VÂ^T

En substituant ces différentes valeurs dans l'équatiou (y), les X^tme^ indépendans de a* disparaîtront^ et si Ton multiplie les autres par a*, et qu'on supprime ensuite ceux qui auront encore a* pour divi-

seur, on aura

i (A- - *•)' I - /(A' ~ ^') + 1 (*•- «•)• = o. Au sommet de la goutte, ou a ^c=.o; il fiaiudra donc qu'on ait

On aura ensuite

!ihtdt

tius=,

eu intégrant et observant que a = o quand ^ = o , ou aura ih valeur de i^; et en la substituant dans celle de ;s, il en résultera

z = VA*— i* - 3^ log -^ ,

pour l'équation de la courbe génératrice qu'il s'agissait d'obtenir. Ou se rappellera que le radical doit être pris avec le signe -^, au-dessus du point C, et avec le signe —, au-dessous; au sommet de la goutte on aura ^=0, z=:«, ^àla base , / = K, r -rs — «' ; et il en r^- ^ultera

ao8 NOUVELLE THÉORIE

ai*

3a« "Ti I î

le radical V** — ''^ tftant regardé oomme tme quantité poaitive. Il reste eoocwe à déterminer h et /. Or , en ftisant

dans la seconde équation (g) , elle devient

dans retendue de cette intégrale, on peut prendre a cause qu elle est divisée par a' ; on aura donc

pd( conséquent la valeur approchée de r sera

f ï • / , aA^ (i + oos •') 008* t/

r'=A8in» H ^^.j^J ,

\a* 0tn #

excepté lorsque o/ sera zéro ou très petit : dans le cas de 6»' = o , par exemple , on aurait

av/3*

Km appelant i le rayon de la sphère équivalente au volume de la uutte de liquide , ou ^^ ce Tolume , k seconde équation (e) sera la même chose que

D après la valeur de z^ et en ayant égard au signe du radical qu'elle renfenne ^ on a

/^ ztdt = - 5 (A«- /•)• + ^ log ^

OÙ Ton regardera le radical V/A^— /' conrime une quantité positive. Si l'on ajoute les valeurs de ces deux intégrales , on aura celle de rintégrale qui entre dans l'équation précédente ; et d'après la valeur de a'y cette équation deviendra

Si l'on y substitue pour r' sa valeur , et qu'on en tire ensuite celle de A^ il Tient

A = su + —^ (1 H- cos* m' — a cos' «' — i cos* «') , en faisant, pour abréger ,

2 + 5 cos m' — cos* »'= 4-.

Cela étant, si l'on ajoute les valeurs de cl et m! pour avoir la hauteui k du sommet de la goutte aunlessus de sa base , et qu'on y mette pour r' et A leurs valeurs, on aura

A =s •)» (i + cos û>') + ^4- *^ ">* ^ ^^

-; (l 4- COS éù) (2 COS* ftl' + 5 COS» »'+ 4 ^^^ ^•''^ 0' (*)

Si Ton avait mesui*é directement la hauteur A d'une gouttelette de mercure, d'un volume ou d'un poids connu, cette équation (A) pourrait servir à déterminer l'angle co' relatif au contact du mercure avec le verre sur lequel il est posé ; mais une petite erreur sur le poids en produirait une trop grande sur la valeur de ùù' ; et il vaudra mieux employer à cette détermination la hauteur observée d'une goutte très large, dont nous donnerons tout à l'heure l'expression en fonction de Tangle dont il s'agit.

(io4)* Considérons maintenant le cas où les dimensions horizon-

2^o M il \ r J.LE TililOl 1£

taies da liquide «ont ircs '^*^^'Ls par '^apport à son épaisseur verti- -^ale. Je multiplie -••. *' '^iiJon 'h) par dz , et j'înt^re ses deu^ membres j ce qu» ' ^

Ofi n ajoute pâs de constante arbitraire, parce qnou suppose que TiQ- ^'*^al<; contenue dans le second membre commence avec Zy et qu'au

point C, on a z =o et — = o. En vertu des équations (c) et (d), e*

en ajaiit é^ard au signe contraire à celui de dt, que 1^: radical

I 4- -J-; doit avoir, sa valeur sera à Textrémité supérieure

de la courbe , et — r à l'extrémité inférieure : en ces deu ;

points on aura donc

ro^

2hct — -T- = cos a>

2^ a' -| ^ = cos û»^

dz — dz

V' + ar

La variable / étant très grande pour tous les. points de la surface latérale du liquide, nous pourrons, dans une première approximation j négliger les intégrales que contiennent ces trois équations En résolvant la première par rapport à dt, on aura, de cette manière

vA-(.ê.-i*y'

et comme , d'après Féquation (k) et le signe du radical 1/ i -f- ^ ,

le numérateur de cette formule est de même signe, que dt, il faudra ronsidérer son dénominateur comme une quaatité positive. On pourra

DE LîACTK)N CAPf Ll , A IRl :. 2 1 1

toujours la réduire en fonctions elliptiqiie.s; mais je suppost^mî Fépaisseur du liquide^ et par suite l'ordonnée z, très petite par rappott

à la constante a ; négligeant en conséquence la fraction —, intégrant

et observant qu'on a t^=:h quand is = o , il vient

Nous nous arrêterons à cette valeur de t, dans laquelle il restera à déterminer les constantes h et €. Or, les équations (/) donnent » à très peu près ,

2^01 = cos a>, 2^0! z=:z cos ùf ;

d'où l'on tire

C "^ cos et ' en supposant (ê' ^=z co, pour plus de simplicité. Je supposerai aussi que o>) difiere beaucoup d'un angle droit ; ^ sera alors une ligne trh'^ petite , comme Tépaisseur k ; il en résultera , à très peu près,

/** / k \^ hk"

I t^dz = ( A-— ) A: -f- 7— -r- (^ — 2» + sin 2Cû) ;

J ~^0f \ 2COSIII/ ' 4^* •

et l'on déduira de la seconde équation (e) ,

h z=: m -{ ë r- ("^ — 2(» + sin aa»).

(io5). Si l'épaisseur A- du liquide n'est pas donnée, mais qu'il soit chargé d'un poids OB' posé sur le plan supérieur qui le termine , il faudra , pour déterminer k , recourir à l'équation (7) du n* 82, dans laquelle on mettra a*S -^^ af klsL place de la constante b , ainsi qu'on l'a dit précédemment (n? 102). En ayant égard aux valeurs de € et ol\ on aura alors

— T — — • - A: j r — n* sm û> ,^

équation dans laquelle r est la valeur de t qui répond à z 2= £t. A cause que k est très petit par rapport à m, on pourra prendre m pour cette valeur de r; et comme on a aussi supposé k très petit par

^ja NOUVELLE THÉORIE

rapport ka^om pourra réduire Fëquation prëoedente k

4r=Sî-^j i

d'où Ton tire

en appelant (^ le volume ^m*^ da liquide^.

Lorsque Tangle â» sera obtus ^ il faudra^ pour que cette valeur de A soit réelle et que Tëquilibre soit possible, que le plan supérieur, au lieu d'être chaîné d'un poids donné, soit, au contraire, tiré de bas en haut, ce qui rendra « négatif; il faudra, par exemple, que ce plan soit suspendu au plateau d'une balance, et qu'on place le poids 4r dans l'autre plateau. Quand cû sera aigu, le poids « devra agir dans le sens de la pesanteur, et sera alors une quantité positive. La différence de ces deux cas tient à la figure du liquide, concave dans la première hypothèse, et convexe dans la seconde. La valeur de A variera, pour un même liquide et entre les mêmes plans, suivant la racine carrée du rapport du poids gp\f du liquide à la chai^^e positive ou négative, n serait intéressant de vérifier ce résultat par l'expérieuce , en ayant soin de prendre la charge très grande , par rapport au poids du liquide, et la largeur du liquide aussi très grande relativement à son épaisseur, sans quoi la formule précédente ne serait pas applicable.

Si les deux plans ont été préalablement mouillés par le liquide , en sorte qu on ait a^ =^, et si l'on met — f au lieu de « , il en résultera

Mjm*

Ce sera la mesure de Teflort qu'il faudra faire pour séparer ou écarter l'un de lautre deux disques horizontaux, entre lesquels il existe une couche de liquide, d'une très petite épaisseur k et d'un très

grand rayon m; la quantité j étant, à très peu près, la hauteur

a laquelle le même liquide s'élèverait dans un tube vertical d'un rayon égal à k,

Cl 06). Supprimons actuellement le plan supérieur, supposon^^

DE L'ACTION CAPILLAIRE. jiS

l'aDgle <J aigu, et proposons -nous de déterminer la iignre d'une large goutte de nieicure, par exemple, posée sur un plan horizontal de verre. La hauteur k du sommet de la goutte au-dessus de sa base sera mconnue; nous la supposerons très petite par rapport à sa laideur, mais non {dus, comme précédemment, par rapport à la constante a.

Jusqu'à une petite dislance du bord de la goutte, sa surâice sera^ à très peu près, plane et horizontale; on pourra négliger, dans

l'équation (&), le cube de ^ et le produit "^ ^î^ ' ^ ^^ '^ réduit à

Si l'on désigne pyr « la valeur de z qni répond au sommet de U goutte, par u, une autre constante inconnue, et qu'on fasse

on satisfera à cette équation et aux conditions z = a et -^=^0, quand tsao, en prenant

a«tH / \i— e

//\i-«' JH, (0

ainsi qu'il est facile de le vérifier : w ete représente jt, à }*ordinaiie .. le rapport de la circonférence au diamètre et la ba!»e des logarithmes népériens. Pour des valeurs de t très petites par rapport à a , ou pourra développer cette intégrale définie en série convergente or* donnée suivant les puissances de t*, et en s'arrétant au second terme . ou aura

d'où il résulte que fi sera positif et repréàentera la grandeur du ra;^on de courbure du liquide à son sommet. Quand, an contraire, e sera très grand par rapport à a, on pourra calculer, d'une autre manière , la valeur de l'intégrale définie. En efiet , on a

/, -JL.cot4 — t— /»^ L.tiii*-4

ai4 NOUVELLE THÉORIE

ai «kmc on fût

on en conclura

y^e • rf4=ae ^y^c "^'(ft— ^) ^dr.

Après avoir développé (i— --^r') * suivant les puissances de x^, ou

aura une suite d'intégrales de la forme h e'^'*œ*^dXf qui pourront

s'étendre I sans erreur sensible ^ depuis zéro jusqu'à l'infini^ à cause de la grandeur de b^ et dont on obtiendra ensuite facilement lès valeurs ; il en résultera une série ordonnée suivant les puissances négatives de b, qui sera très convergente i du moins dans les premiers termes. En s'arrêtant au premier» et observant que

on aura

«t y par conséquent y

Ce sera Féquation de la surface de la goutte, à une grande distance de son sommet , pour laquelle, cependant, le plan tangent soit encore très peu incliné.

Au-delà de cette distance, j'emploierai, pour déterminer la courbe du liquide, l'équation (A), de laquelle je retrancherai la première équation (î). En mettant pour C sa valeur, et faisant cosé^s i, il en résultera

DE L'ACTION CAPILLAIHE. :ii5

< ^iio Jtraière intégrale commençant maintenant à z=r:«, c'est4i.dire au

sommet de la goutte, où l'on a ^=o. Dans tonte son étendue^ la quantité comprise sons le signe / est très petite, soit à cause du facteur

j. soit à raison du diviseur^. En négligeant donc cette intégrale,

faisant z = z' -| — , et négligeant aussi le terme divisé par ft*, dans une première approximation , on aura simplement

d'où l'on tire

(tf~*')V/2a»— (fit— «')»'

Comme et — jS' est positif, et que le numérateur de cette formule est de même signe que dt , d'après Féquation précédente et le signe de

w I + -T^ , il s'ensuit qu'il faudra regarder comme positif le radical

v/aa* — (a — z')*. En intégrant, on aura

< =s i 4- v/aa'— (a — z')* — y ua* — («+ -

/ étant la constante arbitraire, laquelle représentera le demi -diamètre de la goutte dans sa plus grande largeur, qui répond à z:szn

OU 3= , et a -T-= oo«

fà^ dt

On pourra, si l'on veut, pousser plus loin l'approximation; mais nous nous bornerons aux formules (/), (m) et (n), qui feront connaître la figure du liquide dans toute son étendue, après toutefois qu'on aura déterminé les valeurs des coustantes )x, ci et /, et de la constante «', nécessaire pour avoir la hauteur A: ou a -|- a^ du sommet de la goutte au-dessus de sa base.

(107). Pour y paiTcnir, j'observe que les équations (m) et (n) ont lieu

1x6 NOUVELLE THÉORIE

eu même temps et doivent coïncider pour les points qui repotideir k des coordonnées t et z très peu différentes de / et «• Or, en négligeant le carré de « — • z' dans l'équation (n), faisant ^ pour abréger,

et observant que « + — diffère très peu de a, comme on le veiTa tout à l'heure , cette équation devient

.=/'+4..iog(i±*%.^ii:^^

ou , ce qui est la même cbose ,

^ , «* aal/a n

D'un autre côté, pour des valeurs de t très peu diflférentes de / ou de /^ l'équation (m) peut être remplacée par celle-ci :

^ a^Vrï/a ^ '

pour qu'elle coindde avec la précédente, il fiiudra donc et il suffira qu'on ait

rV5

< e qui fait déjà connaître le rayon de courbure fc.

Si l'on met dans la première équation (i), au jieu de ^, sa valeur . et qu'on y fasse cos o» ss i , il vient

On peut négliger la partie de cette intégrale qui répond aux pomts de la surface où le plan tangeut est très peu incliné; dans l'autre partie , on peut aussi mettre simplement /' au litou de t ; elle s'è-

DE L ACTION GÉPEiLAiRE, 417

tendra ensuite depuis z = o jnstfftHt vtœ tatleitr 'de t- tcès' |ieu différente de etf telle que z = a, par «izemple ; eti* comme ^ a dans cette seconde partie » k très peu pris ,

il en l'ësultera

On aura donc

a — . - -f- gjf7 (a V a — 1 ),

d'oii Ton lire

pour la yaleur appcodiM de a.

On atira de méme^ à très peu près ,

Ijj, [a^* - (ot + *')*]V;

et il l'on ajoute, membre à masobÊ^f les deux ëqiMdobs{f|f ou eu conclura

<*«- nui donne

A = <«Vâcoaia»'-.-H ^^(1 — sin»i«'), (o)

' f' W 6oà-m' ^ ^

pour l'expression de la hauteur de la goutte. Si l'on a mesuré directement le diamètre de la goutte, on en prendra

2i8 NOUVELLE THÉORIE

la moitié pour la valeur de Z ; quand son poids ou sou volame sera donuë, on ea déduira iau moyen de la seconde é<juation (e), ou, plus simplement, au moyen de celle qu'on obtient en retranchant les équations (§■) Tune de Tautre; ce qui donne

en appelant i- Je volume de la goutte, faisant r = o, et mettant pouv C sa valeur: r' est ici la valeur de t qui répond à 5 = — a', ea sorte que l'on a, à très peu près,

, ( I -f sin - «' ) r' = ^ 4- a V'i sin - «' — ^i ^ -i- iog -^^ ?/— .

*^^ (t + ï/i) co» - .'

L équation précédente devient aussi, à très peu près,

^r'^a V' 2 cos i <y'= i'-f-TraV sin a' î — ^i— sin* i a»') | , (p)

en vertu de la formule (o). Elle donnera la valeur de r', et, par suite, celle de /, lorsque les valeurs numériques de p, o)', a, seront

connues.

(io8). M. Gay-Lussac a trouvé

pour Icî hauteur d'une goiitt^^de mei-cure posée sur un plan de verre; !e r-rvoî» «jtatit

et la w^îtjp^^rature i2'',8. î) après le n* j5, on a

a» cos '»*'= 4,5746,

a cette r.u>me temporarure, en prenant le millimètre pour unité. Si donc on réduit d abord la formule (o) à son premier terme , on aura

(3,^78/ cos u^' =^ (4,0746) (1 H- cos (»') ; ce qui donre

DE L'ACnON CAPILLAIRE. 219

On aura, en mtoe temps.

a sss a,6i46) F as 5i,o8S ;

et^ à cause de Texponentielle e ' # la quantité - sera tout- à- fait

insensible. Cela étante si Ton supprime le denxi^Q terme de la formule (o), et que Ton mette dans le troisième coa Taleurs approchées de ûè', V, a, on aura

(5,778)» cos »' == (4,5746) (i + cos »') + (0,5098) cos a/;

d'où l'on tirç

ai'=45*5o',

pour la valeur de m' k laquelle on pourra s'arrêter*

Il résulte de là qu'w fiiisant cos i#'s=a i&, nous aurons^ à la tempér rature ordinaire,

a* = (6,5:262) millimètres carrés , bz=s 0,70091 ,

pour les valeurs des deux constantes qui entrent dans les différentes formules de l'action capillaire ; l'une relative à la matière du mercure non oxidé , et l'autre à son contact avec le verre , ou plutôt avec la couche d'eau qui est toujours adhérente à la surface du verre (n^ 75). Ces valeurs différent un peu de celles de la Mécanique céleste j qui satisfont moins exactement à l'observation de M, Gay-Lussac; car elles donnent S'^jSgô (*), au lieu de 3"",578, pour la hauteur de la goutte d'un décimètre de diamètre.

(109). Voici les poids et les hauteurs de plusieurs autres gouttes de mercure que M. Gay-Lussac a aussi déterminées, et qu'il a bien voulu me communiquer.

Poids en gmnmcs. Hauteurs en millimètres.

Supplémeni à là Théorie de t Action capillaire, page 66.

PoMi «1 Kraiiiiii«t« tttfiaQn ta iniUimèCf«.

Dtat liwtes ces menorai, fûtes a la températaie ordinaire, M. Gay- Lvssac a remapqtie que Tangle compria entre la surface inférieure de la goutte et son image dâûa le' Terre qui la supporte) était très sensiblement un angle droite ce qui donnevait âi'=s4^*.

Ces hauteurs croissent de moins en moins à mesure que les poids, et, par conséquent, les largeuxiB deyiennent plus; considérables; nuds la formule (o) montre de plus que quand le diamètre est devenu très grand, les hauteurs finissent par décroître ayant de paryenir à une grandeur constante; qui sera ^primée par «le premier terme de cette formule. Dans le cas du mercure, cette hauteur extrême est 5"",55t8 : ce serait là hauteur d'tme goutte de ce liquide dont on regarderait le 'diamètt^ comme fnÉM.

Si Ton yeut appliquer les fiMvâutes du n"* 107 à la première de <.«s mesures , il faudra prendre

pour le yolume de la goutte, exprimé en millimètres cubes. Au moyen de cette yaleur et de celles de a et 6 ou cos «', l'équation (p) donne

On aura ensuite

/=7—,I097, f«ae ï6^,i4,

pour le demi-diamètre et le rayqp de courbure de la goutte; et si Ton

^ I^KCTION CAPILLAIRE. ^j.

calcule sa bMftear asorvitifenàe la formule (o), on trouve

La différence avec Tobservation , qui s!âève à o^^^a, peut étr« attribuée au calcul d'approximation.

La formule (o) serait tou^4i-fait en défaut si Ton en faisait Tapplication aux hauteurs des autres gouttes; et déjà elle ne donne que ^■■^SS, au lieu de 5"",a9, pour la hauteur de la goutte dont le poids est SSySyJ Toutefois i les plus petites gouttes ne le sont poinr encore asses P^^i* qu'on puisse recourir à la formule (h); car celle-^î ne donne que l'^^^S, au lieu de i"",58, pour la hauteur de la plus petite goutte^ dont le poids est os^oSi.

(iio). L'anal jrse précédente peut aussi servir à déterminer l'élé* vation ou la dépression d'un liquide dans un tube vertical et cylindrique, dont le diamètre n'est plus très petit, comme on le supposait dans le chapitre IV, et est, au contraire, très grand par rapport à la constante a relative à ]a matière du liquide.

Si l'on compte les z positives à partir du niveau extérieur du liquide > et toujours en sens contraire de la pesanteur, la constante C sera nulle; et en appelant h Tordonnée du point où la surface du liquide coupe Taxe du tube, et y le rayon de courbure en ce point, considéré comme positif ou comme négatif, selon que le liquide sera concave ou convexe , on aura

On mettra ^ et — ^ à la place de a et f6 dans les équations (/) et (m); la dernière, dont nous aurons seulement besoin, deviendra

y Va* V/a

elle appartient, comme on a vu ^ aux points de la surface pour les» quels t est très grand par rapport à a, et ou, cependant, le plan tan* gent est très peu incliné. A l'égard des points situés entre ceux-d et

aaa NOUVELLE THÉORIE

le tnbe, on emçikâten. Véqtuéâon (k), qui derModra

en âostnt commencer l'intégrale à 2 ss A , et oLeervant qu'on a

^ssso pour cette râleur de 2. Cette intégrale sera une quantité

très petitei que nous négligerons^ ainsi que le terme divisé par >% en int^prant c^te équation. On aura alors

Le radical est positif dans toute l'étendue de la surface ; on a donc z* < d^; on aura aussi

ift=;=

(€^—z*)dz

et comme d^ est de même signe que z , et que dt est positif ^ il faudra, par conséquent, regarder comme positif ce nouveau radical. En intégrant, il vient

/ étant le demî-dîamètre du tube, et c la valeur de z qui répond à tssil, laquelle sera de même signe que z. Pour les points dont 1 ordonnée z est très petite par rapport à a, cette équation donnera

z s: aflcV^a ^ «

en négligeant le carré de 3 , et faisant , pour abréger ,

r=zl + V^*~ Vaa' — c\

Cela posé , si Ton compare cette expression de s à la prttédente ,

appliquée aux points qui répondent à d«s yaleurs de < très peu différentes de / ou de /', on en conclura

,- - ''Va

aya+yzd' — c' a . /a ~X"

conséquent

A— 4N/>l/âcV/ ar -~'

U restera à déterminer la valeur de c. Or, si l'on appelle a> l'anele relatif a la matière du liquide et du tube, c'est^-dire l'angle compris entre les normales à leurs surfaces, obtus ou aigu, selon que le lil qnide séleye ou s'abaisse, on aura

smâ).

pour la valeur particulière i=:l,k laquelle cet angle répond En fai sant donc t==l et z^c dans l'équation (y), il en rwultera

i — •:3 = sm « — I — y

en continuant de négliger h% à cause de son diviseur y\ On néeli géra aussi la partie de cette intégrale qui répond aux point» où U plan tangent est très peu incliné; dai..s l'aiHre partie, on fera simplement tzssl' ; et comme on a

lit

./♦7 rr* ^ 9

il en résultera

dz ,

!ia4 NOUVELLE 1«É(MUE

en n^ligeant A*. On aura donc

et eil ikî^ant

el négligeant les termes divisés par /% ob en déduit

o==ra\/5sîne4-377|^Ô-c«'fl). (0

Cette valeur de c sera de même signe que 6, cVat-è-^ine poaH^ négative^ selon que ai sera obtus ou aigu. Soti pNoner lerme cide, comme cela doit être, avec rélcvatk^n du liquide le long d'un plan vertical, qui a été désigné par / dans le n* gi. H saflbm de le .«substituer dans l'expression de h^ qui deviendra

FV^'.