cot

En appelant Z l'intégrale double relative à z et z', nous aurons donc

= f^^'jr'^<Pr''^d2dz'.

Soit 9>r la même fonction que dans le n^ 9 , de sorte qu'on ait

il en résultera

en supposant

et observant qu'on peitt remplacer la limite z = / -|- 8m par l'inHni dans la seconde intégrale. Si nous faisons , dans la première ,

les limites relatives à ^ seront jr — 0m' et — 8 (m -{- u!). On remplacera la première limite par ^ =5 oo , à cause que ^ — 6m' a une valeur sensible pour toutes les valeurs insensibles de m', lesquelles sont les qui ne rendent pas r' sensible ; on aura donc

en employant la lettre C aa lien de Zp dans la seconde intégrale p ce qui change r. en r^^ et réduisant ensuite les deux intégrales a nne seolei etsironaset — (tt+i/)Çet--(«-f-i/)d2[ kla placede Ç et d^p aa ^n conclura

Il sera permis maintenant d'étendre les int^p:tdes relatives à u et k 1^ depuis zéro jusqu'à l'infini ; celle qui répond k x aura pour limites db oo , on seulement ârs=oetâ;=ao,en doublant le résultat. Nous aurons donc

S(Mt encore « comme dans le n* 9,

il en résultera et par conséquent

à cause que #^ r^ s'évanouit à la limite u'as oo . Si donc nous mettons ocu et xdu au lieu de v et ^if ^ et si nous employons r au lieu de r^9 nous aurons

Cette dernière équation donne

__t. . rdr

d'où l'on conclut

c'est-à-dire ^

en effectuant rintégration relative à u^ et ensuite celle qui répond a ^. D'après cette réduction de Tintégrale relative à Zpz\ u, i/, oc^ et <>n mettant pour ft sa valeur '— cot âi , l'expression de Q deviendra

/flO

En intégrant par partie , il vient

d'où Ton conclut (n* 16)

Q = — qfcMùcds. (10)

Cette intégrale relative à ds devra attendre au contour entier de la base de D* Or , je dis qu'il y fendra considérer cos <» comme une ^piantité constaate» En effet, si l'on mène par les extrémités de ds deux plansi perpendiculaires à cet élément ^ — ,f cos ecds sera la partie de Q qui agira sur le segment de € compris entre cesi deux pfena;^ Faction verticale du surplus de C sur ce segment se composera de forces qui se détruirout deux à deux ; on pourra négliger le poids de ce segment par rapport à la fwee — q cos (»ds, qui devra alors faire équilibre aux parties des foraes^Q" et P qui agissent sur ce même segment, lesquelles forces ne varient pas en passant du point K à un autre point du contour de D ; il faudra donc queco^a» ne varie pas non plus ; et oda tient k ce que les quantités dépendantes de la courbure du tube, qui changent d'un point à un autre quand la base n'est pas circulaire , disparaissent de Texpression des forces que nous considérons, ainsi qu'on Fa vu dans le n* i5, à r^[ard d'une autre force R de la même nature. En appel&nt donc c le contour entier de la base dé D ,. nous aurons enfin

Qss—- cycos m,

pour la valeur de Q qu'il s'agissait de calculer.

44 NOUVELLE TBÉOIUE

(19). Cette force étant épie a A d'aptes le n* 17, 3 ^ndia qa*oii ait

A s= — C} 00a ai.

Eo Terln de l'équation (8), dans laqodle e est sensiblement le même que dans oelle-d , on anra donc anssi

q — ^ =s ^ oos m. (i i)

Laplaoe est panrenn à cette éqnation par la comparaison de deux méthodes différentes ; ce qui laissait à désirer nn moyen {Jus direct de l'obtenir; mais il ne faot pas oublier qne le premier membre est en erreur , parce qu'on a négligé la comp re ss ion du liquide près du tube, et le coefficient de cos a dans le second, parce qii'on n'a pas tenu compte de la yariation de la densité près de la surface libre. En s'arrètant à la formule (10) , cette expnaàoa de Q et l'équation Q 2= A du n"" 17, auront encore lieu, lors même que la partie D du liquide sera terminée par une surfiice cylindrique quelconque qui ne sera ni parallèle à la paroi du tube, ni k une distance insensible de cette paroi , pourvu qu'elle soit verticale. Quand la valeur de cos oà sera donnée en fonction de ^ , d'après la courbe d'intersection de cette »Haoe et de celle qui termine le liquide, l'équation (10) fera connaître la valeur de Q , on du poids A du liquide soulevé ou abaissé par Faction capillaire et contenu dans D. Or , si la paroi cylindrique du lobe est à base circulaire , il est évident que la surface supérieure du liquide sera une sur&ce de révolution qui aura pour axe celui de la paroi. Si de plus D est terminé par une sur&oe cylindrique ayant le même axe et dont nous représenterons le rayon par x, rintersection de ces deux surfaces sera un cercle , et cos cê ne variera pas d'on point à un autre de cette courbe ; sa longueur étant arwx,

on aura donc

A = — 27Cxqcosù0 , (12)

en vertu de la formule (lo).

G>mme cette équation aura lieu pour un point quelconque de la courbe AOB, dont la distance à l'axe de révolution est jt , on en pourra déduire 1 équation de cette courbe , ou de la surface du li* qui de dont elle est b génératrice; et Ton y parvient, en effet, en la

différentiant par rapport à ocr. On a évidemment

dL =;= XTTfgzxdx p

en appelant z l'ordonnée dn point , rapportée an nivean dn liquide en-dehors du tube. La différentielle dro est Fangle de contingence de la courbe AOB au point ; si Ton appelle X son rayon de courbure au même points on aura donc

dm =:^ ^dx^ + dz^; on aura , en outre ;

sin €û S/da^ -|- dz^ z:^dx\

et en différentiant l'équation (i 2) et divisant par 27rxdx^ il en résultera

Soit A^ le second rayon de courbure principal de la surface de révolution an point ; sa valeur sera

on aura donc

ce qu' s'accorde avec l'équation (4) 9 à cause de 9 = - H , et peut

servir de vérification à l'analyse du numéro précédent.

(20) • Nous terminerons ce chapitre , en faisant remarquer que la compression de la couche liquide en contact avec le tube met aussi en défaut la proposition de Clairaut, suivant laquelle le liquide i^este horizontal dans un tube vertical, lorsqu'à distance égale. Faction de la matière du tube sur celle du liquide est double de Faction du liquide sur lui-même*

En effet , supposons , pour un moment , que la surface supérieure du liquide soit horizontale; représentons-la ps^CÂF (fîg. 7), et par DAE celle du tube qui lui est perpendiculaire; soit M un point de la première surface , situé à une distance insensible MA de la seconde ; prenons MB s= MA ^ et tirons les verticales MM^ et BB'.

Dans le cm de llnoomprembilitë da liquide , les actions horizontales et contraires, exercées sur le point M[» psr les paities de ce liquide qui répondent k EAMM' et M^MIBB' , seront égales et se détruiront par conséquent. Les actions horisontales des parties du tube qui ré* pondent à CAD et CAE sur le point M sont égales entre elles ; et , par hypodièse^ chacune âe ces forces est égale à la moitié de Faction horisontale exercée sur ce même point par la partie du liquide qui répond à B'BF. Cette dernière force sera donc aussi détruite par les actions réunies des deux parties ddf tube ; donc toutes les forces hori- Eontales qui agissent à chaque point M de la surface du liquide , se détruisant réciproquement , Th^riaontaliié subsistera dans l'état d'équilibre. Mais il est évident qu'il n'en sera plus de même, ti Ton a égard à la compression du Uquide près de la paroi du tube ; car alors les actions contraires des deux parties EÂMM' et M'MBB' ne seront jJus égales entre elles; ce qui. suffit pour que la démonstration précédente n'ait pas lieu. Ou voit d'ailleurs que l'action exercée sur un point donné j par une partie infiniment petite du liquide p variant avec le degré de compression, elle ne peut pas conserver un rapport constant, à égalité de distance et de volume^ «reci'action d'une partie du tnhe sur le mènae point, et que celle-ci ne saurait être moitié de );' première , ainsi qu'on l'a supposé.

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