces deux premiers cas, nous pouvons admettre que si la force attractive du tube passe graduellement de zéro à une intensité égale à celle de l'attraction du liquide sur lui-même , la quantité 4r passera en même temps de — 9, à 9.47 ; la quantité F, de H à une valeur peu différente de — * H| et la forme du liquide , d un hémisphère convexe à une surface concave, à peu près hémisphérique 9 sans qu'on puisse assurer néanmoins que la figure du liquide et la valeur moyenne F c=c o répondent à une attraction du tube égale à la moitié de celle du liquide (n" 20).

4^. L'attraction du tube continuant d augmenter et devenant supérieure à celle du liquide, on peut aussi admettre que F continuera de varier dans le même sens qu'auparavant, et finira par surpasser — II, abstraction faite du signe, Alors* l'équation (5) ne sera plus possible; et comme elle est nécessaire à l'équililjre du liquide, cet état sera également impossible. On en doit donc conclure que quand l'attraction du tube sur le liquide l'emporte sur l'attraction propre du liquide, une couche de ce fluide, d'uni épaisseur aussi petite que l'on voudra, s'élève au-dessus de la surface capillaire, le long de la paroi du tube et jusqu'à son extrémité supérieure. Dans ce cas, ou pourra remplacer la paroi du tube par une surface cylindrique, tracée dans l'intérieur du liquide et indéSniment prolongée au-des9us et au-dessous de la surface <:apil]aire. On supposera que l'action du tube nés étend pas jusqu'à cette paroi fictive, et que la distance de cette paroi à la surface extérieure de la couche mince du liquide, élevée au-dessus de la surface capillaire, soit insensible, mais plus grande que le rayon d'actitivité des molécules du liquide. De cette manière, on aura ^ss 2rji et pour tenir compte, dans le n° 58, de l'action exercée sur le segment qu'on a appelé C , par la couche verticale du liquide supérieure à C, il faudra diminuer cette force tr, de celle qu'on a désignée par U ( n* 4^) et qu'on a trouvée égale à — ç,. On aura donc , dans le cas dont il s'agit ,

et, par conséquent, y ^si %i c'est«à*dire que le liquide sera con-

io6 NOUVELLE THÉORIE

cave et hémisphërique. C'est ce que Ton obserye, en effet, toutes les fois que le tube est susceptible d'être mouille par le liquide , et qu'il a été préalablement hnmecté dans toute sa longueur. Lorsque Ton n'a pas pris cette précaution , le frottement du liquide contre le tube s'oppose à l'élévation de la couche mince du fluide au-dessus de la surface capillaire ; ce qui donne lieu, comme nous l'expliquerons plus bas, à différens états d'équilibre , dans lesquels la courbure de cette surface et sa hauteur au-dessus du niveau intérieur n'atteignent pas leur maximum.

(53). Dans le cas de F = — H , qui a lieu le plus communément, on aura

en ne considérant, pour abréger, que la partie principale q de H, et substituant sa valeur en intégrale définie.

Supposons que la température change, et que A, p, R, deviennent h', p^, K'} on aura de nuéme

en négligeant la petite variation de «^qui pourra avoir lieu. Or, quand la densité augmente ou diminue, le nombre des molécules que renferme chaque unité de volume, varie suivant le même rapport j par cette raison, la quantité R, qui représente l'action mutuelle de deux unités de volume du liquide, devra varier dans le rapport du carré de la densités D'ailleurs, la force attractive de deux molécules ne change pas avec leur température, mais seulement leur répulsion mutuelle, qui dépend de la quantité de chaleur qu'elles contiennent. La première de ces deux forces étant prépondérante dans la valeur de

RHé/r, si l'oi;! fait abstraction de la variation de la seconde,

il suffira donc de faire

il- ,. ,

et en comparant l'une k l'antre les valeurs précédentes de h et h', on aura

DE L'ACTION QAPILLA.mE. 107

lit mmm* ~~~ a

L'expérience montre, en effet, que pour un même liquide à diffé* 1 entes températures^ l'élération du poiot € crdlt proportionnelfe.menl à la densité ; ce qui donne lieu de eroire que U force répulsive de la chaleur, ou du moins sa variation, que nous ayons négligée ^ n'a

quune influence inisensible sur Tintégrale / Rr*û2r.

Si l'on désigne par u et it deux fractions positives dont la somme soit Funité, et qu'on mêle ensemble deux liquides dans la proportion de li à £/, il est aisé de voir que la valeur de cette intégrale, relative au mélange , sera de la forme :

en désignant par U, U, ^ U'y des coefficiens indépendans de i^ et i^ , supposant que les températures des deux liquides sont égales entre elles et les mêmes avant et après le mélange , et négligeant toujours le changement d'intensité de la force répulsive qui peut résulter de l'absorption de chaleur dont la mélan^ est accompagné. Cela étant, si l'on désigne par p la valeur du produit Àp qui répond au liquide mélangé, on aura

fy Ji f r 9 étant aussi des quantités indépendantes de u et ul^ dont la première et la dentière sodt les valeurs de ^p relatives aux deux liquides séparés. H serait intéressant de vérifier cette formule , par l'expérience^ pour différentes proportions de ces deux liquides, en supposant y* et f^ connus, et après avoir déterminé f^ d'après la

valeur de p qui répond , par exemple., à n = f/ ;^ -. Si elle s'ac-

cordait avec l'observation, Fhjpothèse de la non-influence sensible

de la chaleur sur la valeur de / Kr^dr^ autrement que par la dila-

tlon du lipide, se trouverait tout-à-fait oonfimaée.

(54)* I^es réflexions précédentes se rapportent à la partie ph^rsique de la question. Revenons actuellement à la partie mathématique , et

io8 NOUVELLE THÉORIE

considérons de nouveau U surface de révolution qui termine un liquide cdntenu dans un tube cylindrique , vertical et à base circulaire.

Si Ton prend 1 axe de ce tube pour celui des z y et qu'on appelle t la distance du point quelconque M de cette surface à cette droite , on aura

l'ordonnée z du même point sera une fonction de t; et, cela étant, on trouvera que l'équation (a) devient

d^ '^IdîVd^J I

ce qu'on peut aussi voir en observant que les deux rayons de courbure principaux d'une surface de révolution sont le rayon de courbure de sa courbe génératrice, et la normale à cette courbe, dont

la longueur est t ^ /^ — . En faisant i équation (i) deviendra donc

d*s , i dz / . d!ï»\ dF + lTi V'^TS^)

et l'oQ pourra la remplacer par

dM '^' ^.^fzidt, (7)

qui s'en déduit en la multipliant par tdt et intégrant, et dans laquelle Tintégi-ale /ztdt conmiencera avec la variable t. On aura , en même temps,

DE L'ACTION CAPILLAIRE. loy

àx