V-HQ>— R = o, ce qui suppose

A et B devront être déterminés convenablement.

On ad'abord, àcausede Ai'-i-At4-it=o, y= Vi-+- V|H- V»,

Carrant de nouveau

^-.6B/»+9B«=4(vîv;+v;vî+v;vî),-|.8v.v.v,7:

or, substituant les valeurs des V*, on a

vjv;^-v;v;-f.vîvî=:A»Q-«-3B^

donc

^«6Br>-8V,V,V,/ — {3B»H-4A>Q) = o.

{*) Artliur Cayley, avocat, né à Richraond (Surrey ), le i6 août i8at.

(■390) De là , comparant celte dernière équation avec Téquation (2), on obtient

(2) B = 6»— iTc, Q = ^p ,

on peut donc faire

Enfin

Vt V, Vs = VA'R-HA'BQ+BS Téquation

4 (2 ^»— 3û*tf -^ û>rf) = — 8 v/fl» R 4- «' (^'— ac) Q 4- (^'- û^)'

donnera

ûd* -f- *^' -h u* — ace — 2 ^crf

de là Téquation

4X*— (acr-4^rf-h3c»)X4-«ctf4-2èci/ — /ïrf» — ^6' — c»=ro:

c'est Tëquation

de MM. Hermite et Cayley ; en changeant le signe, on a l'équation

de M. Aronhold (*). Suit la traduction d'une note mise à ce sujet par ce géomètre dans le tome LU du Journal de Crelle.

(*) Siegfried^Hcnri , professeur de mathématiques à l'école d'architecture de Berlin. Né à Angerborg (Prusse orientale) en 1819.

REMARQUE LA RÉSOLUTION BES ÊOUATIONS BIQVADRATIQUES ;

Pa« m. lb D' s. ÂRONHOLD, i^e Berlin.

Si Ton représenle lequalîon donnée par et que l'on calcule les déterminants

tf

dA de

4if b 6, « — >

alors A = o est une équation cubique de la forme

A =—4^* 4-(«^?— 4 bd-^Zc^) 'k-^ad^'i-eb^'i'C^'-ace — 2 bcd=:Of

qui , manquant du second terme, pourra être résolue directement par la règle de Cardan. Soient

/^\ /dà\ /rfA\ [de),' \de)^' \de}^

les valeurs du second déterminant pour les trois, racines de l'équalion A = o, on aura

•^i[-^WmM^)Mm'

où les signes correspondants doivent être tels, que le produit soit positif.

On a encore plus généralement , pour des valeurs quel-

conques de i^ et de )D ,

(a3t^fe)|»-h3(6x4-c)r»?-H3(gx-t-rf)^>>«.4-(ifa-He)i?'

d'où Ton lire la valeur précédente de x en faisant | = i,

19 s= G ; pour ^ = o, 7} =s I ,on obtiendrait —

Les déterminants doivent toujours être calculés de manière que le terme provenant de la diagonale de gauche à droite soit pris négativement.

Note du Traducteur, Comme

et que

on a

de

la formule (i) est vérifiée par ce qui précède. La démonstration de la formule (2) exige quelques explications qui pourront être données dans un autre article.

SOLUTIONS BES «IlESTIONS 440 ET 442

(Toir page 296) ;

pab m. p. de VIMEU,

Eégent à Saumur.

Les deux identités proposées peuvent se déduire d'une même formule qui peut servir à en trouver une infinité d'autres.

Soient x une variable positive entière qui peut être nulle; "P^ une fonction déterminée de cette variable; e, n des nombres entiers positifs; en ajoutant membre à membre les n identités suivantes :

I Px+i — P*

1 P*+*+i — Px+i

Px+I

Px+*-|-l P*+ï Pj?-|.|-|-l

I Px+n "" P«-Hi— 1

P*+it * x-Hi— 1 *«+»

on a l'identité

i=ii

-Px yP*+/ — Px+i-. .

r+n ^^ Px-i-i— 1 PaH-i

en posant successivement

P, = tang(flfo-f-flrt4-. . .-+-/!,),

P, = cet (<îo ■+• «1 -*-... -f- flTx),

P, = log («0 -h ^1 H- ... + ^'x),

on a

Cts+t-h»' --f-ûx+n

-H. . .-hûr,)(«o-i-. ..-hûx+B)

i=rt

sin(fl,+, -h. ..-h^,+„)

sin (ûTo H- , . . -h ûx) sin (^o -+-... -h fl*+ii)

^ sin (flo -+-... -f- ûx+i-j

(flo4-...-f-ûx+i-i)sin(ûo-»-. . • + «*+!)

COS («0+ . • . -f- /7,) COS («0 -h . . . -H «x-Hi)

sin gx-H-

C05(€I, -h. .. 4- ax+,-i)cOS{ao -h. ..-+-«,+,)'

log («« -h . . . 4- ûf«) îog(a. -H . . . -h a,+«) log f ,fi±l^l±-ff±L\

^ \go+...-f-gx-f4-i/ .

■"" ^log (âf<, -f- . . . -|J û*+/-i) iog(ao -h . . .-+-<!,+,•)'

en posant a:= o dans (i) et (2), on a les identités proposées dans les questions 440, 442.

L'énoncé de la question 440 renferme une faute d'impression *, le premier facteur du dénominateur doit être ao; et non a^ dans le premier membre.

Note, M. Delestrée, élève au lycée Saint-Louis, a donné une bonne solution particulière de la question 442^ ainsi que M. G. Andanson, candidat à la Licence, à Lyon.