COS

le signe du dénominateur étant le même que dans le premier membre de l'équation précédente^ où il se détermine conmie il a été dit plus haut ( n^ 49)* ^^ issfat on fait aussi

réquation (5) deviendra "'^

elle n'aura lieu que pour £ = a ; et la constante h qu'elle renfeimé ne surpassera pas db i .

Cela posé , Tapproximation à laquelle on s'est arrêté , dans le n® 5a I revient à prendre

en regardant le radical comme une quantité de même signe que y. pie suppose que le rayon iot du tube soit très petit par rapport au produit ah. Pour la pousser plus loin , je ferai

u étatet une variable très petite et telle que l'on ait i« sa o et

-^^ssiOf quand < = 0| afin que h soit toujours l'ordonnée du point

C où le plan tangent est hori^Eontal; et y' désignant une constante peu différente du rayon de courbure y^ relatif au même point. En vertu de l'équation (6)^ on aura, oomme précédemment.

En substituant la dernière valeur de z dans le second membre de l'équation (7), oki y pourra, dans cette seconde approximation,

négliger le terme -zfutdt. De cette manière, on aura

t lo NOUVELLE THÉORIE

Je substitue la mâme valeur de z dans le premier membre , et je né* glige le carré de ^ ; tirant ensuite la valeur de ^ , il vient

di \y^Za^ 7/(y»|.)î San V^jfc? '

Or, pour que lu valeur de» qui en rësubem ne devienne très grande

pour aucune valeur de ^ ^ il faudra que le terme divisé par (y*— ^')* , disparaisse de cette expression ; on fera donc

d'où l'Qn tire y à très peu près,

à cattee que Ton a supposé y très peu différent de y y ce qui exiger; que la (iraction - soit très petite ^ et résultera efiectivement de la supposition de d trèr petit par rapport k (A. On aura maintenant

et, par conséquent,

U ne reste phia t^pHk déterminer A et y. Or , les équations (7) et (8) donnent

y <i j o E^, et observant que A ss — . On en déduit

« «•je

DE LUkCTION CAPILLAIRE. m

A la place de ti,y je meta dans ^res ëquatiens la. temiidd (lo), mcniia fion premier terme. En nagligaast les termes- dKnsés par a^^ il Tient d'abord

d'où l'on tire la valeur dç 7, et ensuite On aura, en outre,

>'=^-ÎH-^(^~**)(i--V^^=^).

*û* / i^ay 2(y» — «•)

>'4--éï

OÙ l'on substituera pour y sa valeur précédente.

On ne pourra plus faire usage de ces formules, lorsque 6 sera une fraction peu considérable. Si elle est très petite, la courbure du liquide le sera aussi ; y sera don<c très grand par rapport à a ; et l'on satisfera, par approxiînation, aux équations^) et (8), en prenant

(55). Toutes choses d'ailleurs égales, si le tube, au lieu d'être plongé dans le liquide par son extrémité inférieure , est adapté par son autre bout à un orifice pratiqué au bas du yase qui contient le

liquide , les équations (7) et (8) auront encore lieu (n® 5o) ; mais le

radie»! \/ 1 -H ^ y sera de signe contraire à celvi ^'il avait dans

le cas précédent j et , dans la première appttnmurtioo , il fiind» prendre

Je radical s/y'^ — ^ étant» oomnM précédemment, de même signe que le rayon y. Or, ponr avoir égard ji ces différences, il snffii» de compter les z positives en sens contraire de la pesanteur, et de changer le signe de cette force, et, par conséquent, a* en — «• dans les

lia

tbrmales précédentes. Il en rnolte qae râbeisaement du liquide audessous de son niveau, dans ce vase, sera un. peu différent , selon que le tube y sera plongé par son extrémité inférieure, ou qu'il y sera adapté par son extrémité supérieure. Si Ton a, par exemple, 6 3=5 T, on aura >' =: — «t; et^ en vertu de Téquation (ii), cet abaissement sera

fl* * . *'

dans le premier cas, et, dans le second ,

ce qui excède de -.- H première valeur» Il faut évidemment que

h soit positif, pour que Téquilibre soit possible dans le second cas. (56). Dans le cas le plus ordinaire, où le tube a été préalable^ ment mouillé par le liquide dans toute sa longueur, on a /^ ^ — i, 7'= a, et l'équation (i j) donne

Les seules expériences exactes qui aient été faites sur l'élévation des liquides dans les tubes capillaires sont celles de M. Gay-Lussac. Elles se rapportent à la formule précédente , et sont assez précises pour en rendre sensible la partie qui n'est pas en raison inverse de ol. Relativement à un liquide dont la matière et la température sont données , on dédun^a la valeur de a% de la valeur observée de h pour un rayon donné et, La formule fera ensuite connaître la hauteur h qui répond à TiLi autre rayon a, avec d'autant plus d'exactitude que la fraction

-- sera moins considérable.

Ainsi, par exemple ^ dans un tube mouillé d'eau à la température de 8%5, pour lequel on avait

M. Gay-Lussac a trouvé

DE L'ACTION CAPILLAIRE. i vf

D«) en coadat

a* s=s (15,1299) mUlimètres carrés;

il en résulte que pour

<» = 9-",95i9, on devra avoir

^ SB i5"«,58ag.

Suivant M. Gay-Luasaci on a i5"^,586i; ce qui ne diflire que de o'^ooSa. On peut remarquer que la différence serait beaucoup fAus grande , si Ton n'avait point égard au deuxième et même an troisième terme de la formule»

Si la surface capillaire n^était pas tangente a la pftroi du tube^ et qu*on n'eût pas b=szpi^ il faudrait « pour déterminer la valeur de b, mesurer la flèche du ménisque qui termine le liquide, diins le cas d'une valeur particulière de a, et l'égaler k Texcès de la valeur de z relative k tssa, sur l'ordonnée h du centre C. Cette équation, jointe a ceUe qui résulterait de la valeur de A, mesurée pour la même valeur de a , suffirait pour déterminer la valeur de b , en même temps que celle de il ; mais la mesure directe de la flèche du ménisque est peu susceptible de précision; et nous verrons, par la suite, quil y a d'autres moyens 4'obtemr les valeurs de â et & dans le cas où la surfac du. liquide fiut un angle avec celle du tube.

(57)* Supposons que Ton plMe dans rintériènr d'un tube, comme celui que nous venons de considérée, un autre cylindre semblable , ayant le même axe vertical ; le liquide compris entre ce cylindre intérieur et la paroi du tube sera encore terminé par une surface d^e révdution. Si les angles « rebtifs à la matière du tube et k celle du cylindre août tous les deux obtus , la génératrice de cette surface sera concave par en haut; elle sera convexe s'ils sont tons les deux aigus ; et si l'un est aigu et Tautre obtus, elle pr^entera un point d'inflexion. Dans les deux premiers cas,' il y aura sur cette surface une ligne circulaire et horizontale , pour laquelle toutes les normales a cette surface seront verticales, et qui en sera une ligne de courbure. En prenant X pour son rayon de courbure, on aura A s: 00 1 et si Ton appelle C celui de la génératrice en un point C , où elle coupe

n4 mWVELLE THÉORIE

la ligne horizontale, et que Ton regarde 6 comme positif ou comme nëgatifi selon que la génératrice sera concave ou convexe par en haut f on aura X' = Ç. En désignant donc par l l'ordonnée z de ce point C, nous aurons , d'après l'équation (i)^

et en comparant cette valeur à la formule (6) ^ on en conclura

Si la distance comprise entre le cylindre et la paroi du tube est très petite, par rapport à la constante a relative à la matière du liquide , la génératrice de la sur&ce de révolution se confondra sensiblement avec son cercle osculateur au point G. En appelant alors A la distance de ce point à la paroi du tube, on aura «s=— f coso), et , par conséquent , ^ ss ^ (n® S2), si l'angle a est le même que précé*-

demment ; il en résultera donc Iss-h. Lorsque l'angle oà sera aussi le

même à la paroi du tube et à la surface du çyl^idre intérieur, le point C se trouvera également éloigné de ces deux surfaces, et a sera égal k la moitié de la distance qui les sépare; d'où l'on voit que l'élévation ou l'abaissement du liquide entre ces deux corps de même matière n'est que la moitié de son élévation ou de son abaissement dans un tube capillaire dont le diamètre est égal à leur distance mutuelle. Quand la matière du cylindre intérieur différera de celle du tube , le point C ne se trouvera plus à égale • distance des deux surfaces. Si l'on désigne par a' et e/ ce q«ie deviennent Aeiùà relativement à la surface du cylindre, on aura &':=—. Ccos ct\ et

l'on pourra aussi prendre l^^-h'y en appelant h* la valeur de h dans

un tube capillaire de la même matière que le cylindre et d'un diamètre égal à a^ La somme a -(- «' sera donnée, et Ton déterminera le rapport de ses deux parties, au moyen de Kéquation a cose»'s=ia'cos a»* Comme ces résultats sont indépendans de la courbure du tube et de celle du cylindre intérieur, et qu'ils supposent seulement leurs i^urfacos très rapprochées et partout également distantes Tune de

DE UACTION CAPILLAIRE. 1 15

lautre , il s'ensalt qu'on peut remplacer le tube et le cylindre par deux corps terminés par des plans parallèles et terticaux. dont la distance mutuelle sdt très petite. Aiosi;, par exemple , dans le cas de la même matière , Télëyation ou l'abaissement d'un Uqaide entre ces deux plans , ou la valeur de L, sera moitié de celle de h qui a lieu dans un tube capillaire dont le diamètre est égal à leur distance mutuelle ; ce qui est conforme > l'expérience. Dans ce cas^ et dans celui d'un tube et d'un cylindre^ on pourra ^ si l'on veut, calculer la valeur de / avec plus d'exactitude par l'analyse du n"* 54 ; mais si la constante a n'est pas très grande par rapport à lepaisseur du liquide, ou bien^ sr les deux corps sont de matière différente , et que la surface du liquide subisse une inflexion , il faudra reco(urif a d'autres méthodes, ainsi qu'on le verra dans le chapitre VI , au« quel ce problème appartient plus spécialement.

(58). L'analyse du n^ 54 s'étendra facilement au cas où la surface intérieure du tube, au lieu d'être cylindrique, sera une surface quel» conque de révolution, ayant toujours son axe vertical, et un diamètre très petit dans toute sa longueur.

Dans ce cas général, soient OC A et DOE (fig. i4) les sur faces du liquide et du tube, et FB leur axe commua. Par un point quelconque 0, appartenant au contour de la surface du liquide, menons des perpendiculaires ON, OK, OH, à cette surface, è. celle du tube et à la verticale FB. Supposons la normale OK comprise dans la matière du tube, et la normale ON extérieure par rapport au liquide, ce qui déterminera le sens de cette droite , en c^ervant que le point s'écarte un tant soit peu de la paroi du tube. L'angle KON sera celui que nous avons designé par &) , et dont le cosinus est 6, en continuant de faire F = ^H. Appelons / l'angle GOK , aigu ou obtus , que fait la normale OK avec le prolongement OG de OH, et C le cosinus de l'angle 60N compris entre le même prolongement et la normale ON. Nous aurons

€^=sb cos i zt: \^i — b* sin i ,

selon que la droite OK tombera en-dehors ou en-dedans de l'angle GON ; et si nous désignons par ol le rayon OH du tube , qui répond à la surface du liquide , nous aurons ensuite

1 16 HOUYELLE THËORIE

eo Citant I â= « après les diflerentiatioiis. Dans cette équation , te nKtfcal aura le même signe que dans les équations (7) et (8). En la joignant k l'équation (7), on aura les denz équations quH s'agira de résoudre.

faudra, pour cela, distinguer deux cas : le premier aura lien quand la verticale menée par le point ne rencoiitrera pas de nou* Teau la surface du liquide, comme dans la double figure 14 » 1® <^ coud, lorsque cette verticale rencontrera la surface en un /second point (y, comme dans la double figure i5. Dans le premier cas, il suffira de mettre ^ à la place de b dans les formules du n^ 54 # pour qu'elles s'appliquent aux équations (7) et (la); le second cas exigera une attention particulière.

D j aura alors un certain point T, compris entre et (y, pour lequel la tangente à la courbe OO^C sera verticale. Dans la partie TC

de cette courbe , le radical \/ < + j-t sera une quantité positive ,

et dans la partie TO, une quantité négative, d'après ce qu'on a dit précédemment. ( n^ 49)* ^ s'ensuit que , quel que soit la constante y , on satisfera à Téquation (7), ou, par approximation, è Téqua- *î<^ (9) p depuis le point C jusqu'au point T, au mbjen de l'équation (10), dans laquelle on fera toujours

Pour satisfaire à Péquation (7), depuis le point T jusqu'au point 0, on prendra

le radical ajrant le même signe que y', et p étant une variable très petite qui devra être telle que cette valeur de x coïncide au point T avec la formule (lo). Ce point répondra à t es yj il fiiudra donc qu'on ait

Sa* ^ a '

pour cette valeur particulière daL

DE L*A€t%)N CAPILLAmE. 117

Comme le point C u'appertimil pas à la partie TO de la ÈurtÊcep il ne sera pas nécessaire que Fintëgrale Jztdt, contenue dans le se^^ coûd membi*e de J*ëqualion (7) , s'ëyanoaisse arec t, quand on j subs* tîtoera là vah ur préoé^ente de- s. Je pourrw* donc suppo^r qn'en

négligeant le terme ^/i^tdi, et mettant — au- lieu dé k^ Yéqwi^

tioA (7) deviei"i^ par la suhstitQlioQ dont il ft'agit,

ds 3

en sorte qu'elle ne dîflerera de Téquation (9) que par l4 signe du dernier terme de son second membre ; ce qui est nécessaire potir que y soit le même que dans la foimulé (lo). Je substitue la même valeur de s dans le premier membre de cette équation (i5) ; je néglige le

carré de •£} et en ayant. égard I la valeur de y, et observant que le radical y < + ^ ^ maintenant une quantité négative ^'â i^ent

ee qwi donne

en intégir^nt et ea déterminant ta constante ailiitntire au moyen de là valeur d< i^^ iN^nd à tsa^y. La valeur correspondante de i sera donè

ce qui ne diffère de la. formule (10) que par le signe du radical

Ainsi , lorsque la surface capillaire est rencontrée en deux points par cbaque verticale , dans sa partie voiâine de la paroi du tube p l'équation (10) appartient à la surface entière, «ny prenant ce radical avec le même jugne que y% depuis le oentre de cette surfiice jusqu'à

1 18 NOm^LLE THÉORIE

la courbe pour laquelle le plaa tangent est vertical p et avec un signe contraire y depuis cette coiiiâ>e jusqu'au contour de la sutâice.

Quant à la valeur de y qu'il y faudra emplojner , on la dëtermi^ nera en faisant tssaa dans l'ëquation (i 3} ; ce qui donne , en mettant y au lieu de y' dans les termes divisés par a* , et ayant égard' à l'équation (la),

d'où l'on tire

en négligeant les termes divisés par a^. On aura, en même temps, eu négligeant ceux qui ont a* pour diviseur,

et si l'on compare ces formules à celles du n* 54 » on voit que l'ordonnée du centre de la surface et sa courbure en ce point ne diffèrent que

par le signe du radical V^i — C* de celles qui ont lieu lorsque la surface n'est rencontrée qu'en un seul point par chaque verticale.

D'après la remarque du d/* 55 , pour appliquer ces différentes formules au cas où le tube sera adapté par son extrémité supérieure au bas du vase qui contient le liquide, il suffira d'y changer a* en -^ a', et de compter les z positives dans le sens de la pesanteur.

On peut observer que dans le cas de 'f = ri= i, on a y'zs:zf:(t; ce qui doit être, en effet, puisqu'alors le contour de la surface capillaire coïncide .avec la courbe pour laquelle son plan tangent est vertical.

(Sg)* Les différentes formules du numéro précédent supposent connu le rayon tt de la section du tube à laquelle le liquide s'ar-* rétera. Or, on formera l'équation dont sa valeur dépend, en éga«lant entre elles les deux expressions de z qui répondent au con^ tour de la surface du liquide, et dont l'une sera donnée par l'équation de cette surface , et l'autre par celle de la surface intérieure du tube, qui fera aussi connaître l'angle i en fonction de a. S'il s'agit , pa*.

DE L'ACTION CAPILLAIRE. ttc^

exemple I d-ua cane droit à base circulaire^ i sert Fangle doQDe et constant que fait fat génératrice avec son axe vertical, et Ton aura

« = (* — e)tapgîy

pour la valeur de z fSmraîe par Féquation de la surface du tube ; e étant le rayon de la section ftiite par le plan du niveau extérieur. On égalera donc cette -valeur à celle qui résulte de l'équation (lo)^ en y faisfint tz=zA^ mettant £ au lieu de by et donnant le signe convenable au radical \/>'*"^**«

(60). L'influence de l'indinaison 1 sur l'élévation et la courbure du liquide^ explique ee qui arrive quand il atteint l'une des deux extrémités du tube.

Su{^sonSy pour fixer les idées ^ que la siftrface lutérieure du tube soit celle d'un cylindre vertical, et que ses extrémités soient termi-* nées par deux autres surfaces de révolution ^ ayant le même axe que ce cylindre. Soit FB cet axe (fîg. 16), DD' la génératrice de la surface intérieure , DPQ et DT'Q' celles des deux surfaces extrêmes OCA ou OCA' celle de la suf&ce du liquide^ selon qu'il s!élèvera ou s'abaissera * par rapport à son niveau extérieur , représenté par GH. Par un point quelconque du contour de la surface capîl* laire, menons en -dehors du liquide les normales ON et OK ji sa surface et à celle du liquide , de sorte que NOK soit l'angle qu'on a désigné par o»^ lequel angle est donné et invariable, quelque part que soit le pœnt 0. A mesure que l'on enfoncera le tube dans le liquide,, le point se rapprochera du point D, s'il y a élévation au-dessus de 6H« Tant qu'il n'aura pas atteint le point D, la surface du liquide ne changera pas, non plus que l'ordonnée CH du point C où elle coupe Taxe FB ; l'une et l'autre se détennineront par les formules du n® 54* Quand le point aura dépassé le point D , la normale KO s'écartera de la direction horizontale ; la figure du liquide variera et se déterminera, ainsi que l'ordonnée CH en remplaçant, d'après ce qu'on a vu dans le n* 58, la constante b par une quantité € dépendante de l'inclinaison de KO et de l'angle constant KON. Si, par exemple, on a ^ss — i, les droites KO et ON seront constamment dans le prolongement l'une de l'autre ; la concavité du liquide diminuera de plus en plus , )k me*