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aV V ds dj ^

il en résultera

Pour fixer les idées, supposons <{ue la base entière du cylindre soit située d'un même côté de chacun des axes des x et des ^, et que son contour ne soit rencontré qu^en deux points par chaque parallèle à l'un de ces axes. Menons à cette courbe deux tan«yentes parallèles à Taxe des jr , dont les points de contact diviseront sa cir-conférence en deux parties, et deux tangentes parallèles h l'axe des «r, dont les points de contact diviseront de même cette circonférence en deux autres parties. Si l'on effectue l'une des deux intégrations indi-^ quéesi on aura

g(f-<r)V = iH[/oo8Wi-]-iH(/GOsodfr)

-fl\fcosedx]^ -H (f cos €da:)î (i5)

et les intégrales relatives à a* ou kjr, renfermées entre des parenthèses^ se rapporteront aux parties de la courbe les plus éloignées des axes des ^ ou des or, et celles qui sont contenues entre des crochets, aux parties

si donc on appelle ds 1 élément différentiel de la courbe, regardé comme ppsitif, on aura

dx =s zh cos €^ds ,

selon qu'il s'agira d'un point de la première ou de la seconde partie : on aura de même

dj =; db cos a'ds ,

selon qu'il s'agira de la partie de la courbe la plus éloignée ou la plus rapprochée de Taxe des x. Cela posé, on pourra réduire l'équation (i5) à celle-ci ,

g{f — cf) V = — - H/cos A cos a'ds — - H/cos C cos €^ds ,

dans laquelle les intégrales s'étendront au contour entier de la base du cylindre. A cause de cos^ = o, on en conclura

gr(p— cr)V = -iH/cos«A;

équation qui aurait encore lieu , lors même que ce contour ne serait pas coupé seulement en deux points par chaque ligne droite, ainsi qu'on l'a supposé, et qui fera connaître la valeur de V, quand celle de. cos cê sera donnée en fonction de s. On peut remarquer que son premier membre est le poids dans l'air, du liquide homogène contenu dans le cylindre que l'on considère.

(56). On verra, par la suite, que l'angle û) est constant pour tous les points de la surfoce capillaire dont les distances à la paroi du tube sont insensibles^ et cependant plus grandes que les rayons d'activité des molécules du tube et du liquide. Si donc on suppose que l'intersestion de cette surface et de celle du cylindre vertical, dont le volume est V, soit partout à une distance insensible de la paroi du tube , et

DE L'ACTION CAPILLAIRE. j5

qae l'on désigne par.c la loogueor entière de so» contour, réqaatimi précédente deriendra

ou^ ce qui est la. même chose»

A= — |Hrcosâ», (16)

en appelant A le poids dans Tair d un yoliime V du liquide.

ffi k surface intérieure du tube est celle d'un cylindre vertical, c tne différera p$is sensiblement du contour d'une section horizontale de celle surfiice, et A pourra être pris pour le poids du liquide souleva ou abaissé par l'action capillaire , selon que sa valeur sera positive ou négative. Si Ton incline le tube de manière que la génératrice de sa surface et la verticale fessent un angle aigu i , ce poids A variera en raison inverse de cos /.

En effet j, appelons C le centre dje gravité de la section intérieure du tube par le plan du niveau du liquide; par ce point, menons trois plans, le premier perpendiculaire à la génératrice du tube, le second parallèle à cette droite et passant par l'intersection du premier et du niveau du liquide , et le troisième perpendiculaire à cette même infersection. Prenons ces trois plans rectangulaires pour ceux des coordonnées ; et soient z', a:% y, celles d'an point quelconque de la surface capillaire, respectivement perpendiculaires k loes trois pians. L'ordonnée verticale z du même point , qui entre dans l'équation (10} aura pour valeur

2=2'cost — jr'sin 1;

et cette équation deviendra

Or , en désignant par Y' le volume du liquide contenu entre le pian des x^ ety et la sur&ce capillaire, nous aurons

et nous conclurons de l'équation précédente

gÇp — J^){\'co$i^Bmifa^dx'dy)=:'^iEccM(»,

en représentant parc et » les.mêoies quantités que dans Téquatioa (1.6). D'ailleurs, l'intégrale /jr'c£r'£(/, étendue k Taire entière de la section

lô.»

dn tube y sera nulle par la nature du point C; par fa même raison, le volume du liquide compris entre cette section passant, par le point C et le plan des af tXff se composera de deux parties égales et de signes contraires; par conséquent, V sera équivalent au volume du liquide compris entre son niveau et la surface capillaire ; et, en vertu de l'équation qu'on vient de former, ce volume et le poids correspondant suivront la raison inverse du cosinus de Tinclinaison du tube- Dans le cas de deux liquides superposés, si Ton désigne toujours par V le volume d*un cylindre vertical quelconque tronqué par la surface libre du liquide supérieur, et par m le même angle que pi*écédemment; si, de plus, on appelle h Faire de la base de ce cjrlindre, située dans le plan' du niveau extérieur^ l'équation (g) donnera

g(p' — J^) V sa (c'— n) ft — iH/coS ûiiû;

par un calcul semblable à celui du numéro précédent.

Dans le même cas, si l'on appelle Y, le volume de la partie du même cylindre, terminée par la sur&ce de séparation des deux liquides, et ^ ce que devient l'angle ^ , relativement à cette sur<face, on aura, d'après l'équation (7),

g(p~pOV. = (n-cO*-— JG/cos^.

En ajoutant ces deux équations, il yient ^(p'-«r)(V-V.) + g{p--/)V,«=:-iH/cos«a!r— iG/cos ^..

Or, si la surfiice intérieure du tube est cylindrique et verticale, et que celle du cylindre que l'on considère ne s'en écarte pas sensiblement, comme dans le cas auquel répond l'équation (16), Y— *yt sera le volume du liquide supérieur, et y (p' — J^) (V— V,) , son poids qui devra être donné et que nous représenterons par P. En même temps, g(p — /).V, sera le poids inconnu du liquide inférieur, soulevé on abaissé par l'action capillaire , et que nous désignerons par T. L'angle 9 sera constant , aussi bien que or ; par conséquent , l'équation précédente deviendra , dans ce cas,

P + rœ— ^Hccos» — ^Gccos^. (17)

L'angle t» dépendra', comnte le coefficient H , de la matière du tube et.de celle du liquide: supérieur; l'angle ^, comme te coellideat G, de la matière du tube et de la matière des deux liquides.

DE li'ACTIÛN CAPILlAIftË. 7:

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