SI— C
od'-f- bb's
s — ce' Si
I d!( dx V* dx 4y*
(ui'+bb" =
z ^ ce" =1
^ i dx
' 1^ dx'
a'a"^ b'bf's
I dz
d'où il résulte
Y — JL ^, -L. ^^ ^ L^^fà^ « *v
1^ \ ^ d:rV dr i^* dx djr dx T d}^^
Z — -î. — ^ a- — ^ ^ u. Iv.
el en y mettant pour V sa valeur donnée par l'équation (a) , ces formules pourront s'écrire ainsi :
DE L'ACTION CAPILLAIRE. t55
I 'v\ dy*J I ' v^b: dj
\ ¥\ dx^J ^ I V dx dr \ 4B V djr y ax ^
d.l * rf.£ *
Il sàgit donc de faire voir qae si l'on applique ces trois forces a chacun des points M' de la surfaice d'un corps solide , de forme quel* c -nque, mais termi&é de toutes parts, elles se feront éq«ilibre^ c'^st^àd;re que la somme de toutes ces forces sera nulle , suivant chacun des trois axes àe'x^jTf ^^ «t la«omme de leMs momens> aussi nulle , autour de chacuBe de œs trois droites.
(78). Pour fixer les idées ^ je suppose que l'axe des z soit vertical et dirigé de bas en haut, et que le corps que Ton considère soit situé en entier au-dessus du plan des ^ et j^; je suppose , de plus 9 que chaque perpendiculaire à ce plan, et, généralement, une droite quelc onyc , tirée dans Fintérieur de ce corps , ne rencontre sa surface qu'en deux points ; et comme les formules (4) sont évidetnmeat indépèsdatites du sigwe de p , je prendrai oe radical avec le signe + dans toute l'étendue de cette surface.
Cela poiië, cifCMiscrivotis à tette même ratfece im cylindre vertical qui la df visk tm deux parties , Ttine inférieure et l'autre supérieure. Dans tôtrte la |n*emiè]ie )iartie , la notttiale intérieure fera uu ati|^ tù^ tk^Mb faxe des IK; et puisque p est une quantité positive , <m MMi
u dx' V qy V
les angles dont c, c', cf'^ sont les cosinus répondant à eette normale. Dans toute la partie supérieure, ce sera la normale extérieure qui fcffti Un 'ttirigle aigu ttvec Taxe des « ; et , en appelant Cl f c\ , d\ , les cosinus des angles qui s'y rapportent , on aura aussi , à cause de ^ pd^itiT ,
ao..
t56 NOUYELLE THÉORIE
Enfin ^ si Ton désigne par ds l'élëment différentiel de la surface du corps y et si Ton observe que cet élément et sa projection horizontale cLrdjr doivent être des quantités positives, on aura
ds ;= vdxdjTp
dans toute l'étendue de cette surface.
Multiplions les équations (4) par ds, puis int^irons dans toute cette étendue ; nous aurons
■Çr- \dxdjr
p.ds
rf.J(c« +
la première intégrale double de chacune de ces expressions répondant à la surface inférieure du corps ^ et la seconde à sa partie supérieure. Ces intégrales auront donc pour limite commune, la ligne de contact du corps et du cylindre vertical circonscrit , en sorte qu'elles doivent être élehdues aux valeurs de x etjr, relatives à tous les points de la base de ce i^lindre sur le plan de Ces coordonnées.
Menons ài)K|:ontour de âette bf^ deux tangentes paraljèles à Taxe des y. Leurs feints de contact diviseront cette courbe en deux parties ; et nous aurons
ff^ dxdr=: (Sqc'dx) - {fqddx}, ff^dxdy= {fqc\dx) - {fqc\dx] }
DE L'ACTION CAPIIJjAIRE. iSj
les intégrales comprises entre des parenthèses répondant à l'une dés deux parties , et celles qui sont, renfermées entre des crochets appartenant à Tantre* Mais^ pour tons les points de la conrbe de contact du corps et du cylindre vertical, et, par conséquent , pour toutes les valeurs de x et ^ qui répondent à la projection horizontale de cette courbe , la quantité q est la même , soit qu'elle appartienne à la partie supérieure où à la partie inférieure de la sur&ce du corps ; de plus, la normale intérieure à l'une de ces deux parties, est^ en chacun des mêmes points, le prolongement de la normale extérieure k l'autre partie, ou, autrement dit, les angles qui ont c, (f, c*', pour cosinus sont les supplémens de ceux dont les cosinus sont c^ , c\, d\ ; dans les intégrales simples qui précèdent , on fera donc qcfz=. -— qù d'où il
(fqc'dx) + {fqc\dx)=^o, [fq(fdx']^[fqc\da:li=zo, et, par conséquent ,
ff^ d^djr +ff^ dxdjr » o.
On prouvera de môme que l'on a
et en ajoutant ces deux équations, on en conclura
fZds = o.
Par un raisonnement semblable, on trouve
fXds 5= o , fYds CS3 o.
Ainsi f les sommes des composantes des forces que nous considérons sont nulles suivant les trois axes des x, jr, z* Les équations (4) donnent
iS8 WMJVËLLE tHÊCHlE
xr^Yx^- ^^ : ^
.'■}l{'+é)'+éi^^l
et y «omme tes seconde t Êiêm h t m «te ces taouniHeB éc|ijMitîîons ont ia même £oMM yjuê éenic dctt équations (4)» bti en ts^mêlufii, î>ifr une Mdysè semblable à la j^ûéd^nte ,
les intégrales s'étendant à la surfisK^e entière du corp». Les Mnmesdes momens des forces X, Y, Z, par rapport aux axes des œ, jy z, sont donc aussi nulles; par conséquent, ces forces appliquées à tous les points de la surface du corps Isè détruisent mutuellement; ce qu'il s agissait de démontrer.
Quoique nous ayons supposé, pour plus de simplicité, que la surface du corps i^'étâft l'éttconlnée qu'en dtefàk points par chaque droite tirée dans son intérieur, il est aisé de voir, cependant, que la dén^onstration précédente aura encore lieu dans le cas d^un nombre quelconque d'intersectioâs , Itfeqûâl non>bre ^ilà toujours pair, à cause que le corps est terminé de toutes parfs. Il faudra alors la diviser en plus de deux parties isoiitig«es , et ^hdre \^ liÉfé^àl^ 4 dbliCohe de ces parties séparément. Mais la démonstration et la proposition elle-même exigent que la surface du corps ne présente aucune arête vive, c'est-à-dire aucune ligne pour laquelle les plans tangens aux deux parties adjacentes de ht ^titfkce , comprennent un angle fini. Quand il en existe, les forces X, Y, Z, appliquées à la surface entière du corps, ne se font ^lus équilibre^ et d'ailleurs on ne doit pas perdre de vue que , près d'une arête vi ve^ 4a résultante des forces N, T, T^, déterminées par l'analyse du n* 35, n'exprime plus la véritable )irl^sidii du liquiàe, dont la grandeur et la direction doivent alors ^ètre déduites de considérations parficolièiieS.
(7g). Si l'osi demande lu pression exercée ^r les forces X, Y, Z, sur ube p#rtton seulëmeht de la sui^ce ttti corps plongé dans le liquide*^ les intégrales fUds^ /\ds, fZcb, fte seront plus
nulles, et Ton en pouira déterminer les valeurs de la mauière suivante.
Supposons ff^ cette portion de surface appartienne à là partît inférieure du corpSf k laquelle répondent les cosinus c , c\ c^' ; il faudra supprimer I àB,w Teaipression de chacune de ces trois intégrales , la partie qui reiifiBrm^ les autres oosinus c, , c\ , ç^\ ; et en considérant la troisième intégrale , on aura alors
Faisons passer par le contour de la portion de surface que l'on considère , une surface cylindrique parallèle à Taxe des z. Par un point quelconque de ce contour , menons, dans Tintérieur du tylindre et dans rintérieur du corps, des normales à leurs surfaces. Soient y , y\ y'^f les cosinus des angles que fait la normale à la surface cylindrique, avec les axes des x, j^, z; et ceux des angles qui répondent h l'autre normale étant c, e% d\ si l'on désigne par i l'angle compris entre ces deux droites, on aura
Les intégrales relatives à ^ et ^ s'étendront k tous les points de la base du cylindre sur le plan de ces coordonnées ; or , chacune de ces intégrales doubles se réduira, comme dans le n* 35, à une intégrale simple , étendue au contour entier de cette base ; et si nous appelons d<r l'élément du contour de la portion de surface dont cette base est la projection , et cT l'angle aigu que fait cet élément avec le plan des X et jr, de sorte que cos J'd^r soit l'élément du contour de la base, nous aurons
ff-ff dxdjrxsz^fqcycos. J^da, f f-^djrdx^^ ^fqc'y cos J^da^
donc, à cause de y*'zssOf il en résultera
flids =/9 cos i cos J'dff ;
l'intégrale s'étendant au contour entier de la portion de surface que l'on considère.
Lorsque cette portion de surface appartiendra à la partie superleurp
i6o NOUVELLE THÉORIE
du corps, on prendra pour i l'angle compris entre la normale extérieure du corps et la normale intérieure du cylindre; quand elle appartiendra à la partie aupérietire et è la partie inférieure , on calculera la valeur de /2^s séparément pour cbacuné- de ces deux parties. L^angle i sera aigu dans Tune et obtus dans lautre; et il se comptera toujours à partir de la normale intérieure du cylindre l)arallèle à l'axe des z. On obtiendra de même les valeurs de fXds et /Yds.
Si le liquide est homogène ^ le coefficient q sera constant et sortira en-dehors des signes /. En supposant la portion d^ surface terminée par une courbe plane et parallèle au plan dee ^ et ^, on aura cos cT = i ; et si, en outre, le corps est un solide de révolution dont l'axe soit parallèle à celui des z y cette courbe sera circulaire, et l'angle / constant dans toute sa longueur; en appelant donc r son rayon , on aura
fZds aBs arn^ oos Y.
Pour le même contour, l'angle î se rapportera à la normale intérieure ou à la normale «xbsneWe du corps, selon qu'il s'agira de la portion de sur&ce inféi ieure Qji ^i|périeure à cette couiibe. Les deux autres intégrales seront éyidemment nulles*
(60), J^uisqiie les forces X/X ^f appliquées k tous les points de la surface; d'au corps terminé de toutes parts , se détruisent complètement, il s'ensuit que quand ce corps est plongé en entier dans un liquidci la pression totale qu'il éprouve est uniquement due à la partie p de la force normale N. Or, on sait que les composantes horizontales de cette force p se détruisent;, et que les sommes de ses composantes verticales se réduisent toujours à une force égale et direclemeut contraire .au poids du volume de liquide , dépl^ "j^av le corps ; la diminution du poids du corps entièrement imaiergé sera donc égale au poids de ce vcHmie de li^fuide ^ confi^rnénent au principe ordinaire de l'Bviirostatique* Msàs. Û n'en sera plus, de même dans le cas d'un corps flottant a la surfiiee d'nn liquide : l'action ca» pillaire pourra donner lieu à une diflitrence dans les pressions horizontales, d'où il résultera un mouvement du corps parallèlement k Ja surfiace du liquide; et, dans tous les cas, cette action influera
sur la perte de poids éprouvée par le corps non entMfreineiit immergé. .
Supposons d'abord <|ue la Qptps soit un solide de révolution, qui ait sou axe vertical et sa surface de même nature dans toute son étendue, afin que les forces horisçoutales se détruisent, et qu'il suffise de considérer les forces verticales. Soit CB (fig. 17) Taxe du corps, CABA' une section de sa surfi^çe par un plan passant par cette droite, AOD et A'O'D' les sections de U surface du liquide par le même plan. Les points A et A' où elles rencontrent la sur&ce du corps seront dans une même droite horizontale , au-dessus ou. au-dessous du niveau naturel du liquide, selon que ces courbes tourneront leur concavité par en haut ou par en bas. Je représenterai par 2r la distance A A', de sorte que r soit le rayon du corps à l'endroit où le liquide s'arrête. Soit M un point du liqwde jsitùé à des distances insensibles de sa surface et de celle du corps, qu'on supposera, cependant, plus grandes que le rayon d'activité moléculaire. Par le point M , Êdsons passer une surface qui coupe à a9jg^ droit toutes les normales à la surface du corpe, et dont la section par le plan de la figure soit ]a courbe OGO' terminée en et 0' à la surface du liquide. Tirons la droite horizontale MHM' qui coupe cette courbe en M et M', et Taxe du corps au point H. Par les points M et M', faisons passer une sur^ face qui coupe a angle droit toutes les normales à celle du liquide , et dont les sections soient FME et F'M'E', qui rencontrent en F et F' la surface du corps. Menons par les mêmes points des perpendiculaires MK et M'K' à cette surface , MN et M'N' a celle du liquide. Nous aurons
KMN = K'M'N' = (V ,
KMH = K'M'H =i;
w étant langle relatif à la matière du liquide et à la surfiEice du corps , donné par l'expérience , et obtus ou aigu , selon que le liquide s'élève ou s'abaisse ; et i désignant le même angle que dans le numéro précédent.
J'appellerai F la couche liquide adjacente à ^la surface du corps , et dont la section se t^inine, d'autre part, à hi^ courbe MGM% aux normales MN et M'N', et aux portions <ie courbes AN et A'N'.
ai
1 6:1 KOUVBLLB TBÉOKIE
Je nomin^tt L le xeste d« liquide ^ et je Tais calculer raclion verticale de L sur la couche T, k laquelle j'ai donné la forme nécessaire pour que cette fiarce puisse s'exprimer au moyeu de quantités qui seioot données dans chaque cas.
Pour abréger, j'indiquerai chaque partie de L ou de T, ou, généralement ^ chaque partie du liquide par la partie de la figure à laquelle elle répond. Cela étant, l'actioB de DOGOD" sur KMGMl^' n'est autoe chose que la force N du h* 76, décomposée Terticalement et Impliquée à tous les élémens de la partie de surface de F qui répond k la courbe MGM'; je la représenterai par P, en la supposant dirigée en sea$ contraire de la pesanteur^ Je désignerai , suivant cette direction , par Q l'action du même liquide sur la partie de F qui répond à FMKou F^M'K', et par R celle qui serait exercée par la partie de F correspondante à OBUN oa O'M'Ji'y sur sa partie PMCIifF^ U est évident que -poi^r avoir Faction de L suF4»tte dernière partie de F, il Êiudra reteancber R de PHrQr h*9fiÛQn de L sur le surplus de F, cest-à-dir» sur k partie oorreqpondante à NMFA ou N'MT'A', se composera de l'action de EUGMHf^ que je représenterai par S , et de l'action de la couche superficieHe ou correqioudante à DNME ou B'NWE^ f que je désignerai par T j Fune et l'autre dirigées en sens contraire de la pesanteur* L'action totale de L sur F sera donc
PH-Q-R*f.84*t^
et il s'agira de calculer successivement les cinq parties dont elle se compose.
(81). Si l'on appelle t la disUnce d'un point quelconque de k courbe MGM' à l'axe GC, la projection horizontale d'une 2one infiniment petite de la surfiaice engendrée par cette courbe , sera ;mtdt et la composante verticale de la fdjrce i|ormajle. Jï , appliquée à toute cette zone , aura pour valeur 2vK4ft ; par conséqueet , on
aura
P=2çr
fyuk.
en prenant r pour k valeur de HM , ce qu'on peut faire sans erreur sensible. La partie de P qui répond au secondT terme de N est
DE L'ACTION CÈNUMRIL
l'iotaigrale /Z^fr^^t^ant k «^nlear sera anv^cos^i, d'tpnèsle b' 79. En mettaDt.pow le premier terme p de N, sa râleur c-— p^^» on aura donc
P =r 'jfci* — . TTTgfJTudt 4. à^iri^ C5oai\
J'appellerai Y la partie du voliùile du coip$ qui est sîtaée aÙMleasous du plan des x et 7^ et âjw-vtfpoad, ettMë<|i!ieifiment^ aux valeurs négatives de z ; je désignerai par p la partie de son volume comprise entre ce pla^ et la section horizontale du corps , à laqufSle le liquide s'arrête et que L'on peut, sans erreur sen^Ué^ &ire pa^er par les points M et M^^ au lieu de A et K!. Soit aùsa k la distance de cette section au plan des x et jr ; en regardant Jt t% s^ comme dc9 quantités positives ou négatives^ selon que les points A et A' seront au-dessus ou au-dessous de ce plan , nous aurons
xtC^ zték
Si le liquide s'étend iadëEnisnent autottr du corps |^ sa suf&ce sera sensiblement plane à une certaine distance; enjinenaut ce {rian pour celui des or et j^, Y sera le volume du corps situé au-dessous du niveau «atarel du liquide , et Y + 1^ le volume de ce corps , en contact avec le liquide. Dans ce même cas on aura ^==11; mais, pour plus de généralité , je ferai
b étant une constante qui sera nulle dans le cas d'un liquide indéfini y et dont la valeur dépendra du volume du liquide^ quand il aura une grandeur donnée. De cette manière , on aura
P =^r*n^- <fgf (* — *) f* 4- gp (r + Y)Hh anrnjf cos i.
Si Foaidée#i9pese «n^^oKtt iofiniaent petils^ \k partie de T qui répond à NMFA , l'action de la couche superficielle DMBIE sur un élément dont l'épaisseur est c , sera la force Us du n* 4^» perpendiculaira ÀMN et(dirigée.dedeliOï8 en dedanS/de l'^lénMtni ; on aura donc la partie de T qui répond à cet élément, c» .muhiplianl Ur par le sinus de l'angle qpe fait la droite Hit' avec la verticale rnânée
ai..
i64 INOLTELLE THEOKlt
de bas en haut par le point M , lequel angle est égal à HMN, nioiu>
un angle droit *^ où à i-f- âi ^î et comme on a trouvé U = — </,,
cette partie de T sera q^ cos (/ -+* â») ; or ^ cette force étant la même pour tous les élémens , on en conclura la valeur totale de T, en jremplaçant $ par la circonférence 27rr} ce qui donne
T = aimy, cos (i + û»)»
Chacune des forces Q, R, S^ se: déduira de même de la force Zî du n* 4^^ c° déterminant convenablement les angles a, 6, a', b'^ et remplaçant i jMir 27rr. Soit, pour cela (fig. 18), IMF une verticale , KM une horizontale, MK et MN des droites qui fassent les angles / et /+^ Avec MH) OMG et FME des droites perpendiculaires à MK et MN. On prendra la droite IMF pour Taxe DCE de la figure la , à partir duquel les angles a, h y a\ h\ sont comptés; et la force Zi sera dirigée suivant MI. Pour en déduire Q, il faudra faire coïncider les lignes CA, CB, CA', CB', de la fig. 12, avec les droites MG, MO, MK, MF, de la fig. 18; cela étant , on aura
Û=:GM1'= — I, ,5=:OMr = 9r-.ï,
a' = KMI= — -«-+£, ft'==FMI=-^-f i + oij
ri. d'après Tune des formules (4) ou (5) du n® 44 > ^^ ^" conclura
Q = Iprqr 8În i cot m.
Relativement à la force R, on fera coïncider les lignes CA, CB, CA'^ CB', de la fig. li, avec les lignes MN, M0> MG, MF, de la fig. 18; on prendra doue.
a=:NMr=:?9r — I — ûi, i = OMI' =; -jr — /,
a'=GMI = — 9r + i, ft' = FMI=r— .-sr+i-f-»; et il en résultera
R = 29r5^ [sîn / tang Q Tf — ^ (ù\ — sin (/-+-/») (i — tang- ^)]. Enfin, à legard de la force S, on fera coïncider les lignes CA, CB,
DE L'ACTION CAPItLAlRE, i65
CA', GB', de la fig. i a, avec les lignes MG, ME, MF/ MN^ de la fig. 1 8; ce qui exigera que l'on prenne
'À s= GMt' s:— {, 6=:£Mrs=9r^{>-tf^
et d'où FoD conclura S = vftqr [sîn î tang (7 ^ •*- ^ ^) — ^^^ icoi- t» — sîn (i H-o^)].
Au moyen de ces valeurs de Q^ R, S^ on aura
Q — R + S= 77rqr{pL An i col m — 8in(i-f-û)) tang-û>— «isin icot-6i ];
équation que l'on peut écrire ainsi :
Q — R + S + !X7rqr cos i œ= 2'jrqr cos {i -+- où).
Donc , d après les valeurs de P et T , la pression totale exercée sur le corps flottant y en sens contraire de la pesanteur^ aura pour expression
en faisant, comme dans le chapitre précédent ,
On se rappellera que o^ a la même signification que dans ce cha* pitre , et que r + o^ est Tangle compris entre le rayon du corps dont la longueur est r, et la normale extérieure du liquide , menée par l'extrémité de ce rayon , lequel répond à la section du corps où le liquide s'arrête.
(82). A ce résultat , il faut joindre Téquation relative au volume du liquide que Ton formera de la manière suivante.
L'équation difierentielle de sa surface peut s'écrire sous la forme
^f\%-^b)tdt^^d.
,66 NOUVELLE THÊOAIE
6 étant tongoiirt la whstmte ifiiî provient de la valeur de p^ c' désignant une antre constante arkîtraore, et le radical étant ^lositif ou négatif, selon que la normale extérieure fait un angle aigu ou obtus avec Taxe des z positives. Pour f ss r ou 2 = A: , on aura
Pour z sss o , on aura de même
n étant Tan^ q«e eût la fMraade estërieum du liquide , au point où la génératrice de sa surface coupe le plan des x et 7, avec le rayon t du même point, que je représenterai par /. On a d'ailleurs
afztdt = zt^--fedz\
si donc on £ait succesaivement. asso et tz=^j^ ^ z=^k et 4ss:r, dans réquation de la surface , et qu'on retranche les résultats Ton de l'autre p il en résultera
Or I si Ton désigne par U le volume du liquide situé au-dessus du plan des X et j-, c'e^i^h-êHte au-dessus ou au-dessous , selon que U sera positif ou négatif, et si Ton observe que v est le volume du corps compris entre ce plan et la section korixontale où le liquide s'arrête , on aura
et par conséquent
Usa^rib- — p — 3ri(/* — y)-p-9ra*[rcûs(ir*-»)-^/^co«a], (5)
Si i par exetbptè , le liquide est compris entre deux plans borizontaux qui terminent des corps quelconques « et que l'on prenne le
plan inférieur pour cdhii des ;ret 7*, on atira î ss - tf, 19 = - tt — m'^
en désignant par af l'angle donné que fait la normale extérieure du
liquide a son extrémité inférieure, arec la verticale metiëe dans l'intérieur dn corps sur lequel il s'appuie. Dans ce même cas , la quantité i> sera nulle ; il en résultera donc
U = vkr^ — 7r6(r* — r^*) -f- ^a^ (rsinm — r' sm »% (6)
Le volume V sera aussi nul , et la pression exercée de bas en haut sur le plan supérieur, aura pour valeur
7rr*n -+- Ttgpbr* — Tfgpr (kr -(- a* sin a).
Elle deviti faire équilibre au poids du corps que termine ce plan , augmenté de la composante verticale de la pression atmosphérique, qui agit directement sur toute la partie de la surface non en contact avec le liquide, et fait déjà équilibre à la partie ^Ttr^Tl de la pression inférieure. En appelant <9- le poids du corps, nous aurons donc
V = '7rgfbr^'^7tgfr{kr -f- «•sin où). (7)
Ces équations (6) et (7) servînmt à détermmer la constante A, et l'épaisseur A: du liquide, d'après son volyme U et la charge <9- qu'il supporte.
(83). Lorsqtle le liquide s'étend indéfiniment , et qu'on prend le plan de son niveau naturel, pour celai des a: et jr, on a & ss o l'angle r\ est droit , l'équation (5) se réduit à
U = ^kr ' — i' — 'iraV cos (i -f* ûi) ,
et U est le volume du liquide soulevé on abaissé par l'action capillaire autour du corps flottant. D'après cette valeur de U, la pression que ce corps éprouve en sens contraii^e de la pesanteur est la même chose que
par conséquent ^ Fefiet. de l'action capillairs est de diminuer ou d'augmentar la pressio^p dont il s'agit d'une quantité ^ale au poids du liquide soulevé ou abaissé.
Pour que le corps demeure en équilibre , il faudra que cette force soit égale à son poids augmenté de la composante verticale de la pression atmoephérique , qui s'exerce sur la partie de sa sur&ce si*
i68 NOUVEtUS^JSaËORIE
tuée hors du liquide., laquelle pomposai^ a ntf^H pour valeur. En appelant <9- le poid9 ^ <!Qrpa> pesé dans le yJde , <m aura donc
On parvient immédiatement à ce râûltat enconsidërant un large canal compose d'une partie courbe et de deux liranches verticales, et dont la section normale soit constante d^qs toute sa longueur. Si Ton suppose que Tune des deux branches comprenne toute la partie de la surface du liquide qui n'est pas sen^lement horizontale , et qu'on appelle ft le poids du liquide pontenu dans l'autre branche, au-dessus d'un plan horizontal choisi arbitrairement , il est évident que le poids du liquide renfermé dans la preqnière branche, audessus du même plan, se composera de ;^ augmenté de gp\J et diminué de gpV } ce poids fi -f* gpU — gp V, ajouté au ÎM)ids du corps, devra faire équilibre à /i. On aul^ donc
f* + érpU — ^pV 4« 4r «r /i }
i:e qui donne l'équation précédente^ Ma^ il était important de faire voir que les formules relatives jaux açtiobs, moléculaires, qui nous ont servi à trouver les équations de la surface capillaire et de son contour y peuvent aussi condjuire directement aux conditions d'équilibre d'un corps solide en contact avec un liquide, et, généralement, aux valeurs des pressions modifiées par l'action capillaire.
Si le corps flottant est attaché au plateau d'une balance , et qu'on ait mis dans l'autre plateau un poids ^a* -f- A , il faudra^ pour Téquilibre de ce système, que nous ayons
A=:gp(U-V),
ou bien, en remettant pour U sa valeur,
A =s gp [Tfkr^ — «^ — TCaV cos (* + &)) — V].
Si le corps est un cylindre ou un disque circulaire , et que le liquide ne termine à sa base inférieure ou à la circonférence de cette base horizontale , on aura <; = o , V = o, et simplement
A = 7rgpr[Â:r — £i' cos (f -f- »)]. ^ (8) Quand la ligne où le liquide s'arrête sera tracée sur la base , l'angle i
DE L'ACTION CAPILLAIRE. »6o
Shpa droit ; '.1 en résultera
A = TTgpr (kr + rt* sia «) ;
^( le rajon r pourra varier sur cette baise, en inéme temps que à et k. MaiSy lot^ue le contour du liquidé sera tracé sur l'arête qui tennme la base du disque, ou on taat soit peu au-déasus, l'an^ i^ o'est-à-dîre rioclihaison de la norifaale à la aorface de cette arèfe^
pourra prendre toutes les valeui*à, depuis i ae o jusqu'à i =±: -sr;
par conséquent , ùk et k pourront varier saiis que r change de valeur el cesse d'être égal au rayon du disque, f /équation (8) iious servira, dans Je chapitre suivant, à résoudre une des questions les plui» intéressantes de la théorie de l'action capillaire.
(84)* Pour déterfniner l'effet de la capillarité sur les pressions horizontales , je supposerai que le corps flottant soit compris entre deux plans verticaux et parallèles, d'une très .grande, largeur, afin qu'on puisse négliger, sans erreur sensible^ la partie de là pression qui a lieu près de leurs extrémités^ relativement à la pi^ssion totale, et considérer la hauteur di^i liquide et la pression comme constantes dans toute la largeur de chaque plan. Le corps ^era terminé, en haut et en bas, par des surfaces quelconques; on supposera la surface inférieure eutièrçfaeuf. immexgée^ at la. surface supérieure entièrement en-dehors du liquide. . La figure 19 représente pne section de ce corps ^ verticale et perpendiculaire à ses deux fixées latérales. Les U|r])es AD et A'D' sont les sectioift de la sqr&ce du lit^uide, de part et d'autre du corps, qui coupent ses deux faces aux points A et A'. Ces courbes sont différentes, et A et A^ n'appartiennent pas à une même droite honioutale. Selon que chacun de ces points estau-dessus ou au-dessous du niveau dû liquide, la courbe correspondante tournera sa cohcaVité pir en haut ou par en baâ. Lardroite LL'est l'intersection du plan de Ja figure et d'un plan horizontal^ que je prendrai pour celui des xeijr, et que je supposerai à une distance k au-rdes^ sous du niveau du liquide. Elle coupe les deux faces dû liquide aux poijats C et C^, situés au-dessus de la partie courbe du corps et au-dessous de A et A^ Je ferai
AC^k + k, A'C=^AH-/,;
,^ MOmnBLLB
fc et A, AM»t des quantité pontÎTWOtt n^tira, •clon qne A et A Mwt ao-de«iu <m an-detaoïu du ntTeea do liquide.
Cela poaé, !«• pr««ion» horinmlalet ae détruiront sur la partie dn oerpi wtarfa a»-deMOu» da plao dea « et ^i oellaa qui provieu- «nt dîTu pNariafei atoaMpkMqM •• délmir«iÉ éfakoient ^r le oorpa entier. A^-dewia dea poiuli C «I C, laa layona dé couAure X^et X' dtant infinie* la pràsion normale N ae réduira à aa partie B,. dont on pourra représenter la Taleur par
abstraction &ite de 0. Les pressioM horixontalea qui pcoriennent de cette force /», et qui ont lieu sur les parties du corps correspondantes k CA et C'A', seront donc
en désignant par / la largeur dû corps , et la supposant la même pour les deux surfaces. Par conséquent , si l'on effectue les int^rations, et qu'on appelle i" l'excès de pression dû it la force p , qui pousse le corps de gauche à droite , on aura
liais la quantité p n'est pas la presnon du liquide dans toute sa hauteur; dk cesse de l'être ^ une disUnce de la sur&oe moindre que le njron d'activité moléculaire j et, quoique cela n'ait lieu que dans une épaisseur insensible , la pression exercée par la couche superfid^e du liquide n'en est pas moins une quantité senôble, qu'il n'est pas permis de négliger.
(85). Soit donc M un point du liquide situé à droite de la fignre , à des distances de AC et AD , moindres que les rajrons d'actirité du tube et du liquide. Par ce point, menons une TcrUcale OMG qui coupe AD au poitii 0, une perpendiculaire à cette coufbe AD qui la rencontre au point N, une horizontale BfiEl qui rencontre AC au point K, et une couAe FME parallèle. k AND. Nous aurons à déterminer les composantes horisontales des mêmes forces dont nous atons précédemment considéré (n* 8o) les oottiposaotes verticales Q , R, S, T. Je les désignerai par Q?, R', S', T'j la valeur de chacune de
DE L'ACTION GAFOiLABUS. i;i
ces quantités mrm / pour fectrar; et» «kstoKtkm fiait 4e et fiielMur, T' sera la composante adlftot IK de la Israe U dn n* 4>, qm. wf^ suiyant MF, et dont la ralevr est — f. ; d*aà Ton coadat
m étant tonjonrs Tangle donné KBOÎ. Qnant aux yaleon de Q', 1L% S', elles s^obtiendront , comme eeDea de Q, R , S, d'après les fernrales (^ et (5) dn n* 44 f seulement , an lien de compter les angles a, b, af, b% k partir de la verticale IMI' (fig. iS), il faudra lenr donner poor ori« gine llioniM>ntale MH ou son proton g e m ent 101% et fidre- coincider les droites MK et MH, on supposer t =s o.
De cette manière » on obtiendra la valeur de Q% en fiiisant
a »GMH':
a'sKMH :
= o, ^s=FMH =s
ce qui donne
Q'ssa^f/ootM.
Pour déterminer K, on
fera
/iaNMH'=
ss^r — «, 3=0BfII's=:
a'ssGMHs
--wl,r, ^sFMHss:
d'où l'on oondut
R'5=ç/[ung Q^r— ia>) ~(i — Ung5ai)cos ai]).
Relatitement à S% on fHPendra
1 > nm«m I
et l'on en déduira
S' ss: ç/Ftwig Q îT •— i a>) — • coa ai -*• oot i ai J. Il résulte de Ut que la pression horixontale exercée sur la froe du
corpb qur répond à AC, on pintÀl sur k coudit liquide ad^éente a ^•Me 6tc9, demi elfe avgnieDtée d onr ibrce Q" — R' + S' + T dont la valeur MPa
(\ * 2 cot â# — cos A> fang - a — oot - o» j — q^l sin a ;
qfoafitilé q«e l'on peut réduire à
La force dont oo devra augmealer la presakua rdatiif^l b face cocr rc^pondaote à Â'G', sera de.méoie
â#., désignant ce que deTÎent Faiigle ûê par rapport à cette seconde face du corps , qui peut a être pas de même nature que la première. Ces deux forces agiront en sens contraire V\itke de f antre; et si nous aidions é la valeur complète de l'excès de pression horiaontak qui pousse le corps de gauche à droite , nous auroub
ou , ce qui est la ménie chose ,
êss ^gKP^ — ^. + ^•(«io ai — sia»,)], (9) en ayant égard à la valeur de la partie / , et obserrani que
Ce résultat diffère de celui de la Mécanique céleste, en ce que Fauteur n'a pas tenu compt^^ de la preasiou purticuUèiie qui a lieu près de. la surfiice du liquide, et qui ne disparaît de.la valeur exacte de 6 que danss le cas particulier où les deux angles • et ai, sont égaux ou hupplcmens l'un de Tautre {^)
f^) Le rai.' nnei iont qi W trcmvi a« oommenoemetit de la page 43 delà Théorie </c V Action f*^f^^ifft:rt moivipê qtie Li^Jace atiit jugd dette ^reiiioD tout-è-f«it nc^tif^^r.hlf parce qu riU* )»e 94|K>iid qu'à une ét^^ndae insensible de la surface du eor|>6..
DK L'AGTiON CAPILLAIRE.
Loi^ue cette force é ne sera pes nulle, le corps sera mis en mou**veiueDt smyant une direction borisontale el perpendicitlaire à ses deux faces latérales ^ qu'on a supposées d'une très grande laideur; et oe mouvement aura lieu de gauche à droite ou de droite à gauche^ selon que la valeur de « sera posftive ou ttégative. De plus, les ré* sultantes des pressions horizontales qui le poussent en sens contraires n'étant pas directement opposées, le corps tournera, en même temps, autour d'uu axe passant par son centre de gravité et pa--rallèle à ces mêmes fiices latérales.
