CHAPITRE YL
S0lutkms de dxffènnf frMèmet.
(86). Rqyrenons la question du n* Sy, rdatire à Téquilibre d'an liquide contenu entre deux plans yerticaux et parallèles ^ que Ton regardera comme indéfiniment prolonge dans le sens hortMmfal, afin de n'avoir pas à considérer ce qui arriTe à leurs extrémités.
Si Ton prend le plan des j et s parallèle aux deux plans donnés , Tordonnée s sera indépendante de ^^ et l'équation (i) du n* 49 ^ réduira à
1 = as.
en faisant, comme piéc^
En multipliant par -« d%^ intégrant et désignant par h la oms-tante arbitraire, on aura
Cette équation sera celle d'une section de la surface du liquide, faite par un plan vertical et peiyndiculaire aux deux plans donnés. Les s positives sont comptées en sens contraire de la pesanteur, et à partir du niveau extérieur du liquide dans lequel les deux plans sont plongés par leurs extrémité inférieures. Le radical doit être positif ou négatif, selon que la normale à la courbe fait un ang^e aigu ou obtus avec la direction des z positives; mais, dans toute sa Ion-
guear^ la eonrilM nW reoMqliife tpi'en un seal point p«r chaque yerlkale, et Tangle dont il s'agit est toi^onrs aign , an wiia que le radKcal sera contaminent potilif.
Anx denx extrànités dit la courbe, le cosinus de Tani^ compris entre la normale et une horiaoïritale, lîfees l'une et Tanlm en-dehors du liquide, est une quantité donnée, qui peut éti*e positive on négatiye. Si eUe est positive en ces deux points , *la couribo tournera sa convexité par en-haut, dans toute sa longueur; si elle est u^gative, la courbe sera concave par en-haut; si elle est positive à Tune des extrémités et négative à l'antre, la conrlie se composera, en général, de deux parties qui tourneront leur coteavHé en sens contraires. Je dis en général; eu je ferai voir qu'il j a des états d'âpiiIilH*e possibles, pour lesquels ce ^dernier cas rentre dans Tnn des deux preabiers. Sans ces deux premiers cas, îi j aura nu point C pour leqnd la tangente sera horiaontale, et dans le dermer, la couribe prémninra générale-ment un point d'inflexion que j'appeQerail. Je vais considérer successivement le cas du point C et celui du poi^t I , qni sont essentielle-* ment distincts.
(87). Je désigne par h la valeur de s qui répond au point C ; à cause
de ^=^0 en^ce point, on aura
«•as» — ^; '*
et en éliminant ^, l'équation (i) deviendra
he ndical étant une quantité pontÎTe, il faut que %* ne «oit paa plus grand que a*-\-¥;et,k ctauc que k premier membre de cette équation est moindre qa9 a*, il frnt que ^ ne s«it pas plus petit que A*. Ainsi, l'on Toit «k^k.qn'ahstnwtio n faite du rigne, la yariable z est comprise entre les linûles h et \/ti^ + h^; elle sera positiTe ou négatÎTe, selon que la «ourbe tournera sa conoatité ou sa convexité par en-liaut. . ,
On tire de cette équation
1 tG nouvelle
Je coiwidérerai séparément les deux parties dç b courbe qai aboutieseut an point C ; dans chaoïne d'elles ^ la variable x sera re{;ardée comme positive et comptée à partir de ce point; et pour <pi'elle ov^oisse depmis ce point jusqv^ chaque bout de la courbe* je supposerai le radical du même signe i{ae dk.
Cela posé 9 pour exprimer x en fonctions elliptiques, je fins
d'où Von tire
et la variable ^ n'étant pas moindre que If^^ ni [diiis grande que A* -f' a*, cette valeur de tang* ^ sera positive ; ce qui suffit pour que 9 soit un angle réel. LWpression de dx deviendra
. (II' 4- fr) àp (A' + aii')frdy
|/Â^4. an» cos* f (A> + aa* cos» ^)^ *
iK«; ce qui est la même chose,
V^'a i/i — c»«îii»^ rV^a (i — c* sîn»^)» *
en désignant par c une quantité positive , moindre cpie 1-tinité , ti donnée par Téquation
D'ailleurs , on a identiquement
d 6ù il
j (a — c') « àt %a I . . . — j
DE L'ACTION GAHLUiRE. 177
D'après les notations connues de M. Legendre , on a anisi
Jv.r=
les mtëgrales opminençant arec la TftriaUe ^. En intëgnnt , on anrm donc
FCc,<p)-^?E(c,(p)+ /'"^. (5)
On n'ajoute pas de constante arbitraire , parce que x est nnl au point C, pour lequel on a zs=zhp ce qui donne f s=s o et fait évanouir le second membre de cette équation. On aura en même temps
et ces équations (5) et (4) feront connaître les ^ et is de chacun des points de la courbe , en fonctions d une troisième variable ç , quand on aura déterminé le module c.
Or , si nous faisons
dx
cos m y
m sera Fangle qui est donné aux deux extrémité de la courbe^ et qui dépend en chacun de ces points, de la matière du corps terminé par le plan vertical et de ceUe du liquide. En désignant par k la
valeur de je qui répond à Fun de oes deux points , et éliminant ^ entre l'équation (â) et la précédente , il vient
Af = A*+ a'(i — sin û>);
en ayant égard à la valeur de c% nous aurons donc
et si Ton appelle la Talenr de ^ qoi répond k 2 =3 A, il en résnltera
178 NOUVELLE THÉÛiU£
Soit a la valeur correspondante de x , cW-à-dire la distance da point C à Tnn des deux plans yeiticaux ; on aura
-iV:J^J^^F(cJ)-.?E(c,9)+ ,J±^L =.. (7).
Si nous désignons par V et â>Vla distance et l'angle relati& k l'autre plan vertical , et par ^ ce que devient 0, quand on y met e»' k la place de â»» nous aurons une seconde équation qui se déduira de la précédente , en y changeant a et 6 ^ en a' et 6^ J'ajoute ces deux équations» et je fais a + ^' =^> àe sorte que J^ soit la distance comprise entre les deux plans verticaux ; il vient
^' = i=:f:[F(c,9)^-F(c,fl')]
pour l'équation qui servira à déterminer c.
Dans le cas que nous examinons, les angles co et co' seront tous les deux aigus ou tous les deux obtus ; selon qu'ils seront obtus ou ai* gus , la courbe sera concave ou convexe par en-haut , et l'on prendra avec le signe -|- ou avec le signe — , les valeurs de z et de A données par l'équation (4) et la première équation (5). £n appelant k^, ce que devient k lorsqu'on y change a> en a>', les ordonnées extrêmes k et k' se déduiront de la formule (4) f en y faisant ^ = fi et ç z= d'y OU bien elles seront données immédiatement par la seeonde équation (5). La distance de C à l'un des plans verticaux ou l'une des valeurs extrêmes de x, se déterminera au moyen de la formule (7); et en la retranchant de cT, on aura la distance de C à l'autre plan.
(88). Quand on aura â)= cû\ les distances et et ol' seront égales
entre elles et à - «T. Si ces angles sont, en outre, zéro ou Tf, oc aura
simplement
cot ô = /i — cV
Pour résoudre par rapport à c l'équation (7) qui est transcendante,
DE UÂCTION CAPILLAIRE. 1 79
il fandrait donner à c une série de valeurs croissantes par de très petites différences 9 depuis 17=0 jusqu'à c= i } calculer, au moyen des tables elliptiques de M. Legendre , les valeurs correspondantes du second membre de cette équation; et former ainsi une table des valeurs
de ^ , relatives à toutes ces valeurs de c : cela étant j lorsque la distance J" ou 2a, et la constante a, et par conséquent la quantité
— - seraient données , on chercherait dans cette table la valeur cor--
respondante de c. Mais le problème sera bien plus simple si l'on donne l'élévation h du point C et la constante a, et qu'on demande quelle doit être la distance 2ci comprise entre les deux plans. Supposons , par exemple , quV>n doive avoir
il en résultera
c=-ip=, cot8=-i.., «=:54^44',
et l'équation (7) deviendra
Pour ces valeurs de c et 6^ les tables de M. Legendre donnent
E(cî,fl) = o,89iii; d'où l'on conclut
pour le rapport de la distance des deux plans à la plus petite or<donnée de la courbe.
D'après les équati<ms (5) , la plus grande ordonnée est
l'ordonnée moyenne est doac
ite nOUmUX THEORIE
et h vlaf ronmp9tAmtf de y tcrt
Po«r cette rdeiir de # et cas m ^, oa trovre» dans les l^yet de M* ËJtgtBBf€p
et récjoatioo (3) donne ensuite
En comparant cette valenr de x à celle de a on de - /, on a
x^ss €1(0,8626);
en forte qne, dans cet exemple, les ordonnées mojreniMS sont bean* coiqp pins rapprocbees des plans yerlkanz qne dn point C; ce qoi tient an pen de conrbnre dn liquide près de ce pmnt.
(Sg)* Si A est tris grand par rapport à a, le modnle c sera nne très petite fraction, et l'on ponmi déyeloi^r les fonctions elliptiqnes en séries très conyergentes, sniyaot les puissances de c; ce qni domie
F(c,0)s8-hj(6-^sin8cos8) + etc.,
E(c, 0) sa— j(l — 8in6 Gos 0) + etc.
L'éqnation (7) deriendra
'^^ ss c sin 8 008^8 -f- ^(fi — sin 8 cos 6 + 6 sin* 8 cos 8), .
en négligeant la cin^aième poissapce 4e c. Pour plus de simplicité , j^ supposerai que m soit zéro ou ^; on aura alors, en yertu de Téquatîon (6) ,
tang8si4-ic'-f etc., 8=» J'irH- Jc*+etc., et, par conséquent.
DE L'AOTiDN CAPILLAIRE. 1 8 1
î^+îO+i^)-
£radraqae le rapport - soit une très petite f îra U cinanikne Duissance : d'oà il résultera
équation (5) donne ensuite
où Ton prmdim le signe snpérieiir on toférii^iir^ selomqne où sera zéro ou ^, (^est-à-dire selcm que Ib. liquide sera concave ou convexe par en haut.
Si les deux plans Terticaux qui termineqt le liquide sont de la même nature , c'est-à-^£ro fà*af eM aussi aère ou v» de sorte que 2« soit leur diatanoe nmtudle, on yoit que le premier terme de cette râleur de A sera le même qM daM le cas d'un ttâie qui aurait cette distanoe pour rsjooi ce qui u^a plus Kcu pour la valeur totale de A..
M. Gaj-Lussac a dbaeryé rélévation de Teau entre deux plans verticaux et parallèles^ préalablement mouillés de ce liquide. Leur distance étant
il a trouvé
Mais la température s*élèvant à i6* pendant cette expérience, il faut augmenter la valeur de h^ pour rendre la valeur de a*, qu'on en déduira, comparable à celle du n® 56, qui répond à une température de 8%5. On pfendra donc
* = (,3--,574) (. -Ir ^)=«' 5,587a,
à cause que Taugmentation de densité de Teau est d'environ -^
pour chaque degré d'abaissement dans la température, et que' l'accroissement de h est proportionnel à cette augmentation ( n"" 55 ).
x82 NOUVELLE THÉORIE
Au moyen de cette dernière valeur de h et de celle de ^a, oi. trouve
a* = (1496473) millimètres carrés ;
ce qui diffère peu de la valeur de a' du n® 56, qu'il faudra préférer, comme étant conclue d^une observation plus susceptible d'exactitude.
(go). En négligeant le cube de c, Téquation (8) se réduit à
— î— =5 c (sin 9 cos 6 -f- siû V cos V).
Si nous faisons as-'TT + ftet a'=-^+.ft', les angles 8 et B'
différeront très peu de -fi et -fjt! ^ d'après Téquation (6); et Ion en conclura
-.^ = jc(8m^ + sm/^')- La pi^mière équation (5) donnera donc
h = --v(sîn u + sin fi*),
en observant que f» et ft' sont positifs ou négatifs, selon que eo et fj sont obtus ou aigus, ou selon que le liquide s'élève ou s'abaisse. Au même degré d'approximation, la courbe du liquide sera un arc
de cercle, d'un rayon égal a y.
Cette valeur approchée de h nous montre que quand les deux plans verticaux, qu'on suppose très rapprochés, ne sont pas dans le même état, l'élévation ou la dépression du liquide est la demisomme de celles que l'on observerait si ces deux plans étaient successivement de la même nature que chacun d'eux ; ce qui n'a lieu toutefois que dans la première approximation*
(qi). Je retranche les équations (3) et (7) l'une de l'autre, et je fais a*^xs=til> en sorte que u soit la distance d'un point quelconque de la courbe du liquide au plan vertical qui répond à l'angle (^ ; il vient
DE L'ACTION CAPILLAIRE. x8i
îîli^ = î=fr[F(o, e)-F(c, <p)3
âin°^
— -rE(c, fl)— E(c, (P)]H- ".- /^--
Maiotenant, si Ton supprime l'autre plan vertical, la courbe sera asimptotique de Taxe des Uf et Tordonnée h du point C sera infiniixient petite ; en appelant donc b le complément du module , de sorte qu'on ait
b sera aussi infiniment petit, en vertu de la première équation (5): et si Ton fait , pour abréger /
I — 8În # ^
l'équation (6) donnera
D'après Téquation (4)f ^ sera infiniment petit , excepté pour les va<^ leurs de 9 infiniment peu différentes de - tt ; je fais donc aussi
et il en résulte
c'est-à-dire ,
Pour ces valeurs de cp et 6, on aura
E(c, 9) — E(c, (p)=y \/i~c-sîn*prf«/=o. On a aussi
F(c, e)-F(c, ♦)«/• - ^\ , ; et en faisant
cette dernière équation devient
i^ss^Ti? — 6i/; dvss ^ bdv^.
tB4 NOUVELLE TBÈOKSE
iM mn donc
V^i— c*iîo»f V^i + f""
sobstîtae pour ^ tX 9 lem ▼alam, et qn 4. on cark finalemeot
-^=log — pr +aco<;fi^ . , (9)
pour Fëquation de la courbe formée par le liquide qni s'âère on a'abaiase le long d*nn plan yertical ; /it étant Tangle aigu que fait la normale à ton extrémité^ arec la yerticale, et qu'on r^arderm comme positif on comme n^atif , selon que cette courbe tournera sa concaTÎté on sa conyexitë ptr en^-hant, afin que Tangle t» soit obtus dans le premier cas et aigu dans le second. La yariable s sera, par
conséquent du même signe que ft, et le radical V^^*-"* ^ devra être positif, pour que Ton ait ii =5 oo , quand z s= o , ainsi qn'on l'a supposé.
Si l'on appelle l la valeur de z qui répond à u ses o , on aura , d'après la seconde équation (5),
/ssav/âsin -A^;
et cette quantité rend effectivement nulle la formule (9), quand on la substitue à la place de z. Il en résulte que la' constante a» relative à la matière d'un liquide, exprime son élévation an-deasua.dn niveau, le long d'un plan vertical qui a été préalablement mouiUé dans toole
sa hauteur par ce même liquide; car on a alors â^ss^, ;ss=: --^, et.
DE L'ACTION CAPILLAIRE. i85
par consëqaent, Issa. Dans le cas de Team li la températore de 8*^1
(n* 56) , on anra
poor cette élévation.
(ga). Maintenant, considérons le cas où k cowbe da liquide présente nn point d'inflexion L
Je désignerai par i l'angle inconnu que fiadt la tangente en ce point avec ]a droite horizontale, menée par le même point. Comme il faut que la partie de la courbe qui tourne sa concavité par en haut, soit plus élevée que la partie concave par en bas, il s'ensuit que Tangle i sera moindre que chacun des angks aigus que font les tangentes aux points extrêmes, avec ia droite horizontale menée par le point I , et moindre qu'un angle droit quand ces tangcutes seront
verticales. De plus, ^ changeant de signe de paft et d'autre de I,
il faudra que oîtte quantité soit nulle ou infinie en ce point ; Fordonnée z sera, en même temps, nulle ou infinie, en verki de la première équation du xY* 86; et puisqu'elle ne saurait être infinie,
il faudra que les quantités -rj, et z soient nulles au pokit I , qui se trouvera, par conséquent, dans le plan du niveau du Hquide.
Je fais donc ssso et j- =: tangi dans l'équation (t); il en
$ulte bssa^ cos i. Cette équation devient
=ssyr =S5a*COSl — 2*J
et, à cause que le radical est une quantité positive, on voit que s* sera moindre que a* cos t*. On tire de la
Je fixerai au pointât l'origine des jr ; je dmsidérerai séparément chacune des àevac parties de la courbe qui aboutissent en ce point , et je jpegar^eraMe radical comme étant de même signe que ik. Pour exprin^er x en fonctions elliptiques, je fais
coalise.
>i86 a oc VELLE TOÉOKIE
et ensuite
2£i'c* (i — c*) sin* ^
d'où il résulte
quantité positive ^ à cause de z' <^ £<*^cas i et cos i <^ 2C*; ce qui suffit pour que Fangle ^ soit reeL Nous aurons
V/aV/i — c»«ki»f (i^c»8»»f)» '
ou I ce qa\ est la même chose.
En intégrant, on aura donc
On p ajoute pas de constante arbitraire , parce qv'au point I #fi a^ i( la fois^ a:s=;o^ ^sso^. 9=10»
Je désigne par ùù le même angle que précédemment (n* 87), par ' a la distance du point I au plan vertical qui répond à cet angle » et par k la valeur de % relative à xa&Be; en sorte qu'on ait
dx ^ ' ^
— . — =s — €08 Où f — . Il 1,11 sa «• cos i — ^,
pour x=t »• En éliminant ^ , 3 vient
Ar*=Bii^(«sî— . sina). (ra)
li'angle. m. ^ra obtus pour le {>laa vertical , le long duquel le liquide s'élève^ et aigu peur l!autre plan, le long duquel il s'abaisse ; le signe de k sera contcaire à celui, de cos ai. En appelant 6 l'angle 9 qui répond à zssA: et xzszMf on au»
^^^^L^^ ac»— I— 8in #
DE L'ACTION GàWLLAlRE. 187
et, eu vertu de ré^ualiau (n).
Gîtte équation répondra k Tune dès exti^émitës de là cottrbe du liquide. Si Ton désigne par a', tà\ %\ .çe.qu^ deviennent^, ^#89 rela* livement à l'autre extrémité, on aura une seconde ^équaticip qni se déduira de celle-là , en ymettant o! et 6' à. la place de a et 6 ; en faisant la somme de ces équations , ël appelant S" Ta distance des deux plans verticaux qui terminent la courbe, nous aurons
^^ = F(c, «)-î-F(i7, f)--!iEC^, %^iB.{c, eO
. 9c*8iii9cMA , ^c*. lin 4^4)06 6' / t\
Cette dernière éqnation servira à déterminer le module c , et , pai conséquent, l'angle i\ les équations (10) et (11) donneront ensuite les valeurs des i^oordonnées % tk x tn foncti^ns^ d'une trcÀième variable ^ ; ce qui est la solution comiplète du problème.
Lorsque l'angle i^ sous lequel la courbe vient couper le niveau naturel du liquide, sera donnée l'équation précédente fera connaître immédiatement, au moyen des tables des fonctions elliptiques, la distum des deâx plans qui d«v« avoûr lieu. Nmb allons fiiire succèssivement, sur cet angle, différentes suppositions.
(gS). Je retranche les équations (11) et (i3) l'une de l'autre, et je fais fit — us=zx\ il Tient
ii^»r=F(c, 9)-F(c, f)-.aE(c, «)4-a1S(c, f)
Si l'angle i est infiniment petit, c dMTérera infiniment peu de Tunité , et cette équation, jointe à la fcHmule (10^, devra conduire è l'équa-tion (9), relative à la courbe asymptotique; c'est, effectivement, ce que Ton vérifiera sans difllicullé par un calcul semblable a celui du a* 91. Mais on parvient aussi à cette léquatien (9), par Fintégration directe de l'expression de dx du numéro précédtttt.
m HOUYEUE
Ea €Êet, ea lâauA Jx^j^-ébi et isso.
**-. rcffimile. Mit
«Al SB -4^ — aV^aeMy<&>;
c*^ étast la conttinte ailiUnm* CtUit wpiitioii crt la piaiife cmk ^m
Si Ton £ift, dans r^qaat k m (i a), i&bb« et «#s= i^r+fi, ctqaW^
fl a
pdle / la Taleor c o n wp oadanlc àtk^ùa ann
/«aV^afai^fi; it eomoM / cit k Talev de s qui r^Kmd a usso^ûtia lénihiri
t+COf -A»
at^ par coMé^panty
ca qui cciocide arec Féqualkm (9).
(^). FaitOM 41 ss 'ir+ii et a/ss i^r-f-fi^y ^ Mrte que ^et
Iê! ment les u|^ won^^ Wjiiek kt tangentes exir è m e a à k couIm dn liquide Tiendront couper son nireau natnreL L'un de oea ao|^
DE L'ACTION CÂPQIiAIRE. 1 89
positif et l'autre négatif, puisque Tan des angles « et a»' est obtns lutre aigu. Abstraction fidte dn signe, ils surpasseront Tangle 1. dt fA le plus petit des deux angles fA et fA\ et supposons que i diffère très peu de fi. L'angle sera très petit; car la valeur de tang* 6 du n* 9a peut s'écrire ainsi :
tog-e=-22!i=:2îii-, (,6)
asm** {cos*-At
et si nous fiôsonè
i=s/i^|4*sîn/i,
de sorte que >|/ soit une quantité très petite, nous aurons ss 4 y en négligeait ff'cube de 4* Le rapport - sera aussi une très petite firac-* tion; et, d'après l'équation (i5), nous aurons
i^*sB(ac*— i)4=;4cos|^
Le point I sera donc idors très rapproché de l'un des deux plans verticaux, et l'ordonnée k du point ou 1q liqofde s'arrête le long de ce plan, sera très petite; en vertu de l'équation (xa), elle aura pour valeur .
i(rsa ^sin/(iss«tangft.
Ka
Bfais il n'en sera pas de même à l'autre extrémité de la courbe , si l'angle fj^ n'est pas très peu différent de fi , abstraction £ute du signe.
En effet, on aura, i très peu près,
asia^-MCOt^- j^ a^ a
et FaBf^ ^ n'étant pas très petit, le rapport ^, déterminé par Téqua* tion (tS), ne le aen pas non plus. Prenons, par exemple ,
fcsB— 60*, At'ssgo*}
tgo NOUVELLE
i) «a «ésiilttni
làng' 9' rs a , fl' = 54" 44'.
FMtr c«lle mImf d« ^ «ft <; csma 6«*i ob «
F(c, fl') 5=1,07855, E(0,l') a 0,85544 ;
et réquation (i5) donne
On aura, en même temps ^
A' s= a V/COS ft — C0&|«' as -7c: ^
pour Fordonnée du poitit'oh le Hipiidd B^tfrrète leiotig du plan vertical i:orrespondaat à a^
Tontes les fois que la distance J^ sera très petite par rapport à a , et qu'eD même temps les ai^le^./i etfjtfne seMnt pas tris peu diffë^ rens Tu» dç VtAtre^ abstraction faite 4tt signe, aacon de» deux angles 8 et A' « sevii jtrès jpetît; les distances « et ^4» point I aux deux points verticaux, aussi bien que les coordonnées d'un autre pointée la courbe du liquide, ne pourront se déterminer, même par approximation, sans recourir aux fonctions elliptiques; et cette courbe ne se réduira, en aucune manière, à une ligne algébrique*
(^Sy Dans le cas de fi! z=z ^^ /a^ la courbe du liquide sera symétrique au-dessus et au-dessous de sbn mveau naturel ; on aura
«= ' J^; et si la distance cT «t tipès petite par rapport là a, on
pourra supposer Tangle 6 très petit, et Tangle i très peu différent de fA. D'après le nuflfeért précédent, M «tiM généralement
-jP«4ces^, et, par conséquent,
4 = "Ty^ * ^ ==/* •^ Tzrrrr- > A: = -d^tanga.
DE L'ACTION CAnLLAlRE. xqi
L'angle ^ qui entre dans les équations (lo) et (ii), étant toujours moindre que 9, sera aussi très petit. En négligeant le cube de , ces équations deviendront
'Jl2B=(a^~ i)f , «•«=a<ï'e*(i— c'}^*;
et si Ton élimine ^ entre ellei^ et qu*on y îasae c =3 ces ^ 1 se cos - fé ^
H vient
z lOÊL^sc tang ;t ;
en sorte que la courbe du liquide se réduira^ à très peu près^ a use ligne drràe. L'élévatimi ou la dépression de .ses extrémités sei*a proporticiimeUe k \f^ iUstaoee ^ des deux plaBS veytieaux , et indépendante de ]m matière du liquide» Mais cela s'aura- plus lieu lors«que Tangle ^ sera droit ou k peu près droit; ear alors le premier terme de chacune d^ for9iuW.(pi;) ^ (vS).s'éTaa«iiira ou sera très petit, ce qui rwdra nécessaire Ift^cosstdératio» d« ter»e suivant. En teaant cooqyte de la twisième puissance de 9 et de 9^ on aura
^» = (ac«-. 0*-H c^'— Çf*, Si Ton suppose /t = - 9r , on tirera de Téquation (i5)> ,
en négligeant la quatrième piaa3aiM|^ de ft j oq aura donc
et^ par cŒ^Bequent ,
XKapi^ l'équation (lo), on aara» en même temps ,
i^s NOUVELLE THÉORIE
d où il ràfJte
pour l'équatioa de la conrbe da liquide qui sera une panfaDle enhîque. Les ordonnées de ses extrémités , c'est -j^ - dire les yaleurs de z qui répondent k ^=szb0, seront
pour lesquelles on a effeclivement x = db «• L^élération ou la dépression du liquide dépendra donc de la constante a, et sera, en outre , proportionnelle à la racine cubique de la distance mutuelle 2% des deux plans extrêmes.
(96). Si Ton plonge dans un liquide deux lames yérticales, parallèles et d'une grande largeur^ les formules prâ:édentes senrîroaf à détenniner, dans tous les cas, la figure du liquide en-dedans et en -dehors de ces deux lames. En tnéme temps ^ 1 équation {g) du n^ 85 fera connaître Texcès de pression horizontale, qui pousse chiH cune de ces lames perpendiculairement à leur direction; et Texpression de cette force sera très simple, d après les valeurs que nous avons trouvées pour les ordonnées verticales des points extrêmes de la couche du liquide.
En effet, lorsque le liquide s'élèvera ou s'dbaissera à la fois le long des deux faces intérieures de ces deux lames, on aura (n* 87}
A* = *• -+- a' (i -*- sin ùÊi)p
pour le carré de l'ordonnée de l'extrémité de la courbe intérieure du liquide, qui répond à l'angle donné tf. Si l'on appelle k, l'ordonnée de l'extrémité de la courbe extérieure, et ûf^ Fangle correspondant, on aura, en même temps,
A*, ss a' (1 — sin «,);
car le point de cette courbe oh la tangente est horixontale , et dont
est A, se trouvant an niveau dii liquide, on a A ss o.
Or, ce8 yaleu» deJ:* ^et A^, rédvb^iU réqaation (9) du m 85 à
L'excès de pression qui pousse ckaq«e Itme de deliors ea dedans est donc nne quantité positive ; ce qui aMWtre que dans ce premier cas les deux lames se rapprocheront Tune de l'autre, quel que soit l'état de leurs faces extérieures. La force i qui produit cette attraction apparente sera la même pour ces deux corps, et proportionnelle au carré de l'ordonnée du point C de la courbe intérieure, où la tangente est horizontale; et comme A est, à peu près, en raison inverse de la distance mutuelle des deux lames, quand elle est très petite par rapport à la constante a, il s'ensuit qu'alors cette force sera en raison inverse du carré de la distance.
Quand le liquide s'élèvera le long de la face intérieure de l'une des lames, et s'abaissera le long de la face'^intérieure de l'auti^, le carré de l'ordonnée k de l'extrémité de la courbe intérieure qui répond à l'angle donné ai, aura pour valeur, d'après l'équation (la),
Af 5=s â'(cos i — sin û>) j
i étant l'angle sous lequel la courbe intérieure ooupe le niveau natui*el du liquide. A l'extérieur, cet angle «st nul, et Ton a
A:\ = a'(i — sîn«,),
comme dans le premier cas. En vertu de l'équation (9) du n* 85 , on aura donc
£ = g^fa*(cos£— 1),
pour la force qui ponsse chaque lame de dehors en dedans ; et comme sa valeur est négative, on en conclut que, quel que soit letat des faces extérieures des deux James, elles s'écarteront toujours Tune de l'autre dans le second cas que nous examinons actuellement , c'est-è-dire dans le cas où la courbe intérieure présente un point d'inflexion. Si, en outre, cette courbe est symétrique au-dessus et au-dessous du niveau naturel du liquide, et que de plus la distance des deux lames soit très petite par rapport à la constante a , l'angle 1 , réduit au premier terme de sa valeur, sera égal à cê ^, d'après le numéro précédent; par consé-
qaeat^ ia torae e se trouvera indépendante de la distance des deux lames, et à peu prés égale à gp,la^{i — ' sinâ»)^ abstraction faite dn signe. D en sera de même toutes les fois qne le point d'inflexion sera senlement très rapproché de Tnne des deux lames à laquelle on supposera que répond langle eo, comme dans l'exemple du n» 94.
Il est très remarquable que la force £ ne dépende jamais de la tigure extérieure du liquide et de l'état des faces externes des deux lames; il Test également quon puisse toujours déterminer cette force^ sans connaître la courbe intérieure du liquide, et au mojen, seulement, de l'ordonnée h ou de l'angle /, qui répondent aux points que j'ai désignés par € et I.
S'il n'y a qu'une lame flottante à la surface du liquide, la force « sera nulle, quel que soit l'état de ses deux faces; en sorte que la lame ne prendra aucun mouvement horizontal; mais elle pourra tourner, ainsi que je l'ai dit précédemment (n'^SS), autour d'un axe horizontal et parallèle k sa largeur, passant par son centre de gravité.
S'il y a plus de deux lames flottantes verticales et parallèles, les valeurs précédentes de € conviendront encore à chacune des deux lames extrêmes. A l'égard d'une lame intermédiaire, on aura
eu supposant que les deux courbes adjacentes ne présentent aucun point d'inflexion, et désignant par h et h' les ordonnées de leurs points C : la lame sera poussée du côté de la courbe à laquelle rë» pond la plus grande de ces deux quantités, abstraction faite du signe. Si l'une de ces courbes présente un point d'inflexion I, et lautre un point C, auxquels répondront l'angle 1 et l'ordonnée A, on trouvera
1=; ^f/(A' — fl*COSl),
pour la force qui poussera la lame du côté du point G ou du point 1 , ^lon qu'elle sera positive ou négative. Enfin, lorsque chacune de Ces courbas aura un point d'inflexion , on aura
( = gfla^ (cos i — cos 1') ;
i et i' désignant les inclinaisons de la tangente qui répondent aux deux points d'inflexion : la lame sera alors poussée du c6té de la courbe à laquelle appartient le plus petit de ces deux angles. Ces résultats se concluent, sans difficulté, de l'équation (9) du n^ 85, combinée ayec les râleurs de f^ et k*^ dont nous venons de faire usage , dans le cas de deux lames flottantes*
(97). Avant de qujtter ce sujet, il nous reste à faire voir que quand Tun des angles représentés par ea et c^' est aigu et l'autre obtus , il y a, comme je l'ai dit précédemment (n^ 86), d'autres états d'équi* libre possibles en général, et dans lesquels la couche du liquide ne présente pas de point d'inflexion entre les deux plans auxquels ces angles répondent.
Pour cela, considérons d'abord la courbe qui a lieu lorsque les angles cû et cà' sont égaux, et supposons-les obtus. Soit AC6 cette courbe (fig. ao), C le point où la tangente est horizontale, ED et GF les faces internes des deux lames flottantes, A et B les points où elles sont rencontrées par la courbe ACB. Par le point A , menons une horizontale AK dans la matière de la lame adjacente, et une normale AN en dehors du liquide ; KAN sera l'angle a» , et Ton aura
dz cosû. = - ^ (,6)
en regardant le radical comme une quantité positive , comptant les X positives à gauche d'un point choisi arbitrairement, et finsant x s= OD après les différentiations. Par un point A' de la courbe, situé entre A et C, menons une verticale AIX qui tombe a droite du point 0, une horizontale AU à gauche de AD', et une normale extérieure A'N'. Si Ton appelle ^ l'angle obtus HA'N' , il est évident que la valeur de cos co se changera dans celle de cos 9 , éti y faisant a? sss — OD' après les difierentia-* tions. Par conséquent, si nous faisons généralement x == — x\ et si nous désignons par A»' le Mpplétnent N^A^K^ de l'angle ç, nous aurons
ig^ NOUVELLE THÉORIE
en fiiisant a^=: Où' après avoir diSéreati^.
Or, maintenaaty plaçons dans le liquide une lame parallèle à EÂD, dont la lace V!MW, tournée du côté de EAD , passe par le point Â', et supposons que (»' soit Faagle spécial qui répond k la matière de cette lame et à celle du liquide. H est évident que l'équilibre du liquide ne sera pas troublé entre AD et ÂlF; car la courbe AÂ' satisfait, par hjrpothèse, à Téquation générale de la surface capillaire, réduite à une seule dimension ; et, de plus^ les équations (i6) et (17) , auxquelles ses extrémités A et A' satisfont également, sont celles qui doivent avoir lieu , en particulier , pour Téquilibre du liquide que l'on considère entre les deux lames EAD et E'A'D', en y regardant ùà et û/ comme des angles donnés. Voilà donc un état d'équilibre dans lequel le liquide s^élève à la fois le long des deux lames parallèles, quoique les cosinus des angles oà et e/ qui s'y rapportent soient de signes contraires. Le liquide s'élève et sa surface est concave par en haut, parce que nous avons supposé l'angle obtus ùÊ plus grand que le supplément de l'angle aigu o»'; il s'abaisserait, au contraire, el sa sur£M» serait concave par en bas, si ' l'angle obtus était moindre que le supplément de l'angle aigu.
La courbe AA' sera déterminée par le système des équations (3) et (4) ; mais si l'on représente par J" la distance comprise entre ces deux lames, S" ne sera plus la somme, mais la différence de leurs distances « et a' an point C, qui se déduisent de l'équation (7); et, pour déterminer le module o^ on aura
[P(c,fl)-F(c,9')]
au lieu de l'équation (8); 4 étant toujours déterminé par l'équation (6), et ^ désignant ce que 6 devient quand on y met m' au
lieu de m. Oa prendra le signe rapérienr ou inférieur devant ^^ selon que cette formule (18) sera positive ou native.
Quant aux ordonnées verticales ketk! des points A et A' au-dessus du niveau du liquide , elles seront données par les équations
k^zsh^^a^ (i — sin »), ^'•œA^H- a'(i — sin »');
h étant Tordonnée du point C^ situé sur le prolongement de AA', dont la valeur sera
Ces ordonnées seront de même signe; et on les regardera comme positives ou oooÀiie négatives y selon que celui des deux angles a» et dâ', qui est obtus, sera plus grand ou moindre que le supplément de Fangle aigu. On verra /comme dans le numéro précédent, que les deux lauiea flottantes seront poussées Tune vers Tautre , quel que soit l'état de leurs faces externes.
(98). Au lieu de la courbe qui présente un point C où la tangente est horizontale, si Ton considère ceUe qui contient un point d'inflexion I, on en pourra prendre une portion, située d'un même côté du point I| pour la figure d'équilibre d'nù liquide compris entre deux lames parallèles, telles que les cosinus des angles spéciaux (» et m' soient de signes contraires. Ce nouvel état d'équilibre aura cela de commun avec celui du numéro précédent , que le liquide s-élèvera ou s'abaissera a la fois le long des deux lames; mais ils différeront l'un de l'autra par la nature de la surface. La portion de courbe qui termine le liquide sera maintenant déterminée par le sjrstème des équations (10) et (11); le module c étant donné par 1 équation
qui reitiplacera l'équation (14)9 ^^ ^^^ laquelle ^ continuera de représenter la distunce mutuelle des deux lames, regardée comme une quantité positive.
igS NOUVELLE THÉORIE
Les oxiSiounées k et k! des points extrêmes seront données par Ses équations
k^ssa^ (cos I — sin a), l^^^sz a* (cos i — sin ttf) ,
en tîaisant c = cos - î , et regardant k et A^, qui doivent être de même
Signe, comme des quantités positives ou négatives, selon que celui des deuic angles donnés cd et o/ qui sera obtus , surpassera le supplément de l'autre ou en sera surpassé. On en conclura , comme dans le n^ 96, que , dans cet état d'équilibre, la pression horizontale du liquide tendra à écarter les deux lames l'une de l'autre.
Nous voyons donc que si l'on rapproche l'une de l'autre deux lames verticales et parallèles, qui soient telles que le liquide s élèverait le long de Tune et s'abaisserait le long de l'autre , si elles étaient isolées, il pourra généralement prendre entre elles trois formes différentes * dans l'une de ces formes, la courbe qui le termine présentera un point d'inflexion; dans les deux autres, eUe ne présentera ni nn point d'inflexion, ni un point où la tangente soit horizontale; mais son prolongement en dehors des deux lames contiendra un point de lune ou l'autre de ces deux espèces. Toutefois, lorsque a», cê', J", sont donnés, ces difiérentes formes du liquide supposent que les valeurs de c tirées des équations (14)9 (i3), (19), scmt moindres que l'unité ; et si cette condition n'est pas remplie pour l'une de ces équations, la figure correspondante ne peut avoir lieu.
(99)» Pour éclaircir ces résultats par un exemple, supposons que l'une des deux lames ait été préalablement mouillée par le liquide, et prenons, en conséquence, â» = 7r; supposons, en même temps, que l'autre lame n'exerce qu'une très petite attraction sur le ii* quide; en sorte que cù' soit un très petit angle, que nous repré* senterons par at^. L'angle a> étant plus grand que le supplément de û»', le liquide sera concave et élevé au-dessus de son niveau naturel , dans les deux cas des numéros précédens.
En vertu de Téquation (6), on aura
cotô = i. fl' = â-J^.,
DE L'AeTrON CAPILLAIRE. igg
en négligeant le- cairé de p , et désignant par 6 le complément
V/i — c* du module c. Si l'on ^dsYvloppe la fornnile(i8) suivant les poissances de 6' — , le terme indépendant de cette différence n'existera pas , et l'on trouve <{ua la valeur de cpt B fait disparaître celui qui dépend de sa première puissance; en s'arrétant à son carré, il vient
ou, ce qui est la même chose ,
d'où l'on tire
Par conséquent, pour que l'équilibre que l'on a considéré dans ie n** 97 puisse avoir lieu , il sera nécessaire et il suffira que la distance eT soit très petite et moindre que a^.
Cette condition étant remplie , nous aurons
et par suite
pour une même valeur de i/, l'élévation du liquide sera donc en taison inverse de la distance J^ des deux lames ; et si cette distance est très petite par rapport k ai^, la force 6 qui les pousse l'une vers l'autre, sera en raison inverse du carré de eT.
Si l'on (ait successivement ftt9» -9r et fc ss — ^ tf -f- a(^> dans
réquationi (i5)', ce qui répond à û>=s^ et ûd'ss a^', et qu'on néglige 4e carré de p , on en déduira
V^cos * ycoB I
aoo NOUVELLE THÊOJUE
En développant la fommle (19) sairaiit les paissances de 6^ — â> jus-
qa*an carré indosivenieiit, et mettant oos - î i la place de c , on
trouTe
a/ïsîn»l|- »/cwî'
d'où Ton tire
a eoai ^,
Ponr qne Tangle 1 soit réel, il safBrait qu'on eût />a(^; maia notre calcul suppose très . petite la différence V — ; ce qui exige que
z soit aussi très petit, et, par conséquent, que — le soit égale-
ment. En supposant donc que la distance ^ surpasse op*, et soit néanmoins très petite par rapport à a^^ l'équilibre dont il a été question dans le numéro précédent pourra avoir lieu; et, dans cet état, on aura
pour l'élévation du liquide et pour l'expression de la force qui tend à écarter les deux lames l'une de l'autre.
Dans ces deux formes du liquide , la force c s'évanouit k la limite qui les sépare, c'est-à-dire quand ^=rai^, et k est le même pour toutes les valeurs de /• Si la distance J" surpasse d'abord a%^, que la seconde forme s'établisse, et qu'ensuite on rapproche les deux lames, de sorte que / devienne moindre que av^, la première forme soc-* cédera à la seconde, et la répulsion se diangera en attraction.
(loo). En rapprochant ce r^ltat de celui que nous avons trouvé précédemment pour le cas où il existe un point d'inflexion entre les deux lames, on voit que, dans l'exemple que nous examittons, le liquide peut prendre deus^ figures d'équilibre différentes, pour une même distance / très petite par rapport à a. L'une de tes figures sera, à très peu près, une parabole cubique (n* qS); eÛe subsistera, quelque petite que soit la distance ^f et les deux lames se repousseront constamment avee^^ne fopoe iydépefidanle de /et égale
DE L'ACTION CAPILLAIRE aot
à gfla*^ (n'' 96). Dans VêxOx^ figure » la courbe du liquide sera de deux natures différentes, selan qu'on aura J^ > ap* ou J" < ^^ entre les deux lames; elle sera tout entière au-dessus du niveau , et ne présentera ni inflexion ni point où la. tangente soit horizontale; elle fera partie d'une parabole cubique, quand «T surpassera
ai^* , et d'un arc de cercle , d'un rayon égal à - «T, quand cT sera
moindre que av^. Dans ce changement de courbure , la force € changera de signe; à mesure que cT diminuera, elle croîtra ou décroîtra , abstraction faite du signe , suivant qu'on aura cT < ai^^ ou
Mais, laquelle de ces deux figures différentes le liquide prendrat-il effectivement ? Il y a lieu de croire que si Ton a d'abord placé les deux lames parallèles à une grande distance Tune de l'autre, en sorte que le liquide se soit élevé près de. l'une et abaissé près de l'autre 9 et qu'ensuite on les ait rapprochées graduellement jusqu'à ce que la partie horizontale du liquide , comprise entre elles , ait disparu, ce sera la première figui*e, présentant un point d'inflexion , qui s'établira. Mais, au contraire , le liquide s'étant élevé près de l'une des lames, si l'on plonge l'autre verticalement dans la partie courbe du liquide, on peut croire qu'alors la seconde figure aura lieu y et qu'il ne se produira pas d'inflexion.
Le changement de répulsion en attraction qui a lieu dans le cas de la seconde figure , quand la distance <^ diminue convenablement, fournit l'explication d'un phénomène observé par Haiiy et cité dans la Mécanique céleste (*)• Ayant plongé dans l'eau une lame d'ivoire, le long de laquelle le liquide s'est élevé, et une feuille de talc lami*naire, substance non susceptible d'être mouillée par l'eau, il a observé que ces deux lames se repoussaient tant que 4eur distance mutuelle dépassait une certaine limite , el qu'elles s'attiraient , au contraire , lorsque leur dislance était moindre. Il serait à désirer que cette expérience curieuse fût répétée ; et pour que l'observation fut complète, il faudrait vérifier qu'en plaçant d'abord les deux lames parallèles h une assez grande distance l'une de l'autre , et les rap-
(*) Supplément à la Théorie de P Action capillaire, page 47-
procbant enaoîte avec prëcaatiaii, k courbe da liquide présenterait une inflexion, qui se nnaiaiiendrait^ ainsi que h. force répulsive, quelque petite que devioiine la diatanoa des deux lames*
(loi). Oocttpona-Bous actuellement d'un autre genre de question*». SuppoaœiB qtt'un volume d^nné d^un liquide soit compris entre deux plans horizontaux , et proposons-nous de dëtermiiief:. la surface latérale de ce liquide. Son équation différentielle sera
H étant la constante relative k la matière du liquide ^ A et A' les rayons de courbure principaux en: un point qtieltonqne M de sa surface, FI la pression atmosphérique , p hc pression intérieure qui a lieu à une distance de M , insensible , mais plus gratide que le rayon ^activité moléculaire. En appelant z rordontiée du point M, verticale et dirigée de bas en haut, p la dénoté ûtB lit) lide, g la gravité, et C une constante arbitraire, on pourra représenter la valeur de p par
et aucune partie plane de la sur&cé du liquide n'étant soumise à la pression de Fatmosphère, la constante 6 ne sera pas nulle, et sa valeur devra se déterminer d'âpres le volume du liquide. Si les deux plans horizontaux enU'e lesquels il est compris sont par£aiitement homogènes, et qU^on fasse abstraction de^ sinuosités de leurs superficies, il est évident que la surface latérale du liquide sera une surface de
révolution, qui aura son axe vertical. D'après lexpression de 7 -f- -^,
relative à ce genre de surfaces, I équation (a) deviendra donc
dt* J dt , ■ HZ ...
ï+-ji ^'
dej
eu désignant par / k distanor «la porntî qurleoiiquo M à IWc de figure, et faisant H =:: g^^> Selon la règle que Ton doit suivre pour déterminer le signe ambigu dn dénominateur dans roxpre>-
DE L'ACTION CAIlLLAiRE. mS
sion de i + ^ (n* 49)9 il faudra prendre le radiai y 1+ ^ avec
un signe contmire à celui de éb$ la difMrentîeUe dz ^tant positive dans toute la longueur de la génératrice.
A l'extréniitë supëriéure de cette courbé, je daignerai par « Fai^gle que fait la normale extérieure avec là verticiale tirée en sens contraire de la pesanteur, et à Textréniité inférieure, j^appellerai 0/ Tangte compris entre la normale extérieure et la verticale menée dans le sens de la pesanteur. Ces deux angles seront donnés j et , par exemple, chaque angle sera égal à deux droits, quand les deux plans auront été pi^alablement mouillés pa<* le liquide. Je considérerai, par laisaite, un cas dans lequel Tua de ces angles est aigu et l'autre ebtus ; maintenant, je supposerai qu^ils sont tous les deux aigus ou tous les deult obtos : la courbe sera alors , dans toute sa longueur, concave ou convexe endehors , et il y aura un point C pour lequel sa tangente sera verticale. Je fixerai en ce point roriginé de la variable z, et je désignerai par h la valeur correspondante de ^ , en sorte qu'on ait à la fois
V dz
Il en résultera
y étant le rayon de courbure de la génératrice au point C , que Ton regardera comme positif ou comme négatif, suivant que cette courbe sera concave ou convexe en-dehors. On a pris — h pour Fantre rayon de courbure, c'est-à-dire que Ton a considéré le radical
1/ I + ^ comme négatif, parce que la ligne de courbure circulaire
à laquelle il répond tourne sa convexité en-dehors.
Soient r et r^ les rayons des cercles de contact du liquide avec les plans supérieur et inférieur, et et et a' leurs distances au plan horizontal passant par le point C; h l'extrémité supérieure de la génératrice, nous aurons
2o4 NOUVELLE Tii^I^IE
et, à son extrémité inférieure,
t=:r^, zsas — a', ^ +sin »'^i -H ^ * o; (d)
le signe des radicaux étant le même que dans l'équation (b).
Appelons enfin m la valeur moyenne de ^^ et A: la dislance mutuelle des deux plans qui comprennent le liquide; son volume pourra être représenté par Trm^k, et Ton aura
« + «'= A:, f2 . t^dz = m^k. (e)
Les équations (b), (c), (d), (e), sont celles qu'il s'agira de resoudie par approximation; mais, pour cela, il faudra procéder différemment , selon les dimensions du liquide. Je les supposerai d'abord très
Vfttt ET
petites par rapport à a , en sorte que — et - , et , par suite ,
- et ~ , soient de très petites fractions.
(loa). Dans ce cas, je multiplie l'équation (&) par tdi, et j'intègre ses deux membres ; il vient
dz
/-^,+ €^-+€'=S-i^-rf^; U)
df^
et si l'on suppose que l'intégrale fV'dz commence avec z, la constante arbitraire ff' aura pour valeur
Kn combinant les équations (c), (rf), (/"), on en conclura
f't en retranchant ces équations (g) l'une de l'autre , et ayant égard à la seconde équation (a), on aura
g (/-• — r'*) = r sin û> — r sin «' H- ^ («r* + aV» ~ kne) ;
L'ACTION CAPILLAIRE. ao5
résultat qui coÏDcide avec Téquation (6) du n* 821 , en observant que ^ d'après les expressians de p qu'on a employées dans les n~ 81 et 101 , la constante b doit être la même chose que a^C H- *^
Dans une première approximation , je négligerai les termes divisée par a* ; ce qui réduit l'équation {f) à
d'où Ton tire
Le radical V/ i + "^ ayant un signe contraire à celui de dt^ et la
différentielle dz étant positive , la quantité &t^ + & est aussi positive j par conséquent, le radical contenu dans l'expression de dz devra être de même signe que dt.
Cette formule s'intégrera toujours au moyen des fonctions elliptiques, et, dans qudques cas, au moyen seulement des arcs de cercle et des logarithmes. La valeur de z que l'on en déduira sera le premier terme d'une série wdonnée suivant les puissances de
-^ , qui sera d'autant plus convergente quç les dimensions du liquide
seront plus petites par rapport à a, et dont on formera autant de termes que l'on voudra, par la méthode des approximations successives. En faisant successivement t= r et t s= K dans l'expression de 2, on aura celles de a et — a'i et, cela étant, les quatre équations (e) et (g) feront connaître les valeurs de r, K, h et y. Par conséquent, il ne restera rien d'inconnu dans l'expression de z, qui sera la solution complète du problème.
Si l'épaisseur A: de la goutte est très petite, non-seulement à l'égard de a, mais aussi par rapport à sa largeur, la génératrice de la sur&ce latérale du liquide se confondra, k très peu près, avec son cercle osculateur au point C. C'est, en effet, ce que Ton dé* duit de l'expression de dz ; car , dans ce cas , k rayon 7^ de ce cercle est très petit par rapport au demi-diamètre h de la goutte ; on a ,
jo6 ^OUV£LL£ THETtKIf.
il ! on fait
la Tariable l! ten auari très petite; on aura^ à très pea près,
et, par conséquent,
à cause de z:^o^ qnand tsss h on f=:zo. On regardera le radical comme positif, selon qu'il s^agira d'un point situé au-dessus ou audessous de C ; la variable t' aura le même signe que > ; et , pour ▼ériHer Téquation (f), il faudra prendre
en ayant égard au signe que doit avoir le radicul v/ 1 -f- v-^ dans cette équation. On aura^ en même temps,
' ^ COS + C08 m' '
pour les valeurs approchées de A et }^.
( 1 o3)« Pour api^iquer les équations {f) et (g) au cas d'une très petite goutte de liquide posée sur un plan horizontal et libre à sa partie supérieure, il suffira de supprimer le plan supérieur où Ton supposait que le liquide venait se terminer^ et de faire, conséquemment, r= o. L'inconnue r sera remplacée par l'inconnue k^ qui ne sera plus donnée comme précédemment, et qui représentera la hauteur du sommet de la goutte au-dessus du plan inférieur;. à ce sommet, le plan tangent sera horieontal, et (a égal à zéro. Je supposerai l'angle cJ aigu, de sorte qu'il s'agisse par exemple, d'une très petite goutte de mercure non oxidé, posée sur une plaque horizontale de verre, et qui sera convexe dans toute la partie qui n'est pas en contact avec le plan inférieur.
En faisant rsso dans la première équation (^), on voit que Q!
sera une quantité très petite qui aura a* pour diviseur ; ce qui exige que y diffère très peu de h. Soit donc
y étant une nouvelle inconnue ; nous aurons
fi ' j« 2l t' * V
La valeur de z serait \/h^ — /*, si Ton négligeait les ternies divisés par <i*j je ferai donc
