CHAPITRE V

Pression des liquides^ modifiée par Faction capillaire.

(76). La même force qui produit rclëvation ou rabaissement d un liquide près de la paroi du tube ou du vase qui le contient, ou, géuéralement, près du corps contre lequel il s'appuie, influe aussi sui la pression quHl exerce sur ce corps dans son éut d'équilibre. Cette modification de la pression hydrostatique est une partie essentielle de la théorie de l'action capillaire ; différens phénomènes en dépendent , comme on le verra dans la suite} et la solution du problème, ne sera complète qu'autant qu'on aura déterminé la pression d'un liquide sur un solide, soit aux extrémités du liquide, soit en d'autres pointe quelconques. Nous allons nous occuper spécialement de cette détermination.

Appdons M un point du liquide ^ titiié à une distance de sa surface et d'un corp? solide, qui soit insensible, mais plus grande que le rayon d'activité moléculaire. De ce point, abaissons sur la surface de ce corps une perpendiculaire qui la rencontre en un autre point M' • et par le même point M faisons passer une seconde surface qui coupé à angle droit toutes les normales à la première. Les pressions exercées directement par le reste du liquide, sur la couche d'une épaisseur insensible, comprise entre les deux surfaces, seront transmises au solîde par l'intermédiaire de cette couche. Si le corps est retenu par des points fixes , les eflforts que ses appuis auront à supporter seront les Insultantes de toutes ces pressions, en supposant, sans erreur sen* sible , chaque pression transportée du point M au point M' ; s'il est entièrement libre^ son poids devra faire équilibre à ces mêmes résultantes, en négligeant, aussi sans erreur appréciable, le poids de la couche liquide adjacente è sa surfiice ; et, cela étant, dans le calcul des pressions totales que le corps éprouve, on rapporte à chaque

U'Ji

i5o NOUVELLE

point M de* la snr&oe, la pression qnî a réellement lien au point M' de

celle de la ooodie liquide.

D'après'œ qu'on a yu dans le n* 2^, la pression rapportée k Tunitë de suÀoe et relatire au point M, aaquel on substitue le point M', est la résultante d'une force N uonnal* ^ jdingée de dehors en dedans du corps , et dé deux forces tangentiélles T et T', dont les valeurs sont

p étant la piMsiou sur un pkn passait ptr le point M^ laquelle est indépendante de sa direction ; q désignant une quantité qui ne dépend que de la matière du liquide an point M ; X et A' représentent les rayons de courbure principaux de la surfisice qu'on a fait pssser par le point M, ou, sans erreur sensible, ceux de la sur- &ce même du corps au point M^ que l'on i^ardera comme positifs ou comme négatift, selon que les lignes de couribure tournent leur concivité en«*dedans du corps 09 en**dekors; et, enfin, les axes des x Stt des jr étant respectivement parallèles aux forces tangentiélles T et T.

Si le liquide est homogène et partout à la même température, la quantité q sera constante, conune sa densité, et la pression se réduira k la force nonnale N. La pesanteur étant la seîde force donnée qui sgisse sur le liquide, le premier terme de N aura pour

expression

p m^ C ^ gpzi

z étant l'ordonnée du point M , verticale et dirigée en sens contraire de la gravité; g cette force, p la densité du liquide^ et c une constante arbitraire. Quand une partie de la sur&ce libre du liquide sera plane et horizontale, on aura cssll, en comptant tes z à partir de ce pian, et désignant par n la presâon atmosphériqua. Quand aucune partie de la surface libre ne sera un plan , la cons^ tante c ne sera pfus égale à I9 pression II appliqué^ à cette surface, et l'on devra recourir à d'autres moyens pour la déterminer. Dans le preoiier ca;i, si la hauteur du point M «n-dessus de la {«r-

tte plane du liquide surpasse ^ n » la quantité p sera négative à ce

DE L'ACtION CAPILLAIRE. t5i

point. Celfl ârriyeltii par' exemple ^ dans l'intérieur d'un tube excessif veôientttroit oè le Itifiaide s'étève à une très grande hauteur atHiessus de son niyeau extérieur, ou bien , sans que son diamètre soit extrême** ment petit, lérsque le liqiâde éem placé dans tm air très raréfié. Dans 8k partie supérfetive^ le tube sera alors tiré de dehors en dedans, au lieu d'dtre poussé dé dedans en dehors; et il devra résister à cette force par Tattracttoû qu'il exerce sur les molécules du liquide, diminuée de la répulsion calorifique. On toit aussi , par cette remarque , que la somme 2, que représente />, peut non -^seulement changer de grandeur dans un très grand rapport, pour de très petites différences de condensations du liquide (p? 1 3) , mais qu'elle peut aussi changer de «igné; en sorte que pour des valeurs très peu différentes de l'intervalle moyen des molécules, qui a lieu en haut et en bas du liquide , la répulsion calorifique soit prépondérante dans la partie inférieure du liquide, et Tattraction de la matière pondé^ rable , dans la partie supérieuiv.

Le terme p de la valeur de N est la partie principale de la près* sion du liquide, et la seule à laquelle on ait égard, en général. La seconde partie est, en effet, très petite, et ne pourra devenir considérable que dans le cas d'un corps d'une très petite dimen«sion et d'une très grande courbure. A la même profondeur, au-dessous du niveau du liquide, une sphèite solide éprouvera, en vertu de ce second terme de N, une augmentation de pression d'autant plus grande que son diamètre sera plus petit. Toutes choses d'ail» leurs égales, il faudra quelle soit susceptible d'une plus grande résistance, pour n'être pas brisée; et son diamètre subira, par la compression, une plus grande diminution que celui d'une autre sphère d'un plus grand rayon. Le coefficient q , dont dépend cet excès de

pression intérieure, n'est pas exactement le coefficient - H , qui est

déterminé par Tascension ou la dépression du liquide dans un tube capillaire; ils difiS^rent l'un de l'autre par une quantité q^ relative à la couche superficielle du liquide. Si l'on néglige q^ par rapport k q, qui parait devoir être la partie principale de - H, il en

résultera que dans l'eau > Texcès de pression dont il s'agit, en chaque

i5a NOUVELLE THÉORIE

point d'une sphère, d'un rayon égal k vn millième de millimètre , équivaudra à un enfoncement de i5 mètres k peu prèa dans le même liquide.

Mais nous allons démontrer que, quelle que soit la nature du liquide^ et la forme d'un corps solide qui y est entièrement plongé^ la seconde partie de la force N et les forces T et T^, appliqiéées à tous Ici points de la surface de ce corps, se détruisent sans le sec^ars d'aucune autns force p et ne peuyent lui faire prendre aucun mo«rremen|; de translation ou de rotation.

(77). En. faisant pour abr^er ,

— ^ il»

et désignant par V la seconde partie de N, on aura

. I A . I <fe

quelle que soit la direction des axes des coordonnées Xfjr,z: on regardera I dans cette formule , p comme une quantité positiye ou négative , selon que la normale menée par le point M' à la surface du corps et dans son intérieur , fera un angle aigu ou obtus ^ arec une droite menée par le môme point suivant la direction des z positivw. Désignons par » > >)^ Ç , les coordonnées d'an autre point m de cette sur&ce^ rapportées au point M' comme origine, et aux directions des forces T y T' ; appelons q\ ce que. q devient en ce point m : il est évident que les dernières équations (i) seront la même chose que

^— AT" ^==*^' pourvu que Ton fasse si as o et d'sso après les différentiations , ce

dt dt

qui rendra nulles Fordonnée Ç et ses différances partielles ^et ^. Les

coordonnées de m, rapportées aux axes quelconques des x, Xp ^f

seront

X 4- an + hnf •+• cÇ,

DE L'ACTION CAPILLAIRE. i55

a, b, etc. f étant les cosinus des angles coropm entve les axes des ^» ^^ Cf ^t c^^^ ^^ ^fjr 2, lesquels cosinus :^ont liés eatre etix par des équations connues , qu'il est inatile decri-e/On {>ouiTa considàer q' comme une fonction de ces trois nouvelles coordonnées ; et aloiv on aura

fiour les valeurs particulières >; = o et yfsso*

Les parenllièses dont sont enveloppées les différences partielles de ^^ indiquent qu'elles doivent être prises en regardant les trois variablef'. XfT, Zy comme indépendantes; mais nous pouvons aussi consî* dtrcr z comme une fonction de x el ^, donnée par l'équation de la surface du corps ; et sous ce point de vue , nous aurons

\dx)'^dx \àijdi' \dx\~dj \dz)dx

D'ailleurs y Taxe des z positives ctaut Ih normrî/î à la surface du coi-ps , menée dans son iutériear pyr le poîn* M' dont les coordonnées sont Xp ^, z, et c, c\ J-, désignant les cosinus des angles que fait cet axe avec ceux des jr, r^ z, il s ensuit qu'un aura

V dx V 4y ^

en donnant à (^ le même signe que dans Texpression de V. On a , en outre

i\ en résultera donc

u dz . f fiz «r/ t. dz . tfdz

ce c û fera disparaître (-J^j dans les valeurs de ^ et ^^ , ou de T et T, et les réduira a

tSi ^NOUVELLE THÉORIE

De cette manièi'e, les. forces ncurmale el tangentidllet V, T^ T\ sont exprimée» en fenctioiis de coocdoonées quelcon({ues x, jr, ;&; il faut , de ptns^ les transformer en d'autres forces, dont les directioDS scâeRt aussi (pielconq«es et inyariables.

Supposons, pour cela, qu'on ait d'abord pris la résultante de V, T, T^, et qu'on la décompose ensuite suivant les ax9 des x , j , z- Soient X, \, Z, ses trois nouvelles composantes; nous aurons

x = aT + ftr+ cv,

Je substitue, dans ces formules, les valeurs de T et T' données par les équations (5), et celles de c, c', c"i j'observe que l'on a

SI— c* =

- t^ V'^dj-J'