I» NOUVELLE THÉORIE
des intégrations , sauf la partie de N qui ne dépend pas de la courbure de B , et que nous représenterons , comme il a été dit précédemment (n^ iS), par une inconnue p, de sorte qu'en appelant N' l'autre partie , ' ou ait
pour la valeur complète de N.
Il est à propos d'observer que, dans l'intérieur du liquide , l'action d'une partie A sur un filet cylindrique et normal compris dans la partie adjacente B, différerait, en grandeur et en direction, de la force que nous venons de définir ; et que si on la prenait pour la pression sur B*, ce qtii paraîtrait plus simple, les pressions relatives à toute l'étendae de la surface de séparation de A et B ne représenteraient pas Faction totale de A sur B , parce qu'on ne peut pas décomposer la masse entière de B en filets cylindriques perpendiculaires à cette surface.
(22). Soit m un point de C, et m' un point de A, l'un et l'autre compris dans la sphère d'activifé de M. Désignons par ^ et / les perpendiculaires abaissées de m et m! sur la surface de A , et par c/ l'élément de cette surface qui répond au filet fluide dont m' fait partie. Soient aussi (t + fc/') â»' et (i — ks) t»les aires des sections de ce filet et de C, faites par les points mf et m, et parallèles i leurs bases cê'et cù; le coefiicient k dépendant de la courbure de A au point M, et étant le même pour les deux filets, en négligeant les quantité du second ordre, par rapport k leur distance mutuelle et aux variables s et s\ Les élémens de volume qui répondent aux points m et m!
seront
(i — ks)€^, (i +fo')«W,
et leur action mutuelle pourra être représentée par le produit
\(i^ks)(i + k/)e»CÈ'dsds'}
y étant la mesure de l'action moléculaire rapportée aux unités de volume et relative k la distance Tiim', que nous représenterons par r^. Pour se former une idée précise de cette quantité V, il faut prendre autour des points m et m\ des volumes v et s/ dont les dimensions soient insensibles, eu égard même au rayon d'activité des molécules.
«t qui en comprennent néanmoins nn nombre extrêmement grand. L'action mntnelle de ces deux parties du liquide , provenant de la matière et de la chaleur qu'elles renferment , aura pour expression V(V, en sorte que Y sera le rapport de cette force au produit des deux Tolnmes. Cela étant, Y dépendra de la liistance r^^ de la na^ tnre des molécules contenues dans 9 et p', de leur quantité de cha^ leur propre et de leur nombre ; ce sera donc une fonction de r^ insensible pour toute valeur sensible de /, mais qui renfermera en outre les coordonnées de m et ni.
D'après cda^ représentons par or, j^i z, lés trois cpordonnées rectangulaires de M, et supposons les axes des x ^ j parallèles au plan tangent à B, mené par le point M^ et Taxe des z parallèle è la normale au même point. Les coordonnées de m seront x , Xf z -f- ^ » relativement aux mêmes axes ; celles de m' pourront être représentées par ^-f^ar', y 4-7^j » + «^ ; on aura
et ensuite
Cette force V devant dépendre de la même manière ^ de la nature du liquide autour de chacun des deux points m et m\ il faudra que la fonction /soit sjrmétriqoe par rapport à or et x -f- ar', à ^ et j^+j', «z*f-^^^*f*^«De pluB^ U natui^ du liquide , sa quantité de chaleur et sa condensation intérieure ne variant que par degrés in* sensibles, on potam développer cette fonction en série très convergente, suivant les puissances et les produits des variables s^ x\y^ iy qu'elle contient en-dehors de r^, et qui ne peuvent être que de très petites quantités. A cause de la symétrie de J\ on aura
pour j/sso, j^sso, s^sso, jsso, et en ne fidsant pas varier /. Si donc on désigne par R' une fonction de /, x , j' , 2 , et qu'on néglige les termes du second ordre par rapport à xf^ x\ z\ s , on aura
* a ax ' 9 qir ' a a»
5o NOUVELLE THÉORIE
Représentons par u la perpendiculaire mbaisaee de cê' sur la normale en M à la surface de A ^ et par l'angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan fixe^ passant par la seconde. La projection de û^^sur le plan tangent en M pourra s'exprimer par ududhi et cette projection, au degré d'approximation où nous nous arrêtons, pouirant être prise pour laive de eu', nous aurons
Ci) s=s udud^.
Soient enfin «t, f , ^, les cosinus des angles que fait la droite m!m, prolongée au-»delà dé m, avec des parallèles aux axes des x, y^ z, menées par ce point. Si l'on suppose les axes des x et des j- parallèles aux directions des forces tangentielles T et T', et que Ton regarde la force V comme positive ou comme négative , selon qu'elle sera répul* sive ou attractive, on aura
Tz=zff/pf[i^k(s'^s)]Ci4dudsd/d&A (i) îi ^/f/pr[i + kls'^s)]yududsds'dd, )
en négligeant le produit ss\ Les limites de l'intégrale relative à l'angle 9 seront zéro et ^^r ; on pourra étendre lés autres int^rales depuis zéro jusqu'à l'infini, parce que toute valeur seoaible de l'une des trois variable u, s, s', rendra r^ sensible, et, par conséquent , V insensible. Les valeurs de et, €, y, qu'on emploiera dans ces formules seront
(23). Pour effectuer, autant qu'il sera posi^le, les intégrations indiquées, appelons Ç la perpendiculaire abaissée de têf ftur le plan tangent en M, et considérons cette quantité comme positive on comme négative , selon que la partie A du liquide sera concave ou convexe au point M. Soient y\ et n' les coordonnées du pied de cette perpendiculaire , rapportées à des axes menés par le point M parallèlement à ceux des x et des jr. En négligeant les ternies du troisième ordre par rapport ki/\ eX yf, nous aurons
DE V&Ctim GAFIËLAIRE. 5i
Qf 0^9 Q^'f étSLUt des coeffici^ns indépeiDclaiis de ces denx variables* Au méine degré d'approximation j et d*apres la manière dont nous déterminons le signe de Ç^âoii»^ aurons aussi
On a d'ailleurs
nssiicos^. n'csMsinfi.
en comptant Tangle 8 à partir de Taxe des n* Si Ton fait, pour abréger,
et si l'on observé que
on en conclura
/=rH.(,'~,)?, K=:K + (/^s)l§
en appelant R ce que devient R', quand on y met r au lieu de f^. On a enfin
A et A' étant les rayons de courbure principaux de la surfaice de A, dont chacun devra être regardé comme positif ou comme négatif, seloB que la ligne de courbure à laquelle il appartient tournera sa concavité ou sa eoov^té en - dehors de A : il est évident , en eff^t^ que cela eésolte du signe de Ç que stq>posent les expressions de x', y, z^*
Gela ytméf je sdMitve ces différentes valeun et celle de Y dans les équations (i) ; j'effectue les intégrations Mlatives à l'angle » puis je supprime la partie de N indépendante de la courbure de B, afin de réduire N à N', ainsi qu'il a élé dit plus haut; il vient
5? NOUVEU.E THÉORIE
en négligeant toujours les quantités du troisième ordre, par rapport au, s, /.La valeur de N' devrait renfermer d'autres termes du deuxième ordre , que Ton n'a cependant point écrit, parce qu'ik contenaient le facteur s^ — s^^ sous les signes f, et que, pour cette raison , les intégrations relatives à ,r et / les fement disparaître. Si nous* faisons , pour abréger ,
et que nous transportions en-dehors des signes /V les différentia* tions relatives k x et f dans les valeurs de T et T', elles devien<dront simplement
En ajoutant Finconnue p à k valeur de N', pour fbrmeF celle de N , on aura en même temps
Dans les usages qu'on fera de ces formules^ on ne devra pas perdre de vue qu'elles exigent que la surface de B ne présente ni pointe ni arête vive près du point M , afin que la valeur de Ç , es fonction de fi et Tiff puisse se développer en série convergente , suivant les puissances et les produits de n et )t^, et qu'il soit permis de réduire celte série ^ comme nous l'avons £siit, k ses termes du second ordre. Si cette condition n'était pas remplie, notre analyse serait en dé&ut , et ces expressions de T, T', N, n'auraient plus lieu.
(34)* Afin de réduire q k une intégrale simfde , j'y mets d'abord us, us'f udsp ud/, k la plarâ de s, /, ds, ds'} il «n
r* =3 II» [1 H- (j 4- y)'].
Cette seconde équation donne
on a donc c'est-à-dire
en effectuant ftoooettiyeiiieDt les intégrations relatives ksets' par les règlea (Mrdinaires , ou hien en mettant d'abord s/ et sds^ à la place de y et ds^f puis intégrant par rapport à /, et ensuite par rapport k s.
Dans les liquides hétérogènes, cette quantité q variera d'un point à un autre, et devra dtre donnée en fonction des coordonnées du point auquel elle répond ; dans un liquide homogène et à très peu près incomjR^ssible, on pourra la considérer comme constante, ainsi que la densité.
{25). Si la partie  du liquide enveloppe B de toutes parts, il faudra que les pressions résultantes de l'action de A sur toute l'étendue de B &ssent équilibre au poids de B et aux autres forces données qui agissent sur sa masse. Or, dans le Mémoire déjà cité (n* 12), j'ai dé«montré que les forces tangentielles T et T' et la partie M' de la force normale , appliquées à tous les points de la surface quelconque de B , se détruisent d'elles-mêmes; et en prenant pour B une sphère d'un très petit rayon, j'ai aussi fait voir comment la considération de l'équilibre des forces données et de la pression normale et inconnue p^ conduit aux équations connues de l'Hydrostatique» Ces équations déterminent, comme on sait, la valeur de p relative k un point quelconque de l'intérieur du liquide, en fonction de ses coordonnées x , /, z, d'après les forces données qui agissent en ce point. Si ces forces se réduisent à la pesanteur, et qu'il s'agisse d'un liquide homogène , lexpression de p est simplement
en prenant les z positives, verticales et en sens contraire de la pesan-
te*.
54 NOUVELLE "KlÉOmE
teur, désignant pir p la densité du liquide y fotnf^ la «pesMitear^ et paur c une ooDstante arbitraire»
Suj^KMons qu'on ait -j^fkmgé dans ç^ fiqufde un tube quelconque, et qu'ensuite Ott ait versé au-dessus de ce liquide , dans Tintérieur du tube , un aiitre' liquide homogène , dont nous représenterons la densité par p^ La valeur de p aura lieu pour m point quelconque M du premier liquide situé en-dehors ou en-dedans du tube, mais un tant soit peu éloigné de ses parois et de la surface de séparation des deux liquides. En désignant par/?' et 2^ ce que deviennent p et z relativement à \im |N»nt M' du second liquide ,mtué k une distance seiïsible de ses deux sur&ces supérieure et infôrieure^ et des parois du tube, on aum
(/ étant une constante arbitraire différente de e.
Pour détenninw c, plaçons le p(Mnt M en-dehors du tube, à une distance insensible de Ut surface du liquide, qui surpasse néanmoins le rayon d'activité moléculaire , afin que l'expression de p soit applicable. Suppotoos en outre le point M assez éloigné du tube pour qu'en cette partie^ la suç£aice libre du liquide soit sensiblement {danc et horizontale. Par le point M, menons un plan horizontal ; pai ce plan, élevons un cylindre vertical, qui sera terminé par la sur&ce hmizontale du Ûquide , que nous appellerons C , «t dont la base , comprenant le point M , sera représentée par m. Le produit pcà exprimera l'action du liquide inférieur sur C, laquelle force sera verticale et dirigée de bas en haut ; et en même temps , C sera poussé en «eus contraire par une force IIa^ , en désignant par II la presrion atmosphérique rapportée à Tunité de surface. De plus, quelle que soit la variation de la densité suivant l'épaisseur de la couiàie superficielle dont C fiiit partie ^ l'action de cette coudie eur C consntera mi des forces qui seront deux à deux égalas et contraires, et se réduira coaséquemment à ^ro. Si doac on oblige le poids de C ccmune insensible, il faudra, pour féquilibre de cette petite partie dta liquide, que les forces contraires pcà et IIa^ soient égÊÏes , ou qu'on ait /»s=n. D'un autre côté, si nous prenons le niveau du liquide ennlefaofs du tube , pour le plan des x et j^, nous aurons
s e=: o et p =: c pour la position du point M qu'on vient de $ap^ poser; nous aurons donc c==n, et par conséquent
psssTl — pgz,
pour tous les points intérieurs du premier liquide compris en*<[ehors pu en»dedans du tube.
La variable z sera positive pour les points situa au-dessus du niveau de ce liquide^ et négative pour les points situés au-^essous« Nous supposerons que la pression atmosphérique a aussi lieu, dans ri Intérieur du tube, sur la sur&ce du second liquide, et nous compterons les ordonnées z' à partir du même plan horizontal et dans le même sens que les ordonnées z; mais noua ne pojirrons pas encore c etermmer la constante c' que renferme rexpression de p', et dont la aleur dépendra de cette pression et du poids du liquide supérieur. ^26;. Près de la surlace de séparation de deux liquides superposés, la condensation varie très rapidement , en sorte que la densité de haque liquide peut être très différente k la surface même et à une profondeur insensible. La loi de cette variation est inconnue , comme celle de l'action moléculaire , de laquelle elle dépend j mais cela n'empêche pas qu'on ne puisse former ks équations d'équilibre relatives à la couche d'une épaisseur insensible, appartenant , en partie, à chacun des deux liquides, et qu'on n'en déduise l'équation de leur surface de séparation, dont la détermination est l'objet principal de ce chapitre. Pour cela , transportais le point M très près de la surface de contact AOB ( fig, 8) des deux liquides contenus dans le tube que .pOtts considérons. Du point M , abaissons sur cette surface une perpendiculaire qui la rencontre en un point , et se prolonge jusqu'au point M' du second fluide, aussi très rapproché de AOR Divisons cette surfa<::e en élémens infiniment petits, terminés par ses deux séries de lignes de courbure ; par tous leurs points , élevons des normales qui formeront des surfaces dévdloppables, par lesquelles les deux liquides superposés se trouveront décomposés en filets d'une épaisseur infîninent petite et variable. Par les points M et RT, traçons deux surfiices CMD et CMl)', qui coupent aussi à angles droits toutes les normales à la siirface AOB. Appelons A le liquide terminé par CMD , A' celui qui a pour limite CMD', B la couche liquide
comprise entre ces deux surfaces, C le filet MOM' de B , oi et 1/ les bases ou les sections normales de ce filet qnî répondent aox points M et if. Qnoiqne les distances MO et M'O de ces deux points à la snrfaoe AOB soient insensibles , on pourra cependant les supposer assez grandes pour que les actions de A et A' sur € ne s'étendent pas jusqu'aux points où les condensations des deux liquides Tarient très rapidement; c'est-à-dire qu'on pourra considérer M et M' comme des points intérieurs de ces deux liquides , et déterminer , en conséquence, les actions totales de A et A' sur C par les fonnules du n* ^5» Alors , les composantes de l'action de A seront
la première étant nomale et dirigée de M vers M', et les deux autres tangentes à la surface CMD. En désignant par ^ ce que devient la quantité q relativement au liquide supérieur, et observant que les courbures de A et A' sont sensiblement ^ales , mais tournées en sens contraires , on aura
pour les composantes de l'action de A' sur C ; la première dirigée de M' vers M, ou en sens contraire de la force normale précédente, et les dernières parallèles aux deux autres fi>rces. Les coordonnées x et jr sont parallèles au plan tangent en M à la sur&oe CBfD, et par conséquent les mêmes pour les deux points M et AT; les quantités p et p' sont déterminées par le numéro précédent. Nous représenterons, en outre, par Fâ», Q«, Q'ûi, les composantes de l'action exercée par la couche B sur le filet C qui en fait partie ; la première de ces forces étant normale et dirigée de M vers M', et les deux dernières parallèles aux axes des x et des jr, comme les autres forces taugentiêlles.
On pourra négliger le poids de C par rapport à ces différentes forces 9 à cause que sa longueur BIM' est insensible , et regarder , pai* la même raison, le rapport de fi/ à û» comme égal à l'unité. Cela posé, pour l'équilibre de C, il fluidra que la sonmie des forces précédentes soit nulle, suivant chaque direction, ce qui donne les trois
DE FACTION CARLIÂmE. 5?
équations :
Q'^.lC^^p, ^ (5)
P+z^^p' + Cf + fOd+y)»©. J
U ne restera donc plus qu'à dëtormiiier les valeurs de T, Q^ Q', par un calcul analogue k cdui des n~ 22 et 2S , que nous allons exposer 3U0cinctettient«
(27). Soit m un point de G, et m, un poibt de B. Désignons par s et ^1 les perpendiculaires Mm et Mi^i , a^issëes de ces deux points sur la surface CMD. Ces deux droites tombant d'un même c6të de cette sur&ce , tandis que dans les numéros citétf les perpeiidieulaires s et s', dmssées des peiuta ^ et n^, tomlMdent de deux côtés dîfferens y il £iudra d'abord changer is' ta ^^ s^ dans les formules de ces numéros. De plus, a Fou décompose B en couches infiniment minces , qui coupent à angle droit les normales k la sur&ce AOB , la condensation du liquide yariera par degrés ilisensibles, dans toute l'étendue de chacune de ces couches ; mais , d'une couche k une autre, elle yariera très rapidement, comme il a été dit plus haut. D s'ensuit que, relativement aux perpendiculaires s et s,, la' fonc* tion qui exprime la loi de l'action moléculaire variera auasi très rapidement, et ne pourra j^lus se réduire en série Convergente ordonnée suivant lemrs puissances et leurs produits. Toutefois , cette foncdon sera tioujouis symétrique par rapport à iT et i. ; les intégrales relatives à ces deux variables auront les mêmes limites zéro et /, en désignant par l Fépaisseur MM' de B; par conséquent, cette double intégration fera disparaître les termes qui auront pour facteur la difféi^nce s-^ s^$ et cela étant, au lieu des formules {2) , on trouvera sans difficulté celles-ci :
en ûtiflant, pour abréger,
58 NOUVELLE . TMÈOKIK
et (lésfgnant par R, une fonction de r, s, Si, qui deviendra insensible pour tonte valeur sensible de r.
Cette fonctiori R, variera aussi très rapidement avec s et avec ^, , et de la même manière par rapport à chacune de ces deux variables; elle ch'-'-'^tH de forme dans l'étendue dès intégrations relatives ksetk s^, selon qu'elle'proviendra de Faction du premier ou du second liquide sur lui-même y ou des molécules de l'un sur celles de Tautre. Ainsi, elle sera une certaine fonction S pour les valeurs de s et s^ , toutes deux moindres que MO ; une ^utre fonction S/ pour les valeurs de s ets, , toutes deux plus grandes que MO; et une troisième fonction S. , quand Tune des deun variables s etSi sera plus grande et l'autre plus petite que MO. Mais ces trois fonctions S, S', S, ^ nous étant inconnues , il faudra considérer ç, comme une quantité dépendante de la nature des deux liquides, dont la valeur ne pourrait être donnée que par Yex^ périence.
(38). L'épaisseur de B, quoique insensible, pouvant être néan-* moins plus ou moiK grande', on pourrait croire que l'intégrale représentée par fi change de valeur avec /, et, par suite, que les équations (5) dépendent de eette quantité arbitraire, ce qui serait absurde^ Mais il est facile de prouver que les variations dont la grandeur de Z esl susceptible n'influent pas sensiblement sur la valeur de 9,.
En effet, soit M'' un point de A' situé sur le prolongement de MM', et tel que M'M'' soit itisensiblev mais plus grand que le rayon> d'acti* vite moléculaire. Désignons M'M'' et MM" par 1 et 2^, en sorte qu'on ait Z' as /-f.<; à cause de la symétrie de R, par rapport à ^ et ^, ^ nous aurons
^ il il '^•-T-
Si nous faisons
DE L'AGTiDN CAPILLAIRE. Sg
H en resmtera
r*3= M* 4- (ar + xy ;
et d'après tfette valeur de i* et rbjf^odîèse du n® a6 , sur la grandeur de MM' ou l, les intégrales relatives sl x et œ^ ne comprendront pas les valeurs de R. qui varient très rapidement. On y pourra donc considérer la fbBCtioQ.R« 0Dtnme indépendante de x et de or, en^efaors de r ; on pourra aussi létendre ces intégrales depuis ^ = o et'x, = o jusqu'à xsss oo et ^|C= op : cela étant , oq aura
et ^ par le calcul du n* 114 1 oa réduira cette intégrale triple à une intégrale simple ; d'où il résultera
Soit encore nous aurons
et, dans ces intégrations^ nous pourrons considérer R, coiakîu. atkfonction indépendante de^ et y^ en-dehors de r. Alors, en désignant par R. une autre fonction de r, qui devienne aussi nulle pour toute valeur sensible de r^ et supposant qu'on ait
il s'enraivra
Go NOUVELLE THÉORIE
et n Ton intigre par partie, d'abord par rapport à ii » et ensuite par ra}^rt à ^, on en conclura
On aura donc
équation que Ton transformera, par l'analyse du n* 9, en celle-ci :
Cela posé, an moyen des éqpations (4)> (5) et (6), nous aurons finalement
la quantité r contenue dans les intégrales triples étant donnée par l'équation
comme dans l'expression de q^. Or, on voit par là que le changement de / en r ne fait varier l'intégrale représentée par q^ que d'une quantité insensible, ayant pour facteur c, et de l'oi^re de celles que nous ayons négligées dans les équations (3) ; ce qu'il s'agissait de vé-rifier. *
(29). Je substitue dans les deux premières équations (3), les valeurs trouvées pour Q et Q'; il vient
dx * djr ^
ce qui montre que dans l'état d'équilibre de deux liquides superposés, la quantité Ç + î'+Ji est constante dans toute l'étendue de leur surface de contact. Nous ferons
DE I/ACTION CAPILLAIRE, (Jr
et nous regarderons G comme une quantité dépendante de la ma-« tière et de la température de l'un et l'^^utre liq[uide ^ dont le signe et la yaleur numérique seront donnés dans chaque cas particulier.
Si l'on applique les valeurs de p e% p' du n^ a5 aux points M et M' de la figure 8^ on y pouvra faire z's= jz^ et considérer z comme l'ordonnée verticale du point quelconque de là surface de séparation des deux liquides. Siib^tufint ensuite ces valeurs et celle de P dans la troisième écpiatipn (5)j^ on aura
pour FéquAtion eommuoe à tous les points de cette surface qui ne sont pas compris dans la sphère d'activité du tube. On se souviendra que le plan ded a; et j^ est celui d^. niveau du liquide inférieur en-dehors du tuke f que Faxe des z positives est dirigé en sens contraire de la pesanteur , et que chacun des rayons de courbure A et K' est regardé comme positif ou comme négatif, selon qu'au point la ligne de courbure i laquelle il appartient tourne sa concavité ou sa convexité en -«dehors du liquide inférieur, ou, ce qui revient au même , en-<tedans du liquide supérieur^
D'après la théorie connue dc^ la courbure des surfaces , on aura alors
et pour déterminer le signe du dénominateur, qui est ambigu , on concevra, par le point dont les coordonnées sont x^jr^ z, une normale en - dehors du liquide inférieur et une verticale en sens contraire de la pesanteur : le dénominateur devra être positif ou négatif, selon que ces deux droites feront un angle aigu ou obtus. En
63 NOUVELLE THÉOftffi
substituant cette valeur de c: -f> v dans rëqnation précédente, on aura
rëquation de la sur&ce de séparation des deux liquides ^ dans la- <)aèlleîl rësieni encxmf li détenbkie^ la constante cf.
(Soj. La sur&ce libre du li<][iude supérieur, qui le sépare dn fluide atmospliériqûe y est évidemment ^ à Fégard de ces deux fluides, ce qu'était la surface que nous yenona de considérer, relativement i^ux deux liquides contenus dans le tube. De plus, en passant de ceux-ci aux deux autres, les pressions p et p' se changeront respectivement en p' et n. Si donc on désigne par H ce que G devient par rapport au liquide supérieur et au fluide atmosphérique , par fi et uf les rayons de courbure principaux en un point quelconque de leur surface de séparation , par sf TQrdonnée verticale de ce même point, et par J^ la deàdrte de Tair, il suffira de remplacer G, X, X% n, c^ p, p', z, dans Féquation (7) , par H, ft , /w', c', FI, p', J^, /, pour avoir Téquation de la surface libre du liquide supérieur. Cette équation sera donc
c'-n-(p'-cr)ffz'+iH(l + ^)=o; (9)
et la valeur de - + -7 se déduira de celle de - -f- ^ , en y changeant zenz*. '
Le volume terminé parles surfaces qui repondent aux équations (7} et (9), et par la surface intérieure du tube , sera une certaine fonction de la constante c' qui entre dans ces deux équations. En éc;alant cette fonction, dans chaque exemple, au volume du liquide supérieur, dont la valeur numérique sera donnée , on obtiendra l'équation qui servira à déterminer la valeur de c\
Dans le cas particulier où les deux liquides que le tube renferme seront de la même matièi^e et n'en formeront plus qu'un seul, on aura p'=sp, q':szq} il n'y aura plus de rariation rapide de densité près de leur surface de séparation , et la quantité R| , qui entre dans l'expression de q^ , pourra être remplacée par la quantité R , d'où dé-
^ud la valeur de 9 : en mettant /, s, ^g, au lieu de <, /, /*,, dans I équation (6), on en conclura
DE ii'ACTtQI^ QAPtLUiIRE. 63
ou sensiblexnent 9, :=: — 2q^ d'après les expressions 4e 9 et de q^ , des n?* 24 et 2j. On aura donc = 0. De plus^ la valeur de p du n^ 25 devant alois convenir à tous les points des deux liquides, et coïncider j par conséquent, avec celle de p% il faudra qu'on ait 0'= c = n. Au nnoyen dfe ces valeurs de p', G et &, l'équation (7) s'évanouit j ce qui devait effectivement arriver, puisque, dans ce cas, il n'y a plus de condition particulière d'équilibre à la surface de séparation des deux liquides, qui Isont les deux parties d'un même fluide. En même temps, l'équation (9) devient
(p-J^)gz=slH(iH.i,), (ro)
en employant la lettre z, au lieu de z^. Ce sera l'équation de la surface libre du liquide unique contenu dans le tube.
On parvient au même résultat en faisant p's=s cT, c'sssll, G s H, dans réquation (7) ; ce qui revient à supprimer le liquide supérieur, et à supposer que l'atmosphère presse directement sur le fluide inférieur. Si Ton supprime, au contraire, le liquide inférieur^ et qu'on le remplace par le fluide atmosphérique , il faudra faire f =: J" et G =s H dans l'équation (7)4 on aura alors
n-.c'-f-(f'-«r)gz~.iH(i-f.l) = o, (11)
où l'on a changé le signe du dernier terme, afin que chacun des rayons A et A' soit positif ou négatif, selon que la ligne de courbure à laquelle il appartient touniera sa concavité ou sa convexité
en-dehors du liquide qui subsiste , et que la valeur de * -f- i; soit
donnée par la formule (8) , eu suivant , pour le signe de son dénominateur, la règle du numéro précédent.
Les équations (9) et (11) seront celles des surfaces supérieure et inférieure d'u^ liquide pesant, pressé de part et d'autre par l'atmos» phère, et suspendu en équilibre dans un tube de forme quelconque, fia constante c' se déterminera , comme on l'a dit tout è l'heure ,
d'après le voluiDe da liquide ; le plan des or et ^ ne sera plus déterminé, et Ton ponrra le choisir arbitrairement , pourvii qu'il soit toujours horizontal. Toutefois, si la surface supérieure est un plan horizontal indéfiniment prolongé, le volume du liquide né sera plus donné ; mais, en prenant ce plan pour celui des x ^t jr^ on aura alors c^.ss c = It (n*" 25). Ce cas aura lieu lorsque le tube , au lieu d'être immei^é par sa partie inférieure, sera aiiapfé, par son autre extrémité, au bas d*un rase d'une tris grande largeur, où le liquide s'élève à une hauteur quelconque. En mettant p au lieu de p\ l'équation de la surface inférieure du liquide contenu dans ce tube sera donc
g(r-/).=.iH(i + ^),
et l'on voit qu'elle aura la même forme que l'équation (lo), qui appitrtiéïit à la sur&ce supérieure du liquide dans le Cas de Timmersion du tube.
(Si^. Quoique la considération de l'équilibre du filet fluide d'épais^ seur variable, que nous avons appelé C (n* ^6), soit le moyen le plus simple de former Téquation de la surface capiDaire , il ne sera cependant pas inutile de montrer que l'on peut aussi la déduire de l'équilibre d'un filet cylindrique. Par là , nous ferons voir , d'une manière nouvelle, la nécessité d'avoir égard à la variation rapide de densité qui a lieu près de la surface d'un liquide, et nous mettrons en évidence la quantité que Ton néglige et l'erreur que l'on commet, lors<£u on ne tient pas compte de cet élément essentiel de la question. Pour plus de simplicité, nous supposerons qo'il n'y ait qu'un seul liquide t que nous placerons dans le vide , afin de n'avoir pas à considérer l'action mutuelle des molécules de l'air atmosphérique et de ce liquide. L'analyse suivante s'appliquerait également au cas de la surface de séparation de deux fluides quelconques.
Soit toujours (fîg. 9) Un point de la surface libre AOB du liquide , situé a ime distance sensible des parois du tube. Snit OE un filet normal et cylindrique ayant pour base un élément cê de cette surface. Par un point F appartenant à ce filet, et situé à une distance insensible de la surface, menons un plan CTD' parallèle au plan
COD tangent en 0. Supposons, néanmoins, cette distance asses
grande pour que Faction du liquide indéfini , terminé par le plan
CTiy, sur le filet FO, ne s!étende pas jusqu'aux points où la densité
varie très rapidement. La composante de cette force, perpendiculaire
au plan €^FD' et dirigée du point F vers le point 0, sera égale à p» ;
et , à cause que Ton suppose nulle la pression extérieure n , on aura ,
d après le n? ^5 ,
p=z^f^gz;
z étant Tordonnée verticale du point F, ou, si Ton veut, du point 0. Appelons ^cù Tactîon exercée , suivant cette même direction , sur FO, par le liquide compris entre le plan CTD' et la surface AOB. En négligeant le poids de FO, il faudra qu'on ait
pour l'équilibre de cette petite partie du liquide. Lors donc qu'on aura déterminé convenablement la valeur de 4r, cette équation devra coïncider avec 1 équation (lo), çn faisant dans celle-ci eTso, et
réduisant à 9 + ^, le coefficient - H.
(32). Pour obtenir cette valeur, soit M un point quelconque de FO , et M^ un point dû liquide environnant compris dans la sphère d'activité de M. Désignons par ^ et^' les perpendiculaires abaissées de ces deux points sur le plan COD. Soit r la distance MM' , u sa projection sur ce plan , 8 l'angle que ùit cette projection avec une droite fiie , menée dans ce même plan par Je point ; on aura
Les élémens de volume qui l'épondent aux points M et M' seront adt et Mêdudtd^ , et l'on pourra représenter leur action mutuelle par
R' étant la mesure de l'action moléàdaire, rapportée aux unités de volume et relative à la matière du liquide autour de ces deux points.
Le cosinus de l'angle M'MO aura pour valeur • D'après cela , si
l'on prolonge la peipendiculaire M'O , abaissée du point M' sur le
plan OOD, jmqa*aa point Qf oa elle reneontre le plan CTD', et josqu'an pmnt K ou elle coope la snrftœ AOB; si, de pins, on aj^ellc i et ^ les longnenrs des parties GG' et GK de la droite GfJL , on anra
• — f'fj-jy ^ ''*^*
en r^rdant eonune positire on comme n^ative la force R', selon qn*elle est répulsive on atfaractiye , et la quantité Ç, suivant que le point M' tombe entre la snrfiice AOB et le plan tangent COD, ou entre le^ deux plans paraUèles COD et Criy.
La valeur de cette quantité Çp qu'on a déjà plusieurs fois employée, sera
Ç = Q«» cosM + Q^tt* sin^ + Q^V cos 6 sin S;
Q, Q', Q^', étant des ooeffidens indépendans de ii et fi, dont la somme des deux premiers est
en désignant par X et A' les mêmes quantités que dans l'équation (lo).
La quantité R^ sera une fonction de r qui deviendra insensiUe pour tonte valeur sensible de cette variable, ce qui a permis d'étendre jusqu'à l'infini l'intégrale relative à a ; elle dépendra en outre de la position des points M et M^ A r^;ard des coordonnées de M' parallèles au plan OOD , elle variera par d^prés insensibles. En leur donnant le point pour origine, on pourra la développer en se* rie convergente , suivant leurs puissances et leurs produits ; et si l'on s^arrète à lenra premières puissances inclusivement , les termes qui les contiendraient, disparaîtront par l'intégration relative à l'angle 6. Mais R' variera très rapidement par rapport à la variable < ; et si nous désignons par a la perpendicnlaira BTL abaissée du point M' sûr la suribce AOB^ R' variera de même par rapport à 0r , et sera une fonction STmétrique de f et ^« D'ailleun, on aura, au degré d'approximation où l'on s'est arrêté ,
en dësignaiii par R. ce que devient R' quand on y met i an lien de c^ et les parenthèses indiquant qu'on ne fait pas yarier r dans. la différcntlation relative à t'» A ce même degré d'approximation ^ on aura ••.'* r.'cimc temps
P et p étant les valeurs de R. et de r qui répondent à ^= o. li'expression de «9* deviendra donc
ojoj oj o r
J o J oj o f
A canse que Rt est une fonction Sjrmétrique par rapport k tetf. Tin-* t^gi-aiion relative à ces deux variables fera disparaître le premier terme; et en ayant égard à la valeur de Ç, ^ effectuant les intégrations relatives à 6 , on aura simplement
où Ton peut remarquer que la quantité R, est la même que ceHe qui entre dans l'expression de 9, (n^a7)y en mettant dans celle-ci 2— < et /— - <^ à la place de s et ^,.
Le premier terme de celte dernière formule exprime la partie de « qui provient de Faction du ménisque compris entre la surface AOB et le plan tangent GOD , sur le filet OE ; le second est la partie provenant de l'action du liquide compris entre les deux plans COD et CTD', sur la portion OF de ce filet cylindriquCé La fonction R, variant très rapidement , par hypothèse , avec la variable f qu'elle ren-
-27) extrêmement grar.d |#ar rapport à Rg , et le second terme de «* comparable au
premier. L'errenr de la méthode que nous avons rappelée au commencement du chapitre précédent^ consiste donc en ce qu*on y néglige le dernier terme de «, ou, autrement dit, en ce qu'on y considère comme nulle l'action du liquide compris entre les deux plans parallèles COD et CFD^ sur le filet OF qui en .fait partie. Il reste à faire voir qu'en ayant égard à ce dernier terme , l'équation /> *' • 4r = o coïncide avec l'équation (lo), qu'on a formée d'une ti t «* tre manière.
(33). Soient %f et i/ les volumes de deux parties très petites du liquide , comprenant respectivement les points M et M', qui en seront , par exemple, les centres de gravité. Supposons leurs dimensions insensibles par rapport au rayon d'activité moléculaire ;. leur action mutuelle sera le produit p(/R', et l'action totale du liquide sur if, décomposée suivant la droite MF, aura pour expression ,
en étendant la somme Z à toutes les parties i/ du liquide qui sont comprises dans la sphère d'activité de M. Désignons par \i la densité du liquide qui a lieu en ce point, et par^' la composante de la pesanteur suivant la direction MF; pour l'équilibre de la partie insensible du liquide dont le volume est p, il faudra donc qu'on ait
équation qui détermine implicitement \i en fonction de t', mais dont on ne pourrait pas déduire la valeur de cette densité sans connaître l'expression de R', qui dépend elle-même de cette inconnue.
Je rétablis le facteur (^, et je multiplie par t le premier membre de cette équation , puis je prends la somme de ses valeurs relatives à toutes les parties v du liquide qui ont leurs centres sur le filet OF ; il en résulte
^g'^tv + 2 ( 2R' î-=li i/) /i; = o.
Le premier terme est le. poids de la portion du liquide à laquelle se rapporte cette nouvelle sommation, décomposé suivant la direction MF et multiplié par la distance de son centre de gravité au
DE L'ACTION CÀFILLAIRE. 69
poHit 0. A cause que la longueur de OF eat insennUey on peut négliger ce produit par rapport au second terme ; dé plus j d'après ce qu'on a dit dans le n^ 1 3 , on peut aussi remplacer dans celui-ci , (/ et \f par les élemcfns de volume infiniment petits mdt et ududt^ et changer ensuite les sommes 2 en intégrales définies. De cette manière, on aura donc
u rj[fTy ^^ ududtdm
la seconde limite de Tintegrale relative à i étant Tinfitti , parce que le liquide s'étend indéfiniment, ou du moins k une distance sensible, au-delà du plau CTD'^ et les autres limites étant les mêmes que dans la première expression de 4r. En négligeant les quantités du même ordre que dans les calculs précédens, on pourra metti^ R, au lieu de R', et remplacer par séro la première limite — ^ de Tintégrale relative a ^; effectuant ensuite Tintégration relative à 9, et supprimant le fisicteur tê , nous aurons
on, ce qui est la même chose ,
J o J oj fi r
4- ^^/,"roX"l^. ^^^=^ ududedif ^ o. (i5) Je fais dans cette dernière intégrale
la fonction R, qu'elle renferme se changera alors dans la fonction R relative à l'intérieur du liquide ; et nous aurons
J o j oj l r J o J oj o r
^rf'rK^i±âi;tdudsds^,
J o J oJ o r
Od peut në^iger le terme qui renferme le fiicteiur / ea-dehom des
signes f^ et étendre^ dans l'aatre terme, Tintëgrak rdative à s jus* qu'à rmfini; mettant ensiiHe ttf% itf, udJ^ udê^ au lien de /, x, ébf^ ds^ il en résultera
on bien , en vertu de cette râleur de r%
en effectuant les intégrations rdatires à / et i x, et ayant ^rd k Texpression de q du n* 24* On a identiquement
lia symétrie de la fonction R, , par rapport k t et f, rend nulle la première intégrale qui renferme le fiaicteur l'*— -<* sous les signes /; on aura donc
et 9 d'après ces transformations des deux termes de Tëquation (x 3) , elle deviendra
Cette équation I déduite 1 comme on voit, de la cou'blioo d'équt* libre d'une petite partie quelconque. du filet OF, e^piime que Faction totale du liquide sur ce filet, de longueur inscni>i};lf; fk^rait la même, soit que son épaisseur fàt variable , ou qu'elle fût constante : elle nous était nécessaire pour la transformation de la formule (12) , que nous devons effectuer.
(54)* En vertu de l'équation
DE L'ACTION CAPILLAIRE-. '^i
nous avons
/<<R,\ ^__ rfR, dR, t'-'t <{&, rfR, «
\ebf ) — W "^ dr r * "35* — <fr r»
^*) iu^sant varier f^ et r dans -^ , et seulement 1/ dans (-^J* On conclut oe là
A la limite <'s=o^ on a R, =?, ''=Pi ^t à l'antre limite /^=:2; cette f)nction R. se change en R, si Ton y fait
En intégrant par partie , on aura donc et , par conséquent ,
oe qui diange d'abord Féqoation (12) en
D'après la valeur de r qu'on doit employer dans l'intégrale double , on pourra étendre jusqu'à Tinfîni l'intégrale relative à ^; en y mettant ensuite m et uds^ au lieu de s et ds^ on aura
d'où Ton conclura
En iatq|[rant par partie relativement à u , et observant qne dans Tintégrale triple on a r* =s «• -f- (^ — *)• , il vient
on aura donc /
i/:yy;(§^^=^+«v^-«'
J o J oj o r- %j o J o J o r
quantité qui est la même cbose que — ^q^^qtf en vertu de Téquation (i4) et de Texpression de q^ du n^ !i7. Or, au moyen de ces valeurs d^ rintégrale double et de l'intégrale triple, contenues dans r^^pression précédente de 9) elle se r^uit à
et Tcquation /> -^ ^ ^^ ^ devient enfin
ce qu'il s'agissait de trouver.
(35). Sans intégrer l'équation (lo), on en peut déduire une expression du volume d'un cylindre vevtical, tronqué par lalrikface capillaire, qui nous sera utile dans la suite de cet oyvrage.
Par un point appartenant à Tititersection de la snâiee €a|>il]aire et de la surface cylindrique , menons en-defaors dû liquide des normales à ces deux surfaces . Soient a, ^, 7^ , les an^gles conipHs entre la normale à la surface capillaire et des droites menées par le point 0, suivant les directions des x^jr^Zf positives. Désignons par fl^\ C, y\ les angles que fait la normale à la sur&pe cylindrique avec -les mêmes droites , et par e» Tangle des deux normales ; nous aurons
cos â» s=s cos a cos a' +cos^cos^'-f-<^08>eoay.
Soit u une quantité positive , telle qu'on ait
d'après les formules connues , on aura^
i dz M 1 dz I
D ailleurs , Taxé deà z étant vertical , ainsi que le cylindre , cos y' sera zéro, et les valeurs de.cos«' et cos^' dépendront du contour de la base horizontale du cylindre. Nous supposerons que cette base soit située suf le plan des x et jr^ qui est celui du niveau du liquide endehors du tube ; en désignant aloi^ par Y le volume du cylindre
tronqué 1 on aura
\=^ffzdxdjri
Tintégrale s*étendant à tous les points de sa base, et la valeur de z^ en fonction de x et y» étant donnée par Téquation de la sur&ce capillaire. En vertu de l'équation (10), on aura donc
et comme , d'api^ès les valeurs précédentes de cos « et cos C^ l'équalion (8) peut s'écrire ainsi:
