S6 NOUVELLE THÉORIE

ea dflHgBant par ^ la dirtinnr t— i d^ Ikpdde an sommet du eôoe.

Si ToA a memré k diredemcnt, oetle fimmile fera ooonaltre Fan^ I connespoodant, que Ton powia comparer a i Indiiiaisoa <Asenrée. La cnétike équation aura Ueo dans le cas de & ii^pitif^ eo sapposant Taxe itàdiîie ao-desfioas da plan horuootal passant par le sommet dn c&ne, et c^iajQgeafit, en conséqnenee , le ngne de an 6«

'Ù9). D'après le titre de ce diapttre, il nous reste encore à con- ^Idéi^r rëqoilibre de'plnflenrs Ikjnides soperpoeés et oontenns dam uu tube cajMllaire. Je supposerai qnll y en ait deux ; les coastautes spéciales H et F se rajqpoiteront au liquide inférieur , dans lequel Textrémité dn tube est plongée , et qui s*élend indéfiniment ««li-dehors* Je désignerai par H' et F' les constantes relatiTes au liquide supérieur; en sorte que, si chacun de ces liquides était iM>lé, rélératîon et la courbure du premier dépendraient de H et F, et celles dn second, de H' et F. Soit

F — r=Kj

et représentons par G une nouTclle constante, rdatiye à la matière (les deux fluides. Soit aussi p la densité dn liquide inférieur, et ù' celle du liquide supérieur, diminuées Tune et lantre de la densité de lair.

Les équations des sur&ces supérieures du premier et du second liquide seront, d*après les n*" 29 et 3o,

DE L'ACTION CAPILLAIRE. iS;

c désignant une <H^stante arbitraire , ef les* ordonnées posilives r et z^ étant . comptées en sens contraire de la pesanteur , à partir du niveau dû premier liquide en -dehors du tube. La yaleur de

^ + 3^7 sera donnée par la formule (2), dans laquelle on déterminera

le signe du dénomîoatfîur, d'après l'angle que fait la normale eictérienre à ce prem&r liquide avec la verticale tirée dans le seos des s positivé; y dé sorte que cé dédominatèur soit positif ou négatif, selon que l'an^^e dokit il s^agit sera aigu ou obtus. La yaleur de

- + -7 «e déduira die la même* fi)rmule , en y mettant z' au lieu

de z, et déteriflinant le s^ne du dcnonoinateur, par la même règle appliquée an liquidi; supérieur.

Indépendamment des. équations (n)^ ÀCmt chacune appartient à tous les pointa' de Tune àèk deux snrlaces^ on aura, relativement à leurs contours (»• 4^^,

KnGcosf, r=H'cos«; (*)

^ étant Tangle que fait la normale à li| surface de séparation des deux fluides, menée par oq point quelconque •de son contour endehors du liquide inférieur, avec la perpendiculaire abaissée du même point sur la paroi ëf daùs la matière du tube ; et a» désignant Tangle analogue, relativamént au contoiir.de la surface libre du liquide supérieur.

(70). Lorsque la surEace intérieure du tube est uqe surface de révolution, ajrant son axe Vertica), les deux surfaces capillaires seront aussi deÉ tarfaces de révolution q^ui auront le même axe que celle du tubej et les équatiptis (a) et (b) prendront la même forme et se résoudroiit de la même manière que; les équatîôus (14) et (i5). Nous prendrons, pour exemple, le cas le plus simple, celui d'un tube vertical dont la surface intérieure est celle d'un cylindre à base circulaire et d'un très petit dîartiètcp.

En désignant par t la distance d'un point quelconque de Tune ou l'autre des deux surfaces capillaires à leur axe commun, multipliant les équations (a) par 'utrit , cl intégrant ensuite leurs deux membres, nous auions •

fSa NOUVELLE THÉORIE j

i{p—p')gf^t -t-c/'

2f'gfz'tdt — cr =s

^ dâ

fl 9

les intcfgraiies fztdt et /jzVA étant niiHes cpâand < = o. En même ^emps , les équations {b) proadront la form^ :

G*+Kv/.+

h'^+fV' + ^=^^

et elles auront lieu pour ^ ==», en désignant par a le rayon du tube. Les signes des radicaux août k» mêmes id que daas les équations pi*écédentes. Si donc on fait ^ = « dans celles-ci , et qu'on élimine

^ et ^ ontre ces quatre éipiations, on aura

^p'gj z'idt — c«» H- aF' = o. J

Appelons h et A' les ordonnées verticales des centres des deux sur- &ces capillaires, c'est-à-dire les valeurs dtt s et z' qui répondent à ^ ss o. En ces points , les deux rayons de courbure de chaque surfiH:e sont égaux et de même signe. Soit donc aussi X^ssl \' =i y et fAtsifjJ^szy' pour <=:o. En vertu des équations (a), on aura

(p-p')gAH-cs=|,

Bfaintenant, dans une pramière appronnutîon de nous arrêter, nous pouvons supposer que lei

DE L'ACTION CAMLLArRË. tig

coïncident avec leurs sphères osculatrices p aux points où elles coupent leur axe de Sgan^ et dont les ordonnées «ont h et h'. Nous aurons alors

les radicaux v/>»— «•et \/y*— r étant respectivement de mém« signe que y et y, c'est-à-dîre positifs ou négatifs^ suivant que chaque surface tourne sa concavité par en haut ou par en bas. Je substitue ces valeurs de ziA z' dans les équations .(«); il vient

ou bien , en vertu des équations (d).

Le rayon « ^tant supposé très petit , et en supposant que K et F ne soient pas aussi très petits, on tirera de ces équations, à très peu près,

>'=-^ -«^[ht- + |3r- F.)' |H"].

OÙ Ton regardera îes radicaux comme des quantités positives. Les équations (d) donneront les valeurs correspondantes de h et h\ quand on aura déterminé la constante c.

Or y si l'on désigne par 7r<x^€ le volume du liquide supérieur qui doit être donné, on aura

«'€= 2 r* z!tdt -— 3 r* ztdt ,

ou I d'après les équations (c) ,

i4o NOUVELLE THÉORIE

ce qui donne

£n substituant cette valeur dans les équations (d), et observant que K = F — F', on en conclut

Les valeurs àe y^y^ hy h!^ ëttnt connues, celles de z çt z\ et, par conséquent , la forme et Félévation des deux surfaces capillaires , le sont aussi ; ce qui est la solution oomplèfe du problème.

(7 1 ). Si Ton supprime le liquide supérieur , il faudra supposer p' = o, P=o, H'sBo, K = F, GïssH, au moyen de quoi la première équation (e) devient

et si l'on fait H=g/'.^.*, F = H6, comme dans le n^ 54 > cette va«* leur de h coïncidera avec celle de ce numéro, en négligeant les teitnes divisés par a', dont nous n'avons pas tenu compte dans le calcul précédent. Il en sera de même en faisant

dans l'expression de A^

Je désigne par x l'excès de la valeur de h! ddtmée par la seconde équation {e) , sur cette dernière valeur de h. On aura

DE L'ACTION CAPILLAIRE. i^^i

U en résulte donc que si le liquide auquel repondent le^ constantes f. H, F, est d'abord seul dans le tube, et que Ton verse au-dessus un volume ^m^ê d'un autre liquide , pour lequel les constantes analogues soient p'^ H', P, le centre de la surface supérieure s'éiè* vera ou s'abaissera , selon que cette valeur de x sera positive ou négative. Lorsque cette sur&ce tournera sa concavité dans le même sens» et coupera la sur&ce du tube sous le même angle, avant et après rintroductioii du second liquide, on aura

ce qui réduira la valeur de x à son premier terme , lequel est positif à causa de f> ?'• Dans ce cas, il j aura donc toujours élévation du centre de la surface supérieure ; mais ce point pourra s'abaisser, quand la courbure de cette surface aura augmenté ou diminué par l'introduction du second liquide , selon qu'elle était auparavant concave ou convexe par en haut.

Supposons, par exemple, qu'après cette introduction la surface supérieure soit concave par en haut et tangente à la paroi du tube, et qu'dle faisait primitivement avec cette paroi un angle de

laoS dont le cosinus est -— -. On aura

F = — H', F = — iH; ^ a '

et il en résultera, à très pen {urès,

en sorte que si la densité p' du liquide supérieur est les neuf-dixièmes de la densité f du liquide inférieur i^ il suffira que < soit moindre que le diamctre 3« du tube, pour que x ait une valeur négative, et qu'on observe, en conséquence, un abaissement du centre de la surface supérieure.

Cette remarque peut servir à expliquer un phénomène observé par Th. Young. L'eau étant le liquide contenu d'abord dans un tube, dont il ne dit pas le diamètre, ce physicien a versé au-dessus du liquide une petite goutte d'huile, et il a vu la surface supé-

i4a NOUVELLE THÉORIE

rienre de cette bvile s'abaisser an-doBoos de la baateur primitive de l'eau ; abaissement qu\\ faut sans doute rapporter an centre de la surfiice, c'est-à-dire au point ou elle coupe Taxe du tube. Or , rhttile ajant été introduite par le haut du «abe, il y a h^nt de croire que la paroi du tube en était hunecfëe, au-dessus de la surfiice de ce liquide, et qu'on avait, par consëqneikt , Fas — -H', comme je l'ai supposé dans le [numéro précédent. On peut aussi supposer que l'eau ne mouillait pas primitivement le tube dans 'toute sa longueur I sans quoi l'huile aurait difficilement descendu le long de ses parois. On peut donc admettre que la surface de l'eau n'était pas tangente à la paroi du tube, et qu'on avait F< — H, comme je l'ai aussi suppose; et ces données suffisent, ainsi qu'on vient de le voir, pour que la valeur de x puisse être négative, conformément h l'observation de Th. Young.

Il avait présenté cette observation singulière, comme une difficulté qu'il élevait contre la théorie de Laplace, et que j'ai indiquée au commencement de cet ouvrage. Mais, sur ce point, les formules de la Mécanique céleste sont les mêmes que celles dont je viens de me servir pour montrer la possibilité d'un abaissement du centre de la sur&ee supérieure; et l'on est fondé à croire que l'expérience de Th. Toung, au lieu d'être contmire k k théorie, en deviendrait une vérification intéressante, si elle était répétée et accompagnée de mesures suffisamment exactes.

(72). Au reste, Fabaissement dont il s'agit ne peut avoir lieu qu'à l'égard de la partie centrale de la surface supérieure. Lorsque plusieurs liquides sont contenus dans un tube cylindrique et ver-tical, plongé dans le liquide inférieur, leur poids total au-dessus d'un plan.horiaontal choisi arbitrairement est le même que si le tube ne renfermait que le liquide inférieur; et, comme la densité de celui ' ci doit être plus grande , il faut que le v(Jume total de ces liquides , et , par conséquent , l'ordonnée moyenne de la surAice supérieure du liquide le plus élevé, soient plus considérabhes que si le liquidé inférieur existait seul. Cette invariabilité du poids total aurait encore lieu , lors même que les liquides seraient mélangés, pourvtr que le mélange n'atteignit pas l'extrémité inférieure du tube.

£a effet; prenais ua plan faoriioatai à une cfeUnce sensible audessos de son cxtrëoiitë infér i eure et au-dessous des liquides super-^ posa ou mélangés; en supposant la surface intérieure du tube parfaitement cylindrique I et faisant abstraction des sinuosités qui peuvent donner lieu à difl^ns états d'éqrlilibre (n^ 6:2)9 ^ ^t évident que Faction verticale du tube sera nulle sur chacune des molécules fluides situées au-dessus du plan horizontal. Cela étant , soit R Faction exercée en sens contraire de la pesanteur y par le liquide situé au-dessous de ce plan sur le liquide situé au-dessus ^ et U le poids de celui-ci; pour son équilibre ^ il faudra qu'on ait

n désignant la pression atmosj^rique rapportée k Tunitë de sur&ce , k* Taire de la base du tube, qui peut n'être pas un cercle, et, par conséquent, lU* la composante verticale de cette pre^ion. La force R se composera de deux parties : Fune relative à Faction du liquide situé au-dessous du plan horizontal, sur la couche du liquide supérieur adjacente à la paroi du tube et d'une épaisseur insensible; et l'autre relative k Faction du premier fluide sur tous les points du second qui s'éloignent seusibiement de la surfiice du tube. Je r^iréseuterai par y la première pairie de R; la seconde sera la pression qui a lieu, à l'intérieur du liquide dans lequel le tube est plongé, et qui répond k la distance du plan horizontal au niveau extérieur de ce liquide ; et comme cette pression intérieure , rapportée k Funité de surfiice, est ^|ale k Il + fgJ'j en appelant g la gravité, f la densité du liquide, et / la distance dont il s'agit , la seconde partie de R sera Tlk* -f- pgJ'f^. En substituaat sa valeur totale dans Féqua« tion précédente, on aura donc

Qr, la quantité V ne dépendra que de la matière du liquide inférieur et de son degré de compression près de la paroi du tube , c'est-à-dire de la matière de ce liquide et de cdle du tube. II en sera donc de même k l'égard du poids U; par conséquent, ce poids ne diangera pas avec la matière et le nombre des autres liquides ; ce qu'il s'agissait de prouver.

i44 NOUVELLE TlILOlUi:

Qaand il n'y a que deux liquide», et qu'ils ne sont point mélangés , on parvient à la nictne conclusion au moyen de rëquation (17} du n* 36; Cette équatiou < st

P 4- r Œ — -H'r cos 0» Gc cos ^ :

P étant le poids du liquide supérieur^ P-^T le poids du [liquide soulevé ou abaissé par l'action capillaire^ c le contour de la base du tube y o) et 9 les mêmes angles^ et H' et G les mêmes quantités que dans les équations (b). On aura donc, d'après ces équations,

à causr de K=:F — F'* Or, cette valeur de P-f-T est, comme on voit , ludcpendante de la matière du liquide supérieur.

Dans cti cas particulier, le poids U diminué de gpj'f^ est la même ciiose que P + F: on doit donc avoir

V = — -cFj

a et., en effet, Y est la somme des forces P et « du n^ 58 1 multipliée par c ; quantité égale à — -cF, d'après le n^ 4^.

(73), Quelle que soit l'action mutuelle des deux liquides super^ )iusés., si la paroi intérieure du tube est recouverte, dans toute sa longueur, d'une couche très mince de l'un de ces liquides , mais dont l'épaisseur ne soit point insensible, leur surface de séparation sera tangente à la paroi du tube, et elle tournera par en haut sa convexité ou sa concavité, selon que la couche mince appartiendra au liquide Supérieur ou au liquide inférieur.

En eûet, supposons que ce soit le premier cas qui ait lieu. Si l'on appliquie au liquide inférieur la formule (a) du n^ 4^, on en conclura 4r = — q; car, dans la supposition que nous faisons, la fonction f contenue dans cette formule, sera évidemment la même que le fonc* tiou R, renfermée dans l'expression de j, du n* ay. De plus, le liquide supérieur n'éprouvera aucune variation rapide de densité près de la couche mince, adjacente au tube; On aura alors 3*'=: iq'(nP 49)}

et, d'après ces valeurs de « et mfy les équations (lo) du n* 46 donneront K ssG ; d'où il résultera cos 9 =b i et f = o ; ce qui répond à une surfiioe tangente au tube et convexe par en haut. Si , au con» traire la couche mince adjacente au tube est formée par le liquide inférieur» on aura iir =s 39 et «^sae — q^ j il en résultera Kss —G , et ensuite cosf sss-«-^i et.93tt8^; ce qui répond à une surface tangente au tube et concave par en haut.

Ces résultats contiennent , comme cas particuliers , ceux du n^ 5 a qui se rapportent à un seul liquide^ renfermé dans un tube qui n'exerce aucune attraction sur ses molÀmles, ou dans un tube mouillé préalablement dans toute sa lon^enr par ce même liquide.

(74)* M; Gay*LuS8ftc a effectivement reconnu que le mercure con-tenu dans un tube capillaire et mouillé successivement par différens liquides , prend toujours une ferme hémisphérique et convexe par en haut ^'lorsqu^il est recouvert d'une couche quelconque du même liquide dont le tube est humecté. Les dépressions du mercure qu'il a observées dans ces différens cas, font connaître celles qui au* raient lieu si la couche supérieure n'existait pas ; mais elles laissent inconnus les angles sous lesquels la surface de ce fluide viendrait alors rencontrer celle du tube» et elles montrent seulement que ces angles varieraient avec la matière du liquide qui mouille le tube dans chaque cas.

Pour le (aire voir, appliquons les équations (e) au cas du mercure recouvert par un autre liquide qui mouillera, en outre, la paroi du tube dans toute sa longueur. D'après ce qu*on vient de démontrer , il y faudra faire KsssG. Relativement au liquide supérieur, on aura F'sss— H'; et, à l'égard du mercure, si l'on fait FsaHft, h sera le cosinus de l'angle aigu souS lequel sa sur&ce viendrait couper celle du tube mouillé, en supposant qu'on eût enlevé la totalité du liquide supérieur, et qu'on laissât seulement subsister la couche mince de ce liquide, adjacente à la paroi du tube* Soit de plus H =: gjpa*, les équations (é) deviendront

i/fi !(OOVfiLîLE Tfi£ÛRI£

d'où it rëMltt

pour là dlfFëMUcd de hauteur de& ceutm 46i deux surface» du liquide supérieur^ .

M. Gfty-Lussac a pris «uccecsfyemeiftf Mtt et Falcoliot pour le liquide supérieur. La température était la même, et s'élevait k i7%5 ; le rayon dû tube était aussi le même , savoir :

Les valeurs de < et de A sont les moyemiea de plusieur» mesures qui diûcreraieut peu eutre elles. Dans le cas de l'eau , M. Gay^Lussac a trouvé

$ = 7°''",75oo, h = — . 7~4i48,eu prettaut

les équations précédeutes donnent

— s= 7"",ooid.

Dans le cas dé l'alcohol, dont k densité éteit 0,8197 ^ ^^e de Teau, on avait

€ as 7-^,4755 , A sa — 8~^i6i j d'où Ton conclut

Or, la différence de ces deux valeura de — est trop gritade poar éti«

attribBée aux erreim des ol»ervatioiii| «Ue prouve q^e la qoantité b c'est pas la i&ètne dans les deux cas; et la seconde vsletir saipassant la première, il en fiint conclure que l'attractioailç la conche d'ean adjacente au tube l'emporte sur celle de la couche c^ulcçhol. '

(75). En faisant usage de la première valeur de —, et la multipliant par celle de «, on trouve

DE L'ACTION CAPHiLABlE. t47

Si Ton rabstitae cett» yaleiir onmtfrkpe dans la première éqiia?* tipn (f), elle fera conQaltre enaaite la dépr^on (db m^xcart, re* couvert d'une çonclie d'eau^ d'une épais$enr donnée, et contenu dans un tube çapHiaire^ d'un rayon « auwî donnés pr^aUement mouillé d^eau. On pourra faire usage de cette foroiulei tant que € aura une grandeur sexwble^ aussi petite que Ton Toudra; mais quand la couche d'eau qui recouv]re le mercure aura entièrement disparu^ sa dépression seira déterminée par la formule du n* ji , qui devient

quand on y fidt Fss ^H et H.= gpa^. Pour s'en servir^ la valeur précédente de a^b ne suffira donc pas; et il faudrait aussi con-> naître la valeur de ^f à moins que le diamètre du tube ne soit assez petit pour qu'on pnisse réduire cette dernière formule à son premier terme.

En faisant bouillir le mercure dans, le tube qui le contient , on change cette quantité b, d'où dépend le degré de convexité du fluide, quand il n'est pas recouvert d'une couche d'eau. Casbois a &it voir qu'après une ébullition suffisamment prolongée, cette con* vexité diminue et se change même en une concavité, et, par suite, la dépression en ascension. Pour expliquer ce changement remarquable, on supposait que l'épaisseur dé la couche d'eau adjacente au tube, ayant été diminuée par l'ébullition, la matière du tube pouvait agir directement sur les molécules du mercure , et qu'elle, exerçait sur elles une attraction plus grande que celle de l'eau. Or, cela exigerait que la couche d'eau interposée entre la paroi du tube et le mercure eût entièrement disparu; car, pour pen que son épaisseur ne fiit pas insensible, elle suffirait pour rendre imposa sible l'action mutuelle du mercure et du tube. L'épaisseur de la couche d'eau étant devenue insensible , on conçoit que la quantité b pourrait varier , k mesure que cette épaisseur diminuerait encore de plus en plus; mais «ne pareille réduction de la couche d'eau est inadmissible; et M. Dulong a donné l'explication- véritable du chan-

^iS NOUVELLE THEORIE

gement de figure da mercnrt k la suite de l'ebnllition. Il a montre que , dans cette opération, on oxide une couche de mercure, en contact avec l'air, et que cette petite couche, mélëe ensuite à la masse entière du liquide , suffit' pour en changer les propriétés ; en sorte que la couche d'eau adjacente au tube , qui a pu conserver une petite épaisseur quelconque, exerce sur le mercure, en partie oxidé, une attraction plus, forte que celle qui avait lieu auparavant, dont Tintensité dépendra de la proportion de Foxide formé, et, par conséquent, de la durée de Tébullition.

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