M NOUVELLE THÉORIE

rare que s'élèvera au-» dessus de D> et sa sorCioe sera plsae et de nireau avec le lujuide extérieur^ larsque aura atteint le sommet P du bord supérieur du tube^ cVst-à-dire le point oh le plan tangent est horizontal , et oh, par conséquent, la ligne KON sera verticale. Des effets semblables auront lieu quand un . élève fft le tube jusqu'à ce que le poitit ait atteint et ensuite dépassé ie point i)

Cela pdse , si Fou mène par le point D un plan horisorital qui coupe au point L la courbe DPQ, et si Ton retranche la partie, du tube ^uée ku-desstis de ce plaoi de sorte ^e le tube sôtt m^intt^ nant terminé par une portion de surface plane et horitoeMie»^ il j aura une arête vive à l'intersection de ce plan et de la surface iiH tériéurê du tubeV dotit le point' D fen partie. Mais> dans tt finalité , cette arête sera toujours un tanf soit pétr arrondie ; et, quelque petite que soit sou épaisseur i elle sera' néanmohis extréinement grande^ eu égard au rayon d'activité moléculaire , qui est tout-à«>fait insensible. Or, cela suffit pour que ce qui précède soit encore ap|diciblè , lorsqu'on enfoncera le tube dans le liquide. Quand le point flttra atteint Textrémité supérieure de la partie cylindrique • de sà Sùrfiice» la ligne KON tournera atxtour de l'arête de jonction de cCtte partie e( de la partie plane; U normale OK i la s^itface de Cette â^fèV^, passera graduellenient de la dire^oii horiiBOntale i la dirtetiOn vèi4icifle> sans que l'angle KON éprouve aucune variatio%% Pendant ee bbadge^s^ nnenti le point se déplacera extrêmement peu ; mais il n'en sera paV de même à l'égard du point G. La distance CH au niveau extérieur et b courbure du liquide dépendront à chaque instant de la direction de OK. Lia surface de l'arête n'étant pas connue , l'angle i que feit cette normale avec le prolongement de la perpendiculaire abaissée du point sur Taxe FB^ ne sera pas donné , comme dans le U* 5^, en fonction de la distance a de ce même point à cet axe ; mais on pourra prendre pour et le rayon de la partie cylindrique du tube; et cette quantité étant donc connue, ainsi que l'ordonnée verticale du point 0, pour laquelle on prendra celle du point fixe D ; on emploiera , pour trouver la valeur de i, l'équation q\ii aurait servi» d'après le numéro précèdent! à déterminer celle de a. On pouirra donc considérer i angle i, et, par conséquent, la qiuntité €, comme déterminés en

fonctions du ra/o& n et de (a distaace du point D an niveau extérieur du liquide; et^ cela étant , on achèvera, comme dans le n* 58, de calculer les valeurs de Tordonnéç h et du rayon de courbure y rela* tife au point C , et de déterminer la sur&ce du liquide.

Le même raiDonnement s'appliquera au qis ou le tube est terminé inférîeurement par une portion de surfioice plane , jointe k sa partie cylindrique par une arête vive, et oà on le soulève jusqu'à ce qte cette arête inférieure soit atteintepalr le point 0.

(61 )• Les lois de l'équilibre dans xin tube capillaire seront évîdem* ment le$ mêmes, soit que le tube ait été en partie immergé, ou soit qu'il communique avec le liquide contenu dans un vase, par un canal latéral. Mais, dans ce dernier-cas, on pourra élever le niveau extérieur au-dessus de l'extrémité supérieure du tube ; et l'équilibre sera possible jusqu'à une certaine limite, au'^delà de laquelle le liquide jaillira hors du tube^ ou s'écoulera sur sa surface extérieure. Si Tangle KON ou Ci est obtus, le point 0> après être monté jusqu'au point P, descendra le long de la courbe PQ, jusqu'en un certain point pour lequel la droite ON sera horisontale et coïncidera avec le prolongement de la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe FB. Cette, position du point i^épondra à la limite dont il s'agita L'angle i sera alors le inème que m ; on aura donc cos i^s^b^ et par suite ^ = I • L'angle i étant connu , l'équation de la courbe PQ fera con-r naître les distances du point à Taxe FB et à un plan horizontal menés arbitrairement ; ce qui suffira pour la détermination complète de la figure du liquide, qui sera convexe par en haut, et de l'élévation du niveau extérieur au-dessus de ce plan. Les mêmes choses auront encore lieu, lorsque le tube sera terminé par une portion de surface plane, qui se joindra à ses surfaces intérieure e^ extérieure , en D et L , par des arêtes vives ; seulement , il arrivera alors qu'abstraction fiiite du frottemetit du liquide contre le tube, le point ne pourra plus s'arrêter entre ces points D et L. Par conséquent , si Ton désigne par mf la distance de L à Taxe F^ , ou le rayon de la surface extérieure du tube, pn déterminera la figure du liquide correspondante à la plus grande élévation du niveau extérieur et à cette élévation maximaj en employant, dans les formules du n^ 54» 0t' et Q au lieu de « et h, et y faisant C = i-

De cette mmière , oa ^mbt» y ss •» »'} «t Vam. en coadura, par exemple y

en négligeant le carré de la fractioa —, et dësigiiant par / la hau-

teur du niveau extérieur au •< dessus du plan horirootal qui termine le tube, à l'instant où l'équilibre va se fosupre; en 6<»te que si l^on élevait encore un peu lé niveau du liquide daijis le vase avec lequel le tube communique, il commencerait à jaillir hors du tube, ou à s'écouler sur sa surface extérieure.

Lorsque laugle KON sera aigu , le point ne pourra pas s'élever jusqu'au sommet P de la courbe DPQ,; la quantité C atteindra l'unité, qui est sa plus grande valeur , en un point de la partie DP de cette courbe ; l'angle correispondant i se déduira de l'équati^m C = i ; les i.uordonnées horizontale et verticale de ce point seront ensuite connues par l'équation de la courbe, et l'on pourra déterminer complètement la figure du liquide. S'il y a une arête vive au point D , le point s'y arrêtera; ses coordonnées seront alors celles de D, et 1 angle i se conclura de lelévation donnée du niveau extérieur audessus de cette arête. Réciproquement, l'élévation maxima se déterminera d'après l'angle i conclu de l'équation ^ = i , et sa va«* leur sera celle de /, en j mettant le rajon intérieur a du tube à la place de a!.

Par des considérations semblables, on déterminera, dans tous les cas, la figure du liquideà l'extrémité inférieure du tube , lorsque sa branche verticale sera descendante, ou qu'il aura été adapté à un petit orifice pratiqué au fond du vase qui contient le liquide»

(62). J'ai insisté sur ce qui arrive quand le liquide atteint l'une des deux extrémités du tube, parce que je me tro«ve, sur ce point, eu opposition avec un passage de la Mécanique céleste (^), oh il est dit qu'alors l'angle sous lequel les parois du tube sont œupées par la surface du liquide, c'est-à--dire l'angle que j'ai appelé 9, devient variable et n'est plus le même qu'à une distance quelconque des deux

(*) Supplémeni à la Théorie de V Action capillaire, page a5«

DE FACTION CAPILLAIRE. oS

extrémités. Cette anertioii est échappée à l'iUiistre auteur , fiiute d'aToir considéré qae cet angle KON est coonpté à partir de la normaie KO à la aar&cft da tube ^ dont Pmclinaison sur un plfn bon** sBOntal Tarie lorsque le point appartîenl à Tarète supérieure ou inférieure du tube; ce qui suffit pour expliquer , sans que Tangle cù éproUTe aucune variation , le cbuigement de courbure de la sur&ce du liquide y et pour déterminer la courbure correspondante à une distance donnée du niveau extérieur du liquide à Textrémi té du tube. L'influence de l'angle i sur l'élévation du centre de la surface ca«* pillaire, fournit aussi l'explication des différentes valeurs de cette élévation que lés j^jrsiciens ont obtenues, pour un même liquide , et dans un même tube cylindrique vertical , qui n'était pas mouillé préalablement par ce liquide. En effet, quel que soit le degré de poil de la paroi intérieure du tube, il s'y trouve toujours des sinuosité dont les bauteurs sont incomparablement plus grandes que le rayon d'activité moléculaire , et dont les normales peuvent faine des angles quelconques, différens de l'ange droit, avec la verticale» L'angle i , et par suite la quantité ^, varient donc d'un point à un autre de la surface du tube que l'on regarde comme cylindrique. Les différentes valeurs de € peuvent être moindres que db i, sans que l'angle cê éprouve aucun changement ; et il en résulte différens états d'équilibre, dans lesquels le liquide est plus ou moins élevé, et la courbure de sa surface plus ou moins considérable. Cette sorte d'indétermination disparaît, lorsque la surface du liquide, concave ou convexe , est tangente à celle du tube , .et que l'élévation ou rabaissement de son niveau atteint le maximum; ce qui a lieu, comme on l'a vu précédemment ( n"" 62), quand le tube a été mouillé dan» toute sa longueur par le liquide, ou bien , quand il n'exerce aucune attraction sur la couçbe qui s'appuie contre sa paroi intérieure , en vertu du pmds du liquide et de la pression atmosphérique. Cest également à ces sinuosités, comme aussi à celles qui ont toujours lieu sur les surfaces regardées comme planes , que l'on doit attribuer l'adbésion de la couche liquide , d'une épaisseur sensible , qui mouille ces surfaces, quand b ou cos û$ est négatif, et qui se maintient sans perdre sa fluidité, qaelle que aok leur direction, verticale, boriaontile 00 inclinée*

(63). Dans le dernier cas du n* 6i , il sera bon de calculer le poids de la goutte qni se forme k Textrémité inférieure du tube,. à l'instant où l'équilibre ya se rompre , et en supposant le tube terminé par un plan horizontal , qui coupe ses deux surfaces intérieure et extérieure , en D' et h' ou il y aura des arêtes vives dont les rayons seront a et a'.

Si l'angle KON est obtus, la goutte se terminera à Farète extérieure, et, s'il est aigu, à l'arète intérieure. Dans les deux cas, on aura ^sri, à l'instant que l'on considère; le liquide sera conyexe; cbaque verticale ne rencontrera sa surface qu'une seule fois,- et la normale extérieure fera, en chaque point, un angle obtus avec la verticale tirée par le même point en sens contndre de la pesanteur.

Four fixer les idées, supposons l'angle KON obtus. A cause de f =s I et y =s — a', et d'aprfes la remarque du n* 55, nous auron<:

tk^ I ^+\/cl'* — e

«=A — a'+ W— «-^.^ log ^^r^

pour l'équation de la sur&oe 4a liquide, en regaidnit le radical

\/a'*— i' comme positif, et comptant les t pâsitiTes à partv du niveau du liquide et dans le sens de la pesùrtev* 8i Teo ap^pelle z« l'ordonnée d'un point qneleon^e, oom|rtée dans le même sens, mids à partir du plan horisonta! qui termine le tube inférieurement , on aura donc

ad«|V+V^«'»— !•

s. = \/«'*-^ + 55rlog

Le vèlume de la goutte située au-destous de ce plan sera asr Ç zjtdt ; et en déngnant son poids par m et eflbctuant l'întégration , nous aurons

En appelant / la hauteor correepondante du liquide au-dessus de l'extrémité inférieure da tobe^ cWt-ir-dhii la Tafeur de s qui répond à tssa'^ on aura,* il très pen pris, .

Le poids maximum m ne dépendra pas de la matière du tube , ou de la grandeur de la constante ^; seulement, quand b sera né-

DE L'ACTION CAPILLAIRE. i .^5

gatif^ coiTime nous l'avons supposé , le contour du liquide situé au* dessous du tube, sera Tarète extérieure de son extrémité; et dans le cas de b négatif, ce contour sera Tare te intérieure, de sorte qu'il faudra alors remplacer a^ par a dans l'expression de m. Comme on a supposé a! très petit par rapport à a, ce poids, pour différens liquides, sera à très peu près proportionnel à leurs densità.

Dès que l'éléyation du liquide dans le vase auquel le tube est adapté, surpassera 2', l'équilibre ne sera plus possible. Le liquide se mettra donc en mouTement : le déplacement de ses différens points sera très lent, ai Fexcès de pression est peu considérable; mais^ quelque lent qa*ii aoît, la figure du liquide ne pourra plus se déterminer par Paiitljrse précédente , qui se rapporte exclusivement au cas de réquilibre. L'observation montre que la goutte suspendue k l'extrémité du tobe s'allonge graduellement jusqu'à ce qu'une partie se détache. M. Gay-Lussac a trouvé que pour un même liquide #t mu même diamètre extérieur du tube , le poids des gouttes tombantes est constaiit p et que pour différens liquides , il n'est pas p r op o r tionnel aux densités* Le rayon extérieur du tube dont fl a £dt nsage était

a! srs 5~,o9. ,

A la température de i5^, il a trouvé S^^gSyS pour le poids de loib gouttes d'eau* En calculant la valeur de m^ d'après cette valeur de «' et de celle de a* du n* 56, on trouve, à très peu près ,

en aorte que , dans ce cas , le poids de chaque goutte qui se détache surpasse très peu celui de la goutte suspendue en-dehors du

tubei à l'instant ou Téquibre commence à se rompre. Mais il hni

remarquer que le rapport — étant environ -s , cette valeur de m ,

déduite de la formule précédente, peut ne pas être suffisamment approchée. A la même température, M. Gay-Lussac a trouvé S^oSyS pour le poids de loo gouttes d'un alcohol dont la densité était 0,8453, en prenant celle de l'eau pour unité; d'où il résulte que le poids de' chacpie goutte tombante d'alcohol est à peine le tiers

I a6 NOUVELLE

de odm d^une gontte d'eta^ t)aok]pe la densité da premier liqiïide ne diffère pas d'an cinquième de celle du second. Le rapport

!L étant plus grand que Tunitë dans le cas de Falcoliol et du tube

que M. Gay-Lussac a employés , on ne pourrait pas calculer la valeur de m par la formule précédente.

(64)* Considérons maintenant l'équilibre d'un liquide homogène , suspendu dans un tube capillaire et soumis à la pression atmosphérique ^ qu'on suppose la même sur ses deux surfaces, auxquelles appartiendront les équations (9) et (i i) du n** 5o.

Nous supposerons que la suiibce int^eure du tube soit une surface de révolutioa qui ait son axe yertical ; il en sera de même k l'égard des deux surfaces du liquide, dont l'axe commun sera celui 4u tube; et si l'on appelle t la distance d'un point quelconque M de l'une ou l'autre sur£Eice k cet axe, et p la densité du liquide diminuée de celle de l'air, et qu'on fasse

<es équations (g) et (11) deviendront

'W^l dt ? V"*" de ) '

di^'^ldt^ a* \'^^ de) *

La première appartiendra à la surface supérieure , et la seconde à la surfieice inférieure. Les ordonnées positives z et z' seront portées aa- dessus d'un plan horizontal qu'on choisira arbitrairement; la constante c se déterminera d'après le volume donné du liquide. Pour chaque point M , on regardera le radical contenu dans le second membrt de l'une ou l'autre équation^ comme une quantité positive oa négative , selon que la normale en ce point fera un angle aigu ou obtfis, avec la verticale tirée par le même point en sens contraire de la pesanteur.

Soit en outre f = 6H. Appelons a: la distance k Taxe du tube , d'un point quelconque appartenant au contour de la surface inférieure, / l'angle qui a été défini dans le n* 58, et C la mêmf?

quantité que daas œ nmnéro. Désignons par a^^ H, C, ce que deviennent Xf if 6 , relativement k on pmnt iï da cotrtow de ht sor&ce sapërieare. Nous aurons

la première équation ayant lie« pour tzsza:', et la seconde pour tssxp et les signes des radicaux se déterminant d'après les direc** tions des normales en et 0^, par la même règle que dans les équations (i4)*

Appelons encore C et C les centres des surfaces inférieure et su* périeure, c'est-à-dire les points où elles coupent leur axe commun, et en chacun desquels les deux courbures sont égales et de. même sens. Soient y et y' leurs rayons de courbure en ces mêmes points , dont chacun sera regardé comme positif ou comme négatif, selon que la sur&ce correspondante tournera sa concayité ou sa convexité en-dehors du liquide (n"* 3o). D&ignotis aussi par h et V les ordon^ nées verticales de C et G. D'après les équations (i4)> on aura

Cela posé, les premières et les secondes équations (i4) et (i5) for-meront deux systèmes , qu'on résoudra séparément par l'analyse des

v!* 54 et 58, lorsque les rapports ~> ^^ ^ seront supposés très petits , et en ayant égard aux signes que doivent avoir les radicaux contenus dans ces équations , soit au centre de chaque surface , soit à son «contour, Les valeurs de z et / qui en résulteront seront de la forme :

T et T étant respectivement des fonctions de I , x , C , et de ^ , jt<, €', qui ne contiendront pas la constante r. Il ne restera donc plus qu'à déterminer cette quantité et les valeurs de a: et a/, d'où dépendront celles de ^ et é\ Pour cela , désignons par X et X' ce que deviennent T et T\

ia8 NOUVELLE THÉORIE

quand on fiut l := x dans T et ^ ss j/ dans V. En appelant j et y les ordonnées des points et 0^ on aura

Soit de plus s^ le volume compris entre la surfiu» inférieure du liquide et le plan horizontal passant par son contour , et {/ le volume analogue 9 relativement à la surface supérieure. En considérant chacune de ces quantité comme positive on comme négative, selon que le liquide sera convexe ou concave j nous aurons

Soît enfin ^ le volume du liquide qui doit être donné; en en retranchant p et v^, on aura le volume terminé par la surface intérieure du tube et par les plans horizontaux des contours des deux surfaces du liquide, que je représenterai par Y; on aura donc

Ur, le point appartenant à la sur&ce du tube, son oi*donnée^ sera donnée dans chaque cas en fonction' de x, ainsi que Fangle i, et par suite la valeur de 6. Les quantités/', f, C, seront données de même en fonctions de x' ; la valeur de Y en fonction de x et x" s'obtien* dra par les règles connues; et, de cette manière, les équations (16) et (17) svfiiront pour la détermination complète des trois inconnues x^ X^p c.

'65). Cette solution du problème conviendra également au cas où le tube sera composé, comme un siphon, d'une partie courbe et de deux branches verticales, dont les surfaces intérieures seront ces surfaces de révolution, et dans chacune desquelles le liquide s'élèvera à une certaine hauteur. On prendra alors pour c' le volume du liquide contenu dans ces deux branches, au-dessus d'un plan horizontal supérieur k la partie courbe du tube , lequel volume se déduira du volume total du liquide, en en retranchant celui du liquide contenu au-dessous de ce plan, qui sera aussi connu; on prendra, en même temps, pour Y la somme des capacités intérieures des deux branches, comprises entre ce plan horizontal et les plans des contours des deux surfaces du liquide.

DE L'ACTIOCf CAPILLAIRE. 129

Sapposons, par exemple, que le^ surfaces intérieures des- deux branches verticales soient des surfiiees cylindriques, dont x etx' sont les rayons donnés; nous aurons, alors îc==o, i'ssso, €.sssC'^=ib. Eu déterminant les valeurs de T et T par les formules du n* 54» et négligeant les termes divisés par a% on aura

pour les équations des deux surfaces du liquide , dans lesquelles on regardera les radicaux comme des quantités positives. On pourra remplacer lequation (17) par celle-ci;

€* =î 2wr'ztdt 4- a^rf' sftdt}

d'où l'on tire, en efiSeictuant les intégrations,

ce qui fait connaître la constante ^, de aorte qu'il ne reste plus rien d'inconnu dans les expressions de zet^.

On peut remarquer que la dij9ereni:e de niveau des deux points C et C ne dépendra pas du volume du liquide. Généralement, cette différence sera

et ne dépendra, par conséquent, pour un même liquide , que des courbures de ses de«x sur£aices«

(66). Si le tube est cylindrique dans toute sa longueur, et terminé infériemrement par une portion de plan horizontal , qui se joint à ses deux surfaces intérieure et extérieure par deux arêtes vives, comme dans le n* 63, le liquide descendra jusqu'à cette extrémité du tube, pour s'arrêter à l'une ou à l'autre de ces deux arêtes, lorsque l'équilibre sera possible. Le rayon x' sera donné; on aura r = o , ^' = ^ , et l'expression de z' sera la même que dans le numéro précédent. Si le liquide est convexe par en haut , c'est-à«

iSo NOUVELLE THÉORIE

dire , si là quantité b est positive , il faudra qu'il le soit aussi par en bas, et le* liquide ne pourra s'arrêter qu'à Tarète intérieure du tube. Si > au contraire, cette quantité est négative, le liquide pourra d'abord être concave par* en bas, et s'arrêter à Tarète intérieure. Sa concavité, moindre ' qu'à son extrémité supérieure, diminuera de plus en plus, à mesure qu'on augmentera la hauteur du liquide; elle disparaîtra entièrement, et la surface inférieure du liquide sera plane, lorsque cette hauteur égalera celle du même liquide au-dessus du niveau extérieur, dans le cas où le tube est immergé par son extrémité inférieure : au-delà, le liquide devien-* dra convexe , et ne pourra plus s'arrêter qu'à l'arête extérieure du tube. En prenant- alors pour x le rayon de cette arête , et suppo-

sant très petit le rapport -^ , nous aurons

Ca' j^ ax

pour l'équation de la surface inférieure du liquide , dans laquelle on regardera les radicaux comme des quantités positives. En effet , d'après la remarque du n® 55 , la valeur de js — tr se déduirait de celle de z du n^ 54, en y changeant le sens des z positives et le signe des termes qui renferment une puissance impaire de a' ; ce qui est la même chose que de changer le signe des autres termes, comme nous le faisons ici, en conservant à Taxe des z sa direction en sens contraire de la pesanteur.

Le plan horizontal au-dessus duquel seront portées les z positives étant arbitraire , nous pouvons prendre pour ce plan celui qui termine le tube. Nous aurons donc 2 = 0, quand t:=sx ; ce qui donne

L équation (17) sera la même chose que celle«-ci :

i^ = 2^ r* jz/fe/^— 27r/ ztdt ;

il en y substituant la valeur de z' du numéro précédent , ei celle de z

DE L'ACTION CAfOiLAmE. rSi

quoD vieqt d'écrire, il en réràkera

«* H- TTC (ar* — jc'*) » va* (€x — bx') ;

ce qui &it coQiudtre la valeur de C* lies quantités c et ^ étant ainsi déterminées, les expressions de z.el de sf ne renferment plus rien d*inconnu. Nous avons supposé ^négatif; mais-s*il était positif , il suffirait de mettre au lieu de a:, dans ces différentes formtdes, le rayon x' de Tarète intérieure à laquée le liquide s'arrêterait alors.

Comme la plus grande valeur de 6 est l'unité ^ il s'ensuit qu'on aura le plus grand volume du liquide que le tube puisse souteoir , en &isant f = I dans la valeur de <*• Si Ton appelle fc le poids de ce liquide , et qu'on substitue pour c sa valeur , il vient

dans le cas de 6 négatif, et

dans le cas de b positif.

Si le liquide est le mercure non oxidé , et que le tube soit de verre, on sait, par la figure que ce fluide affecte dans un tube capillaire, que la quantité b est positive et .moindre que l'unité' le poids fi ne serait donc pas nul, et l'observation de ce poids pourrait servir à déterminer la valeur de 6 » en supposant connue celle de a.

Quand le tube est mouillé du liquide que Ton considère, on a i s= — I , et

S'il s'agit de l'eau , par exemple, on prendra pour a' dans cette formule, sa valeur numérique trouvé^ dans le n* 56.

(67). Pour donner une dernière application des formules du n* 64, supposons que le tube soit conique. La courbure de la surface du liquide la plus voisine du sommet sera la plus grande ; le liquide sera donc poussé vers ce point ou en sens contraire , selon que ses deux

i5a NOUVELLE THÉORIE

surfaces seront concaves ou convexes^ e'cst-JHdire selon que l'angle oê sera obtus ou aigu , on son cosinus b n<^tif ou positif. Par conséquent, pour tenir le poids du liquide en équilibre, il iâudra que le Mmmet du cAne soit au-dessous .dans le cas dé la conTexité, et au* dessus dans le cas de la concaritë. Je supposerai que oé soit le pre* mier cas qui ait lieu ; le second, se traiterait de la même manière.

On aura ^s=z i, et i sera l'angle donné que £iit la génératrice du cône avec son axe vertical. Les deux quantités C et C ne seront pas égales ; elles différeront par le signe du second terme (n* 58) , c'est-àdire que Ton aura

C =! 6 cos î— - Vï -^ ^ sin î , C ssbcoê i4-\/i — ^sin L

Je compterai les ;8 et is' positives à partir du plan horizontal , mené par le sommet du cône | il en résultera

7* ^ ^ Uniti^

tangi ' ^ tang»

et Ton aura, en même tempa,

La surface supérieure du liquide tournera sa concavité en-dehors ; chaque verticale ne la rencontrera qu'en un seul point, et, en cha* cun de ses points, la normale extérieure et la verticale tirée en sens contraire de la pesanteur, feront un angle aigu. Par conséquent, Tex-* pression de T se déduira de la formide (lo), en y mettant €' et a/ au lieu de 6 et a ; ce qui donne

en négligeant les termes divisés par a*, et considérant les radicaux comme des quantités positives. On en conclut

r x' = ^(^/7Z-^v/7trr.),

DE L'ACTION CAPILLAIRE. i3S

Quanta la surface inférieure du liquide, elle tournera aussi sa con«* cavité en-dehors ; mais dans tine certaine étendue , près de la paroi du tube, elle sera rencontrée en deux points par chaque yerticale; et, de plus, Fangle compris entre la normale extérieure et la verticale tirée de bas en haut, sera obtus depuis le centre jusqu'aux points où le plan tangent est vertical, et aigu depuis ces points jusqu'au contour^ Cela étant , on aura

Cd^ ^ ax j^ a*(i — ^)* X / F?

* — "*^ ir + âp "• w IV ^

où Ton regardera le radical \/i — '?' comme positif, et le radical

y I — -^ aussi comme positif dans la première partie de la sur-

face , qui s'étendra depuis < :s o jusqu'à ^ c& > > mais comme négatif dans la seconde partie, c'est-à-dire depuis t^=^ p jusqu'à t=:x. On

conae pâme , c esi-a-aire aepms t =3 aura donc

et d'après le signe du second radical , on en conclura

Au moyen de ces différentes valeurs, les équations (16) et ^17) deviennent

t.ngi = ^~ — + 3^ + — V-^ + cV»-€S û^i—^ ir W'-^ 3<rï^ +f,Vi— ff*.

i54 NOUVEI.LE THÉORIE

La dernière et mile qu'on obti^dra en mtmdiant la première de la seconde, secvûont à détermiiier â? et ^\ Toneon l'antre des denz premières fera» eomudtrerenenite la valenrde c, et ce sera la solution complète du paoblème.

Elle se nn^lifiera beaiMoap,. looqae, T^uBiglr x aéra très* petit ; ce qui permet de .remplacer ces i par Fuuîté. La diffenence x' ^^ x sera aussi très petite; et en la neigeant et faisant C^ sa. C iszh, excepte dans les termes qui sont divises par i ou multipliés par la constante a*, ce qui peut les rendre xonsidârables , noua aurons

En ajoutant ces deux équations après avoir multifriié' la première par 'Tra:*, on en déduit

et la seconde devient ensuite

en sorte qu'on n'aura» p\p& qu'à; résoudre cette équation du troisième degré.

(68). Supposons qu'on incline Taxe dti' cÀne, et qu'il' Ane- un angle 6 avec un plan horizontal^ mené par son sommet. Par ce métne point 9 menons un second plan , perpendiculaire à l'axe , et un troi<sième perpendiculaire k Tintersectron des deux pemiers. Prenons ces trois plans pour ceux des coordonnées , et désignons par ^ t >f » )fS les trois coordonnées d^uHh point quelconque M-de la sar£si€e inférieure du liquide, respectivement parallèles à l'axe du cône, à l'intersection des deux derniers [dausi et k celle des deux premiers. L^nrdonnée z du même point aura pour valeur

z ss Ç sin 8 -— D cos 6.

Au lieu de la secondé équation (14)» nous aurons donc

DE L'ACTION CAPILLAIllE. tS5

pour rëquation de la surface inférieure; A et A' étatit les deux rayons de courbure au point M, et la valeur de - 4~ ^ étant donnée par la

formule (a)^ dans kqueUe <m nïettra ti, ti', Ç, k la jJace Ae x, jr^ z. Si Ton représente par t la distance du point M à l'axe du cône^ l'équation du contour sera toujours la seconde équation (i5)y en y mettant ^ au lieu de 2, et désignant par Q la même constante que précédemment.

Cela posé y on pourra regarder Ç comme une fonction de ^ et y\ ^ dont le développement 9 suivant les puissances de >!, sera de la forme :

f = Z + Z'î;+Z''^-+.etc.,

Zy Z', Ta* 9 etc., étant «des fonctions de t. En substituant cette série a la place de ^ dans l'équation précédente , et égalant ensuite les termes semblables dans ses deux membres, on formera, eu effet, une suite d'équations dont la première ne contiendra que Z, la seconde Z et Z\ la troisième Z, Z' et Z'', et ainsi de suite. On en pourra donc déduire successivement les valeurs de toutes ces inconnues; et l'on pourra anssi s'assurer de la convergence de la série. Or , si l'on néglige , comme précédemment , les termes de l'ordre du carré du rayon du cône , divisé par a', la valeur de f se trouvera réduite à son premier terme Z, dont l'expression se déduira, sans nouveaux calculs , de celle qu'on a trouvée pour z dans le cas de l'axe vertical ,

en y mettant -7—. à la place de iz*. Le même raisonnement s applique aussi à la surface supérieure du liquide ; il s'ensuit qu'au degré d'approximation où nous nous arrêtons , l'inclinaison â de Taxe du cône n'influe sur les équatiops d'équilibre du liquide, qu'en ce

qu'il y faut remplacer a' par -r-j ; et, à cause de a' := — ,cela revécut à changer la pesanteur g dans sa composante g sin 6 , parai» lèle à l'axe du cône.

L'équation (:8) donnera alors