Cas particclieh. La droite I est à t infini. On a

et l'oà trouve la relation

la b I

Ainsi dans ce cas le rapport des aires de deux triangles et par conséquent de deux figures homologues est constant* L'une des figures est en effet la projection de l'autre.

7. En comparant les relations (I), (II), (III) on arrive à différentes expressions de Taire d'un triangle. Ainsi les relations (I) et (III) conduisent à ce théorème :

Si les côtés A, B, C (Tun triangle abc sont coupés res*pectivement en des points a^ bj, c^ par une transy^ersale arbitraire^ et que Von désigne par a, |3, y les distances des sommets a, b, c a cette trans\^ersale ^ Vaire S du triangle sera donnée par la relation

^^ab,cj-^'\'hc^a,i—'\'cayb, -f.

Applications .

8. Un polygone a'^b\c'^ rf^ *.,/' étant trace dans la première figure, joignons un point arbitraire o' k tous ses sommets. L'aire S' de ce polygone est donnée par la relation

Dans la figure homographîque nous avons un polygone a, 6, c^d^. . «^/et un point o. D'après la relation (I) nous aurons

/ abo bco cdo \

Afin, de Mathémat,, t. XVIÏ. (Octobre i858.^ a5

{ 386 ) oc, {3, )f,..,, Ct> désignant les distances des sommets a^&fC,, et du point o à la droite I.

De là résulte ce théorème :

Si r OT^décompose un polygone en triangles ^ en joignant ses sommets à un point arbitraire de son plan^ la somme de ces triangles^ div^isés respectiy^ement par le produit des distances de leurs sommets à une droite fixe, est une quantité constante.

Le point arbitraire peut être à Tinfini ^ si l'on appelle ^ij t)\t ^19 rfi)««« les points d'intersection de la droite fixel par des droites menées par les sommets a^ &, c, J,..., parallèlement à une direction arbitraire^ on aura, d'après la relation (II),

On a donc ce théorème :

Un polygone étant donné ainsi quune droite^ si ton projette les côtés de ce polygone sur la droite au moyen de parallèles à une direction arbitraire^ la somme des projections des côtés, dii^isées respectivement par le produit des distances de leurs extrémités à la droite fixe, est une quantité constante.

SiiR LA RÉSOLUTION DES É«I]4TI0N^ DU QUATRIÈME DEGRÉ; Vja m. v.-a. lebesgue.

1 . II y a bien des moyens de ramener -la résolution d*une équation du quatrième degré à celle d'une autre équation du troisième. Le plus simple parait le suivant.

(387) Od a identiquement

si donc on pose

ou bien

le polynôme «* •+- px* -i-qx-hr deviendra

égalant chaque fadeur à zéro^ on trouvera les quatre racines

Comme l'équation en 0 a toujours une racine réelle posir tive, on a les quatre racines sans ambiguïté sous forme réelle ou sous forme imaginaire « -f- j3 V — i.

2. On peut aussi , d'après la méthode d'Euler {^Ig.y ch. i5), poser

Faisant disparaître les radicaux et identifiant avec l'équation

jc* -4- px^ 4- yj? -4- ^ = o,

( 388 } on trouve sans difficulté

d^on la même réduite en 0.

Si Ton mettait ^0^ + ^ sous la forme

on retrotrverait les ft^rmules précédentes. Les signes des radicaux dans la valeur de 20: sont déterminés par Véqaattion

Comme on a employé Féquation

la réduite (i) appartient à Féquation double

«* -f- /wc* ± 9* -f- r = o.

L'équation

2«=i=v'sr+vor+v^

présente en e(Tet huit valeurs, dont quatre appartiennent à l'équation

et les quatre autres a Féquation

X* 4- px^ — yjf -H r = o».