OU

imaginaire.

Donc, Téquation (i) n'admet pour racine positive que le nombre 4*

Par conséquent j les nombres 3, 4> 5, 6 sont les valeurs des trois côtés et de la surface du triangle demandé.

Note. C'est encore là une ancienne question proposée, plusieurs fois, dans les concours d'admission à l'École Polytechnique. Elle n'a pas été, d'abord, résolue spontanément^ maïs, au concours de l'année suivante, plusieurs candidats, en la traitant, ont Ml ^rexvte àe spontanéité : ce qui leur a été très-utile. G.

(TOlr I. XV, p. 5Î);

Par m. chanson,

Élève du lycée de Versailles (classe de M. Vannson).

Etant donnée la progression arithmétique

dans laquelle a et r sont premiers entre eux, faire voir qu'on peut y trouver un nombre illimité de termes premiers avec un nombre donné quelconque A.

Cela revient à dire qu'on peut choisir n d'une injSnité de manières de sorte que a -+• nr soit premier avec A.

Pour cela , je distingue trois cas :

1°. Celui où A est premier à la fois avec à et r.

Soit

A=6^V'rf';

( 397 ) je n'ai qu'à poser

/, js, u pouvant d'ailleurs varier d'une infinité de manières. Je dis que A sera premier avec a + nr; car si un facteur premier de A divisait la somme a -f- nr comme il divise une de ses parties nr (car n renferme par hypotbèse tous les facteurs premiers de A), il diviserait Tautre parties, ce qui est contre l'hypothèse, n étant premier avecâ,

2*^. A est premier avec un des nombres a et r seulemoi t, avec a par exemple.

Soient

je n'ai qu'à prendre

c'est-à-dire égal au produit de tous les facteurs premiers de A qui n'entrent pas dans r avec des exposants quel* conques. Il est clair alors que A sera premier avec a -h nr^ car si a ou un facteur analogue (c'est-à-dire un des facteurs qui entrent dans r) divisait a + nr divisant nr^ il devrait diviser a 5 ce qui est contre Thypothèse , parce que a est supposé premier avec r. Si c'était un des facteurs i, c qui n^entrent pas dans r qui divisât a -H nr, on arriverait à la même absurdité.

Si A était premier avec r seulement, on raisonnerait de la même façon.

Passant donc au troisième cas , c'^est-à-dire à celui où A n'est premier ni avec a ni avec r, alors si

r=a*p",..., a:=zy^ S ,..,, et A = o^... 7*... i*'c'..., je choisis

y y z pouvant être quelconques. Je démontrerai comme

(398) prëcédemment qu'aucun facteur de A ne peut diviser a-i-nr*^ car n ayant été choisi de la manière indiquée, ce facteur diviserait une des parties de la somme, et, par suite, diviserait l'autre, ce qui conduirait à une absurdité. ^

Note du Rédacteur. Dans les cas deuxième et troisième, quand A n'aura pas d'autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans a et r, on aura n=i, mais quand a-^ar est premier à A, a-H- (a -^ AA) r Test également ^ il y a donc encore dans a + nr une infinité de nombres premiers à A.

L'avantage de la démonstration précédente est de ne pas supposer la résolution de Téquation indéterminée du premier degré à deux iuconnues. Jacobi , dans l'introduction de son Canon arithmeticus, indique une démoasiration qui suppose cette résolution , et qui peut donner l'expression générale des valeurs de n qui rendent a 4- nr premier au nombre A.

On y lit :

« Obserifo si A *»f B inter se pvimi sint, semper ejlci posse addendo ipsi A multiplum ipsius B ut prodeat numerus ad alium quendibet C primus. 8it enim B' factor

maximus ipsius C ad B primus sive ^^^ factor maxîmus

communis ipsorum B et C ideoque primus ad numéros A, A-f-aBj erit A + aB ad C primus, si ad B' primus est; sub forma autem A -f- aB pro diversis ipsius a valoribus coutinenlur numeri, qui respectu moduli B' ad B primi residua quœcunque placet relinquunt ; inde etiam forma A 4* aB continet numéros ad B' primos, q. d. e.

Il y a ici omission ou erreur de copie.

Soient

( 399 )• a, b^c^..*^p^q^..,yi\, 5 étant premiers, on aura

qui n'est pas lo plus grand commun diviseur de C et B, mais bien un multiple de ce plus grand commun diviseur.

(Toirt. XIV, p.l«);

Pau m. de JONQUIÈRES.

Lieutenant de vaisseau.

La question peut s*exprimer ainsi :

Étant donnés sur un plan deux systèmes de sept points qui se correspondent un à un, tromper dans ce plan deux points P, P' tels^ que si on les joint aux points donnés, respectivement, les deux faisceaux résultants soient komo graphiques.

Cette question est déterminée , car elle comporte quatre conditions, savoir que les quatre rapports anharmoniques

V{abcii), P{abce), V{ahcf), V[abcg)

soient égaux respectivement aux quatre rapports anbarmoniques

P'(«'ô'c'rf'), V'{a'b'c'e), V'[a'b'c'f'), V [a' b' i/ g' ) ,

et il faut précisément quatre éléments pour déterminer deux poinis, par exemple leurs distances à deux axes fixes, telles que leurs coordonnées x ^ y.

( 4oo)

Si les deux systèmes se composent de six points chacun , au lieu de sept , la question est indéternnncc^ puisqu'elle ne comporte que trois conditions. D'ailleurs on ne peut ps^s prendre arbitrairement un point P. Doue uiie infinité de points satisfont à la question , et ils sont dis^ tribués sur un lieu géométrique qu'il s'agit de déter* miner.

Cette détermination entraînera évidemment la solution complète du problème proposé , et par conséquent elle constitue la seule difficuké qu'il présente. En effet, si ces lieux géométriques, relatifs aux systèmes a^ b^Cyd^e^f et a', i', c', d', e\ /', sont deux courbes U et U' et sont deux autres courbes Y, V relativement aux systèmes a, i , c, rf, e, g et a', i' c\ d\ e\ g\ il est clair que les points communs aux courbes U et V, et les point « communs aux courbes D' et V, seront précisément ceux qui résolvent la question.

Les raisonnements étant identiques pour chacune de ces quatre courbes, il suffit de s'occuper de la courbe 0.

Je dis qu'elle passe par les six points a, b^ c ^dj e,/, et qu'elle n'a pas de points multiples en ces points. Car si Ton suppose le point P en a, par exemple, et quon détermine le point P' tel, que le faisceau P' [b' c' d'e'f] soit homographique au faisceau P (bcdef)^ lequel point a toujours, comme on sait, une position et une seule ^ comme la direction de la droite Pa est indéterminée, on peut dire que le point P satisfait à la question que le faisceau V [abcdef) soit homographique au faisceau V {a'b' c' d' e'f')\ ce' qui prouve que la courbe cherchée passe par le point P, qui est ici le point a y et elle n'y passe qu'une fois, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de point multiple en ce point, parce qu'il n'existe qu'une seule position correspondante du point P'.

Cela posé, je vais démontrer qu'une conique quelcon-

( 4oi )

que C, menée par les quatre points « , J , c , <i, ne peut rencontrer la courbe cherchée qu'en deux points autres que ces quatre là , ce qui su6fira pour prouver que cette courbe est du troisième ordre.

Soit C la conique komographiqne passant par les quatre points a', è', c\ cV ^ c'est-à-dire la conique qui est capable du même rapport anharmonique que C , ou qui sotis^tendle même rapport que C. Deux points fixes O, O', pris sur ces deux courbes respectivement, donnent lieu à deux rapports anharmoniques égaux

. 0{abcd), O'(a'b'c'd').

Qu'on prenne sur la seconde un point P^ arbitrai rcmeul^ il luît^rrespoud sur la première un point P, et un seul , tel que le rapport anharmonique V [abce) est égal au rapport anharmonique P (a' J' c' e') ; et réciproquement, un point P étant pris sur la première conique, il lui correspond sur la sTeconde un seul point P' tel , que les deux rapports anharmoniques soient égaux. Donc les deux droites OP et O'P' tournant autour des deux points fixes O, O' se correspondent anharmoniquement. Que l'on considère maintenant le rapport anharmonique V (a' b' df) 5 il correspondra au point P' un point Pj sur la conique C tel, que le rapport anharmonique V^^nbcf) sera égal kV [a' b^ c' f) ^ et la droite,OPi correspondra anharmoniquemenl à la droite O' P'. Donc les deux droites OPet OPi se correspondent anharmoniquement, c'està-dire qu'elles forment deux faisceaux homographîques. Ces deux faisceaux ont deux rayons doubles (réels ou imaginaires) dont chacun détermine , sur la conique C, un point P auquel correspond, sur la conique C, un point P' tel , que les deux rapports anharmoniques

V'{a'h'c'c') et P'{«'yc'/:) Ânn. de Maihémat., i. XVU. (Novembre iSf^S.) ^6'

(4oa) sont égaax respectivement aux deux rapports anharmoniques

V{abce') et P(abt/).

Le point P appartient donc à la courbe cherchée. Et comme il n existe que deux rayons doubles, il n^existe aussi que deux points semblables. Ce qu'il fallait démontrer.

Donc la courbe U, lieu des points P, est du troisième ordre, et il en est de même de la courbe U', lieu des points P'.

La démonstration qui précède fait voir comment on pourra se procurer un nombre de points suffisants ponr construire ces courbes , et elle montre aussi de quelle manière leurs points respectifs se conjuguent deux à deux pour satisfaire aux conditions du problème. On connaît déjà six points de chacune déciles : ce sont les six points donnés dans chaque système, et il est d'ailleurs à peu près inutile de remarquer que si le point P est placé en Tun quelconque a des points du premier système, le point conjugué P' ne se trouve pas en a' généralement.

Les courbes V et V sont également des courbes du troisième ordre passant respectivement par les six points a, i, c,c?, è, g' et a', 6', c', d\e% g'.

Les courbes U et V, ayant en commun les cinq points a^b^ Cy d jC se coupent en quatre autres points p, ^, r, 5, et les courbes U* et V se coupent aussi en quatre points p', q\ r', 5' autres que a', i', c', d'^ e\ Les quatre premiers sont les points P et les quatre autres sont les points P', qui satisfont à l'énoncé du problème général, lequel admet ainsi quatre solutions , qui peuvent d'ailleurs être, en tout ou en partie 9 réelles ou imaginaires, celles-ci marchant toujours par couples comme de raison.

Quant à la construction des points p, y, etc., elle s'effectue géométriquement f d'une manière très-simple, sans

( 4o3 ) exiger le tracé des courbes du troisième otdre qui sont seulement déterminées par neuf de leurs poinu respectivement. Mais je n'entrerai pas ici dans le détail de cette question accessoire, qui est résolue complètement dans rouvrage que j'ai publié sous le titre de Mélanges de Géométrie pure, chap. IV , n° 4i .

Mais les quatre points d'intersection p, q, r, s de ces deux courbes ne peuvent pas satisfaire tous les quatre à la question, et par conséquent il y «i a an moins un qui lui est étranger. Car s'ils saUsfaisaient tous les quatre, une troisième courbe, construite avec les six poinu a, b, *^' <^' /> g^ passerait aussi par ces quatre points. Cette courbe et les deux premières auraient donc huit points communs, savoir, «, è, c, d et les quatre p^ q, r, s. Par conséqnent les trois courbes passeraient par un même neuvième point. Ce point serait e à l'égard des deux preinières courbes, /à l'égard de la première el de la troisième, et g- à l'égard de la deuxième et de la troisième. Résulut impossible. Donc le problème proposé n'admet que trois solutions , ainsi que M. Cbasles Fa annoncé dans les Nouvelles Annales de Mathématiques.

IPPLICATION DE U NOPBllE AMAIYSI AUX SURFACES

BU swQN» wm

(ToU'parcJrw);

Par m. PAINTIN,

Docteur es Sciences.

§ n. — Discussion.