Supposons que Tinvariant - — soit différent de
zéro \ on pourra encore continuer la décomposition par rapport à la variable x,, et Ton obtiendra
Pu P34 O44
après avoir posé (i^oirjes formules 2) dà ^^ dus.
«^44 aÛ44 rffl34
Si enfin Ton a égard à la première des relations (5), on sera conduit à la forme définitive
dà
/TVN vt I ^^ va . da^^ «m A
' dos^dan d^^ d^ *
r/flj3 r//744 <//744
( 4o6 ) On conclura donc, daQS T hypothèse actiuelle, que
lorsque Vîm^an'ant -z — est différent de zéro, V équation (I)
représente des surfaces à centre unique (théorème n° 2). Les coordonnées du centre seront données par les équations
Pour discuter Téquation (IV) je distinguerai deux cas. Premier cas. Vini^ariant -i — et le déterminant -
étant taus deux positifs^ on voit que Féquation (IV) appartient au genre ellipsoïde, et que
Si A <[ o, cm a un ellipsoïde réel ;
Si A = O9 OD a un point ;
Si À ]>> o» on a un ellipsoïde imaginaire.
Second cas. Lim^ariant - — étant différent de zéro
et n étant pas positif en même temps. que le déterminant — 5 r^quation (IV) appartient au genre hyper-
boloïde.
Avec A ]> o, on aura à considérer :
dau da^^ da^i
ce qui donne les alternances désignes
da^^ ^ fla^^^da^s
ce qui donne les alternances de signes
et '^'^
ce qui donne les alternances de signes
on reconnaît dans ces différents cas rhyperboloïde à une nappe.
Avec A <[ o, oh aura à considérer :
dà ^ d^ûi ^
da^t -^ da^i da^^ ^
ce qui donne les alternances de signes
ce qui donne les alternances de signes
rfA ^ d'^ ^
««44 ««33 aÛ44
ce qui donne les alternances de signes
on reconnaît Fhyperboloïde à deux nappes. Enfin, avec A = o, on aura à considérer
1». ■ -j->o et - — :t-<o,
aûf44 au' 33 rt«44
ce qui donne les alternances de signes
dus. d'ùi
ce qui donne les alternances de signes
dou da^i da^^ ^
ce qui donne les alternances de signes
on reconnaît le cône.
Donc, en résumé,
Si A <[ o, on a un hyperboloïde à deux nappes f
Si A = o, on a uq cône ;
Si A ^ o, on a un hyperboloïde à une nappe.
1 1 . Supposons maintenant que Tinvariant - — soit nul.
da^^
Il faut remonter à Téquation (III), et y introduire l'hypothèse - — = cÎ44= o ^ elle devient alors
V2 . va ^11^34 , fl|l ©33 }
