CHAPITRE III

Équaiûm relative €tu contour de la surface capillaire.

(37). En général, dans une question de Mécanique ou de Physique^ relative k un corps | à une sur fiice ou une ligne « il existe , outre l'équation commune k tous les points du système , d'autres équations qui n'ont lieu que pour la superficie, le contour ou les points extrêmes. Ainsi , dans la question présente , indépendamment de l'équation commune à tous les points de la surface capillaire dont les distances aux parois du tube surpassent , toutefois, le rajon d'actiyité moléculaire, il / a une autre équation qui n'appartient qu'à ceux de ces pointa qui smit situés ii des distances insensibles de la sur&ce du tube. Cest cette équation particulière qu'il s'agit maintenant de former, soit dans le cas de la snrface libre d'un liquide, soit relativement i la surface commune à deux liquides superposés, «t M (fig* 10) un point du liquide supérieur situé à des distances de la surfiioe libre et de celle, du tube. Par ce point, abaissons des perpendiculaires MN et MK sar ces deux surface ; supposons que le plan de la figure soit celui de ces deux droites , et que les courbes ANB et DKE représentent les sections de la surface du liquide et de la snr&ce du tube , par ce même plan. Faisons passer par le ' point M deux antres surfaces^ dont l'une coupe k angle droit toutes les normales à la surfiice du liquide , et soit représentée , dans la figure « par la courbe AlUffi', et dont l'autre coupe aussi \ angle droit toutes les normales k la surface du tube , et soit représentée par la courbe OM C p qui rencontre la courbe ANB au point 0. De tous les points de llntersection de ces deux surfaces, abaissons des perpendiculaires, telles que MN, sur la sur&ce du liqnide, lesquelles formeront, eu général, une sorfkce gauche. En-

7Ô NOUVELLE THÉOIOE

fin^ par un point F appartenant à la courbe OMC, et situé ii une distance insensible au-deissous du point M, menons un plan perpendiculaire à cette courbe, qui coupe le plan de la figure,* suivant la droite GFL, laquelle rencontre en G la courbe DKE.

Nous supposerons la longueur de MF assez -grande pour que Vacation du liquide situé au-dessous de ce plan^ représenté par GFJL,, ne s'étende pas jusqu'à la surface représentée par Â'MB\ Nous fer#ns

MK = A, MN = /;

et nous supposerons aussi ces distances assez grandes pour que, dWe part, Tàction du tube ne s'étende pas jusqu'à la surface représentée par OMC, et celle du Kquide situé au-delà de cette surface , jusqu'aux points où la densité Tarie très rapidement dans le voisinage du tube , et^ue, d'uti autre côté, l'actioii du liquide situé au-dessous de Â'MB' ne s'étende pas non plus jusqu'auî points où la densité varie très rapidement près de la surface supérieure.

Cela posé , pour obtenir les équations qu'il s'agit de trouver , now: allons chercher les conditions d'équilibre de la partie du liquide com^ prise entre le plan de la figure et un plan parallèle mené à une dis^ tance infiniment petite, qui aura pour base le pentagone curviligne ANMFG, et sera terminée latéralement par la surface gauche dont la droite MN est une génératrice, par la surface du liquide, par le plan projeté suivant la droite GF, par la surface du tube et par celle qui coupe toutes ses normales à angle droit. Nous appellerons G cette petite portion du liquide, et nous désignerons par € son épaisseur constante et infiniment petite. La forme que nous lui supposons est la plus propre à l'objet que nous avons en vue.

(58). Si l'on décompose d'abord chacune des forces qui agissent sur C 6n dçux autres, l'une parallèle et l'autre perpendiculaire au plan de la figure, les composantes perpendiculaires auront des directions opposées ; elles se détruiront en grande partie , et se raduirànt à des forces insensibles par rapport aux composantes parallèles. L'équation d'équilibre des composantes perpendiculaires détermine^ rait implicitement la petite variation de densité du liquide qui a lieu parallèlement à la surface du tube, en vertu de la pesanteur; ce qui n'est pas Tobjet que nous nous proposons. Noos ne nous

occuperons donc que des forces parallèles au plan de la figure^ et nous décomposerons encoi^ chacune d'elles en deux autres , Tune parallèle et l'autre perpendiculaire à la droite KM. Si Ton divise C en filets parallèles à KM, l'action du tube, supposé homogène, sur le filet qui répond au point K sera normale à sa surface , et l'on pourra la représenter par ^êb', en désignant par a' la base de ce filet; mais il n'en sera pas tout -à -fait de même à l'égard des autres filets, qui ne seront pas rigoureusement perpendiculaires à k surface du tube. En désignant par a la longueur insensible de AG, il est aisé de voir que la ^omme des actions du tube sur tous ces filets sera sensiblement égale à Ne^*, parallèlement à KM, et pourra

se représenter par -r-, suivant la direction perpendiculaii^ à KM;

k étant une ligne d'une grandeur sensible , qui dépendra de la courbure du tube au point K. Cela posé, l'équation d'équilibre des forces parallèles à KM servirait à déterminer la valeur de N, laquelle est une inconnue qui ne peut pas s'exprimer par une intégrale définie, d'après ce qu'on a expliqué dans le n^ 12. Mais cette fbrcç nous étant inutile k connaître , nous n'aurons pas besoin de l'équation dont elle dépend , et il nous restera seulement à considérer l'équilijlMie des autres composantes.

En désignant , pour abréger , les différentes parties du liquide par celles de la figure auxquelles elles répondent , je repr^nterai par Se l'action exercée par la couche ANMFG sur C qui en fait partie, par «g l'action de EGFC, et par P celle de LFC ; je désignerai de même par Qê Faction de BNMFL , c'est«à-dire l'action de la couche superficielle BNMB' ajoutée à B'MFL, sur la partie de C qui répond à A'MFG, et par T€ et \ê les actions de BNMB' et de B'MFL sur l'autre partie de C, correspondante à A'MNA; et toutes ces composantes, parallèles au plan de la figure et pei'pendiculaires à KM, seront supposées dirigées de bas en hautou vers la surface supérieure du liquide. Helati veinent

à chacune de ces forces , on pourra négliger la composante -j- , qui

proviendrait de l'action du tube , ainsi que le poids de C ; si , de plus, nous supposons le liquide placé dans le vide, ou que nous fassions abstraction de l'action des molécules de Fair atmosphérique

8o NOUVELLE THÉORIE

sur celles de C^ il faudra , pour Téquilibre de cette petite partie du liquide 9 que Ton ait

S + ^4-pTf-Q + T + V=o. (i)

U s'agira donc de calculer aucceasivement les valeurs des six quantité contenufs daps cette équation; mais, auparavant^ je ferai remarquer que chai^une d'elles dépendra d'une intégrale quintuple , relative à des variables qui s'auront que des grandeurs insensibles, tandis que les forces qu'on a considérées dans le chapitre précédent étaient exprimées par des intégrales quadruples, relatives à de pareilles variables. Ou condut de là que si Ton s'arrête au même degré d'approximation que dans ce chapitre, il sera permis de négliger, sous le signe de Tintégration quintuple^ les quantités de l'ordre de celles que l'ou a comervées sous le signe de i*infégralion quadruple ; il en résulte qu^on pourra > dans 1^ calcul des valeurs de <tr, P, Q, T, V, faire abstraction de la courbure du liquide, et remplacer la surface supérieure par son plan tangent , et la courbe A'MB' par la tangente au point M. Par la même raison , et à cause que la longueur de ÂK6 est supposée insensible , on pourra aussi négliger la courbure du tube, et considérer les courbes AKG et OMF comme des droites perpendiculaires à KM» Enfin , on négligera encore la petite variation de densité du liquide dans son intérieur, à laquelle, précédemment , on a dû avoir égard ; mais ^ dans le calcul de la force «irs, il faudra tenir Compte de la compression du liquide produite par l'action du tube^ et dans le calcul de Te, on devra avoir égard à la variation de sa. densité près de sa surface supérieure : la partie de AA'MN , dans laquelle cette densité varie à la fois dans le sens normal à cèùe surÊice 6t suivant la perpendiculaire à celle du tube, n'influera pas sur les Valeurs de or et T, non plus que sur celles de P et Y, ^ cause des longueurs qu'on a supposées aux d^tances MF, MM , MK , quoiqu'elles soient toutes trois insensibles.

(Sg). S'il fallait calculer la .Valeur de S , il serait nécessaire d^avoir égard à cette double variation de densité , aussi bien qu'a la courbure de AN; car cette courbure et l'indinaisou de la tangente peuvent varier très rapidement dans ia longueur insensible de cette ligue , et être très différentes au point N et plus près du tube : on

pourrait seulement uegliger la yariàtion <ie densité et la. courbure du liquide y parallèlement à la. sur&ce du tube. Mais je vais démontrer^ sans aucun calcul ^ que Von a S sss o^

En effet, j'appelle C la couche liquide dont C fait partie , et à laquelle répond la force S. Je décompose Ç et C^ en filets tels que MNO (fig. Il), dont chacun soit composé d'une partie cylindrique NO parallèle à la «surface du tube, c'est-à-dire à la direction de la force S, et d'une autre partie NM, d'épaisseur variable, perpendiculaire à la surface AB djii liquide, ou ils viendront aboutir par en haut. J'appelle /le filet MNO appartenant à C, et/' mi autre filet PQR appartenant à C'. Si leurs extrémités M et P sont également éloignées de la sur&ce du tube, les deux filets seront identiquement composés, et il en résultera que si l'on mène au-dessus du liquide un pian GH perpendiculaire ï la direction de S, l'action, suivant cette direction, d'un élément de/' situé à une distance s du plan GH, sur un élément de /situé k une distance /, sera égale et contraire à l'action de Télément de / situé à la distance /, sur l'élément de / situé a la distance s; par c6n|^équent| l'action totale de /' sur / sera nulle dans le sens que nous considérons. Si , au contraire , les points M et P sont inégalement éloignés xle la paroi du tube , je supposerai qu'un autre filet F de C et le filet f de C' ont leurs extrémités supérieures k la même distance de cette paroi , qu'il en est de même à l'égard du Blift/de C etd'un secohd filet F' de G, et que , de plus, f et F' appartiennent à un segment de C parallèle à C. Alors, il est évident que l'action, parallèle à S, exercée par/ sur /sera la même que celle qui serait exercée, dans le même sens, par F sur F', laquelle serait égale et contraire à la réaction de F sur F ; donc les actions, parallèles à S, de / sur /et de F' sur F sont égales et contraires; et, en joignant cette conclusion à la précédente , on voit que les actions de tous les filets de C sur tous ceux de C , parallèlement à la surface dû tube, se détruisent deux à deux, en sorte qu'on à S=so; ce qu'il s'agissait de (trouver.

(40). Pour former répression de <ir, j'élève par le point G(fîg. 10) une droite perpendiculaire au plan de la figure. Je désigne par jc, jr, Zp les trois coordonnées d'un point quelconque du liquide inférieur , ayant pour origine le point G , et respectivement parallèles

82 NOUYELLE THEORIE

à cette perpendioiiake et aox Ugnes 6L et GE ; relativement à uu point quelconque de C^ oa aum ;rscso^ et Ton pouna représenter ses deux autres coordonnées par^ et «*- 2f*^ En appelant r la distance de ce point à Fautre , on aura

Les ëlëmens de yolume qui leuc correspondent seront id/dt' et dxdjrdz : j'exprimerai par le prodait

leur action mutuelle ; p ëtairt une fonction dont la râleur sera insensible pour toute valeur sensible de r, symétrique par raj^rt k.j et f^ et qui variera aussi très rapidement avec qbacuoAde ces quantités, à raison de. la compression du liquide près de la. snrfa<;e ds tube. A mesure que jreiy approcheront de GF| qui est la même dioseque A, cette fonction approchera d'être indépendante de ces variables^ et. de se coqfbndi?e a^fea U jonction R relal^ve à L'intérieur dn U^ide, en.eorte que si Kon j mctt À *4r ^ <Bt A — - 14 à laphiQe dft^ ^t jr',. et; qu'on suppose u e\u! msoindres que le ra^on d'activité moléculaira, on aura

Gela posé , nous aurons

en considérant la fonction 4) comme positive ou comase négative ^ selon que la force qu'elle représente sera répulsive ou attractive. Par la nature de cette fonction», on pourra étendre les inté^pralesi relatives a z et z' depuis zéro jusqu'au l'infini , et» en menus temps, celle qui répond à X sera prise depuis — oo jusqu'à -f«oo ;:mai8 les limites relatives k jr et y seront ^ = o et / = o, ^=A et j^ssA.

Soit <b{rp jTf y) une fonction de la même nature que ^(r, /, f), et &îsons f pour un moment ,

nous aurons

DE L^ACnON CAPILLAIKE. c'

«t, pur conséquent,

fy{r, jr, y)t±i^^ *(/, y, y),

en désignant par t^ la yalenr de r qui répond k z':= o , de sorte qu'on ait

En intégrant par partie , et observant que 9 s'éranouit k la seconde limite^ on aura

et au moyen jde ces équations , la valeur de ^ deviendra

Soit €QC0K

ssspcosO, ;rs=spsinO, ot / par conséquent ,

Si l'on substitue p et 6 aux variables ;r et z , il faudra prendre

dxdz x=s iadWd ;

et les limites relatives à ^ et £ étant ;rs=:: — od et;r=roo^ z=:o et zn^co, ceHed qoi répondent à 6 et p devront être 6=r o et dss Tf, (^sso et i^ssoo. LlntégratiOn relative à d â'efiectuera immédiatement ^ et >eti résultera

Cette intégrale triple ne peut pas se réduire davimtage; elle dé* pendra de la compression dti liquide àXùs la touche )Bidjacente au tube, et, par «utte, de la matière dti tid)e et de celle ^ éa liquide. Nous conserverons la lettre or à la place de cette expression , et nous regarderons w comme une quantité dont le signe et la valeur devront être àoiwés daas chaque cas particulier, lia limite h peut