TRANSFORMATION DES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES FIGURES
(Tolrpage 176);
ParM.FAURE,
Capitaine d'artillerie.
Transfotmation des relations d'aires,
i. Transformer homo graphiquement Taire dun trian^ gle a', b', c'. . '
Soient (x\^j\)^ (^'i>j2)^ (•^'•^y») '^^ coordonnées des sommets a', b\ c\ et S' la surface du triangle,
et en ayant égard aux formules de transformation (p. 279) 2S'== ax^-^-by^^c, a'x.+ b'y.-i-c', a'' x^-h b'y.-^- c'' P, nous posons
Ka" x,^b" y,-^c"){a" x^^b" y.^dy^a'^ x.J^b" y,^c")
La valeur de 2 S' peut s'écrire
aS'
*»rt •
abc étant le triangle homographique au triangle a'Vc\ appelons a, ^^y les distances des sommets du triangle abc à la droite I (p. 280), donnée par Téquation
et S l'aire de ce triangle,
«*«, + b"y, 4- c" = « \/a"' -4- **% a" X, + b"y. H- c" = p v'«"' + *"% «" *, -H AV. H- c" = 7 Va'" -h*"'.
On a donc
Xt
(a"»-hô"»)
Vaire SU un triangle est égale à celle du triangle homographique divisée par le produit des distances des sommets de ce triangle à la droite I et midtipliée par une constante.
Dans deux figures homographiques » il existe trois points qui , considérés comme appartenant à la première figure^ sont eux-mêmes leurs homologues dans la seconde (p. 280). Si a', è', c' sont ces trois points, S = S', donc
Ainsi le coefficient numérique qui entre dans la valeur de S' est égal au produit des distances des trois points, qui sont eux-mêmes leurs homologues, à la droite I. Nous désignerons, pour abréger, ce coefficient par la lettre m, de sorte que
5. Examinons ce que devient cette formule lorsqu'un ou deux des sommets du triangle ahc sont à l'infini, ce
( 383 ) qui revient à supposer les sommets correspondants du triangle a', i', d sur la droite I' (p. aSo).
Désignons par A, B, C les côtés du triangle ahc respectivement opposés aux angles a, h^ c, et par a^^ &i, c^ les points d'intersection de ces mêmes côtés avec la droite I,
S = fl^é?= -a^.i7csin (B, C),
donc
7 =: chx sin {B, I),
S I fl^.flgsin(B, C)
a . P . 7 2 a * p . c6, sin ( B, I )
Si l'on suppose le point c à l'infini, — = i ,
ç^f __ni g6sin(B,C) . •
^ ^ " ■" 2 a.p.sin(B,I)'
On a aussi
p= ^c, sin(Cyl).
Substituant dans la formule précédente et faisant passer h à l'infini ,
i^\ q.W siD(B,C)
^^ 2 asin(B,I)sin{C,I)*
Pour interpréter géométriquement ces résultats, remarquons que dans la relation (i) les droites a&i, ha^ devenant parallèles, lorsque c est à l'infini^
<i^sin(B,C) sin(B,ï) -''•^'' donc
Ce segment rtiÉj est la projection du côté ai du triangle sur la droite I, projection faite au moyen de deux droitesae, hc parallèles à une direction arbitraire.
Celle formule servira à transformer Taîre d'un triangle a' è' c' dont l'un des sommets c' sera sur la droite 1'.
Considérons alors dans la première figure un triangle quelconque a' b' c', et joignons ses sommets à un point o' pris sur la droite I', on aura
éi' ô V = fl' è' o' -h * V o' -h c' a' o',
de sorte qu en transformant d'après la relation précédente,
(n) .'^v=^(^ + ^'4.ÎL^y
2 \«P P-7 7-a/ Relativement à la formule (a), remarquons que l'aire du triangle a b^ c^ est donnée par la relation
1 i^, c, sin(B, I)sin(C, I)
. ' ' 2 8in(B,C)
or
sin BI aci
sinBG biC,'^
donc
a biC^
Cette formule servira à transformer un triangle dont un des côtés coïncidera avec la droite 1'. Par conséquent, si Ton considère dans la première figure (*) un triangle quelconque a' è' c', formé par les côtés A', B', C, on aura
a' b' c'z=.A'W r 4- B'C V -H a AT,
A' B' V désignant l'aire du triangle formé des côtés A', B', r, etc.
Transformant d'après la dernière formule,
(III) S'=«(i^4-i^4-î^).
(*) Première figure est toujours celle dont on cherche l'homographie, et les lettres sont accentuées. Tm.
