I -♦- oo
«M ion aura y en même temps,
r= / + (i — €06 d; a yi- (i 1 1). Dans le cas du mercure et d*un tuK: de verre » on aui»
9 = — 32» i5\ a«s a~,5«46, r'i la tbrmule (r), réduite à sou premi^ tamae, donnera
Abstraction faite du signe, ce sera k hauteur de la partie sensible* ment plane du mercure contenu dans un voae cylindrique et vei^ lical, d'un diamètre extrêmement grand par ra{^>0fC à a, au-deasw 'le rintersection de sa surface avec la paroi du vase. M. Gaj-Lwnc I trouvé i'',4^5 pour cette hauteur j la petite diflTérenoe 0^^1087 peut Atre due, en partie, au second terme de la formule (r) qmê nous avons négligé, &ute de connaître le diamètre du vaM, ou la valeur de iL
Dans le cas d'un tube préalablement «oiiilté par le liquide qu'il
DE L'ACTION CAPILLAIRE. laS
contient, on aura
a» = i8o», fl = 45»,
et ia formule (r) deviendra
c = rt + g(a V/â — i) j.
Elle exprimera la hauteur à laquelle le Ijiquide s'élève , au-dessus de
son niveau naturel , le long des parois verticales d'un tube ou d'un
vase dont le demi-diamètre est supposé très grand par rapport à a. Si
le liquide déborde le vase, Cette valeVir de c exprimera atissî la plus
grande hauteur a laquelle le liquide, pourra s^élever au-dessus du
bord supérieur^ en prenant pour l le rayon de la surface extérieure
du vase. Comme l'exponentielle contenue dans la formule {s) décroît
beaucoup plus rapidement que le second terMé de la formule (r) , à
mesure que l augmente de plus en plus^ ^I en i^ulteque la courbure
du vase peut encore influer sensiblement sur l'élévation du liquide
près de sa parai , et n'avoîf plus aucaiie influence appréciable sur la
partie centrale dii liquide. Dans le cas de l'eau ^ la valeur précédente
de Cy. réduite à som premier terme, s'élève à près de 4 millimètres.
Pour comparer la formulé (tf) à l'observation, je prends la hauteur
de l'alcohol dans un tube mouillé de ce liquide et dont le rayon
était
/ sz= 5— ,254.
A la tempéi*ature de lô"", et la densité du liquide étant 0|8 13467 d« celle de l'eau , M. Gay-Lussac a trouvé
pour l'élévation du point le plus bas au-dessus du niveau extérieur» Or, dans un tube capillaire préalablement humecté, et dont le rayon est o°"",6472 » M. Gay-Lussac a aussi trouvé que le même alcohol s'élève à une hauteur de 9"''",i8u3. En mettant c^ valeurs k.la place de a et A d&ns la formule du'u^ 56^ on en conclut
pour la constante relative à Cet alcohol. Je substitue cette valeur et
^jS .nouvelle THEORIE
celle de l dans la formule (s); jy fais en même temps
sifi • 5= cos 6 =s -T^ y
il en résulte d'abord
et ensuite
ce qui ne diffère pas de l'observation de o"",oi.
(112}. Maintenant^ supposons, comme dans le n^ 8^^ qu'un disque circulaire horizontal et suspendu an plateau d'une balance, soit d'abord mis en contact avec un liquide , et qu'on le soulève ensuite graduellement^ en augmentant, par de petites parties, le poids placé dans l'autre plateau. Le liquide Vélèvera en même temps^ jusqu'à une cer^ taine hauteur, pour laquelle il se détachera du disque, et reprendra son niveau naturel. Désignons par A Texcès du poids [daeé dans le second plateau, sur le poids au disque, quand la base du disque est à une hauteur k au-dessus du ni^reaii du liquide. Si le disque n'est aucunement plongé dans le liquida^ et que leur surface de contact soit la base entière du disque, nous aurons, d'après l'équation (8) du numéro cité,
A = TFgfkr^ — ^gfra^ cos (î + ^) i (i)
r étant le rayon du disque, Trgfh* le poids d'un cylindre du liquide qui a pour base celle du disque et k pour hauteur , a^ la constante relative à la matière du liquide, et (» l'angle donné qui dépend de celte matière et de celle du disque. Quant à l'angle 1, il exprime l'inclinaison sur un plan horizontal de la normale OK (fig. ai), à la surface DOB de l'arête vive qui termine la base du disque , la* quelle normale est menée de deh€irs en dedans du disque par un point Q du contour supérieur du liquide. Il est le même pour tous les points de ce contour ; mais quoique la courbe DOB soit extrêmement petite, et que le rayon r du point puisse être regardé comme constant dans toute l^étendue dé DOB, cependant, l'angle 1 varie depuis zéro jusqu'à 90^, avec la position du point sur cette cotirbe : il est zéro, lorsque le point atteint ou surpasse son ex«
trémité supérieure D , c'est-à-dire lorsque le liquide s'étend jusqu'à la partie cylindrique et yerticale de la surfece du disque ; ît est un angle droit, quand le point coïncide aycc rextrémité inférieure B de iârètc yive, on bien encore , si le liquide se terininait à la base du disque', en-deçà de sa circonférence , auquel cas le rayon r pourrait avoii* une grandeur quelconque, moindre que le rayon de cette circonférence. L'angle eo, au contraire, ne variera pas avec la position de ; ce sera l'angle KON , en supposant que ON soit la normale extérieure à la surface latérale AO du liquide ; il pourra être aigu ou obtus, selon la matière do liquide et du disque : on aura toujours û)=:9r, quand le disque aura été préalablement mouillé par le liquide.
La surface latérale du liquide sera une surface de révolution , asymptotique de soa niveau naturel FG , et ayant pour axe la verticale CH menée ftuf le centre C de la base du disque. Si Tangle a> est aigu , comme dans le x:as du meraire et d'un disque de verre , le liquide sera connexe, tent qu'il s'élèvera au-dessus du point D de l'arête vive. Dès qu'en soulevant le disque cette arête atteindra la surface du liquide, l'angfe cû-^i augmentant, la convexité du liquide diminuera de plus en plus ; sa surface sera plane et la même que son niveau naturel , lorsque i-^ eo sera un angle droit , ou 1 complément de ». Le disque continuant de s'élever, et l'angle / d'augmenter, le liquide deviendra concave, et sa concavité augmentera de plus en plus, jusqu'à ce que le point B de l'arête vive ait atteint la surface latérale du liquide , et que i soit devenu un angle droit. Cette surface, dans le cas de m aigu, tournera sa convexité ou sa concavité par en haut, dans toute son étendue, et son rayon croîtra continuellenient depuis ht base du disque jusqu'au niveau du liquide. Dans le cas de â» obtus, le liquide sera toujours concave; la courbe OA tournera sa concavité par en haut, et son rayon croîtra depuis le disque jusqu'au niveau du liquide, tant que le liquide sera aurde^sus de l'extrémité supérieure D de l'arête vive ; il en sera en-^ core de même lorsqu'en soulevant le disque, Farète vive aura atteint la surface du liquide , et que cependant £ -|- a> sera moindre que 9r ; mais dès que 1 + ^ aura dépassé deux angles droits, il se formera un rétrécissement de la surface latérale du liquide. La courbe OA tour-
aaS NOUVELLE THÉORIE
oera sa concavité par en bas^ depuis son extrémité supérieure jusqu'en un certain point M, et par en haut, depuis M jusqu'au niveau du liquide ; et le plus petit rayon de cette surface aura lieu au point M.
Cela posé 5 il s'agira de déterminer , pour un angle donné i, la valeur de A: , et par suite celle du poids A dont le maximum répondra à l'instant où le liquide se détachera du disque.
(il 3). Pour celà^ reprenoas Téquation de la surface capillaire de révolution^ ou de sa génératrice^ savoir :
dans laquelle t exprimera la distance d'un point quelconque de la courbe AO k l'axe CH^ et z la distance de ce même point au plan F6, positive ou négative , selon que la courbe AO sera située au-dessus ou au-dessous de ce plan. D'après la règle suivant laquelle on doit déterminer le signe du radical v/ < + -^ (q* 49) 9 ^ ^^^ positif dans toute
l'étendue de cette courbe, excepté depuis jusqu'à M, quand œ point M existera, ou, autrement dit, il sera constamment de signe contraire a dt, en regardant dz comme étant de même signe que z. Au point 0, qui répond a t=:r et zssk, on aura, en outre p
= = sin(i-f- â>), — ==== = C08(î+ûi);
par conséquent, l'équation (a) pourra être remplacée par l'une ou l'antre de celles-ci :
V' + Te
sin (i
DE L'ACTION CAFILLAIRE* aag
en supposant que les intégrales contenuiQS'cbintflettiis iseoonds membres s'évanouissent quand 2 = A; ou ^ = r.
Je supposerai que le rayon r du disque soit très grand par rapport à la constante a relative à la matière du liquide; U variable t.sera aussi très grande; et, cela étante je ferai usage de la première équation. (5). Si IW y feit
et si Ton obse 'e qu'on a en même tenips ^ =;: 00^^. s s= o^ ^ =c o , il ea résultera
pour l'équation d'où dépendra la valeur de k.
Dans une première approximation , je néglige son second membre et celui de la première équation (5). En retranchant l'une de l'autre^ on aura
d'où Ton tire
de
en regardant le radical Sj^af' — z* comme une quantité positive. La valeur de t qui résultera de l'intégration pourra s'écrire ainsi :
en fiûsant; pour abréger ,
et observant que ^s=sr quand zzsk.
^5o NOUVELLE THÉORIE
Oo aiira, €n même temps ,
Le mâ^âmbn de^ cette quantité répondra k i:=^vr et sera égal à
a V^ ^^ -cà. he point M repondant à ^ = oo , a sera son ordonnée. Pour que ce point existe^ il suffira, et il sera nécessaire qu'elle soit moindre que la valeur de A: ; ce qui aura lieu lorsque l'angle ea sera obtus , ainsi que nous, lavons dit précédemment. En appelant J' la distance du point M à la base du disque , quand elle est le plus élevée y on aura
J'ssaC ^2 sin- eê — i\
Soit aussi r <•— r^ sa distance à''raxe CH^ ou la valeur de t qui ré* pond a 2 SB a et k^^as/^sin^iù; il en résultera
/ y- 1 \ fl (l+|/î)sini# /=:a(^l— X/aCOS-OP^—— log • ,
pour le rétrécissement du liquide au point M. Lorsque le disque a été préalablement mouillé par le liquide , on a o^ s= Tr , et simplement
cr = a(v^— i), /^ = a— ^log(i-l-v^â).
S'il s'agit de l'eau, par exemple, ces quantités seront
d'après la valeur de a du n"". 56.
Ces expressions de k, J'f r^, sont celles qui auraient lieu à la limite où le rayon r du disque serait considéré comme mfini ; mais pour comparer la formule (i) k l'expérience, il sera nécessaire d'y« substituer une valeur plus approchée de k.
(ii4)- En retranchant Téqùation (4) de la première équation (3),
DE L'ACTION CAPILLAmE. ^ii
nous aurons, dans une secofide approximation ,
l'intégrale commençant avec z. En négligeant son carré, on déduira de cette équation
