X: -h /?3iAj — 2 X^ X^ H X\ = O

On conclura donc, dans l'hypothèse actuelle, que

lorsque Vinuariant —^ est nul, V équation (I) représente

des surfaces dénuées de centre ou possédant une infinité de centres (n" 2).

Afin de discuter Téquation (V) observons que la première des relations (5) (§ P*^) donne, dans le cas actuel,

( 4o9 ) ce qui montre que A et p^^ sont de signes contraires, et, eu outre, que A et â^k s'annulent en même temps, puisqu'on suppose pzi, différent de zéro.

Je distinguerai encore deux cas.

Premier cas. Vint^ariant - — étant nul. et le discri-

minant A différent de zéro, l'équation (V) appartient au genre paraboloïde ; et si

A<^o, c'est-à dire />3«>o, on a un paraboloïde elliptique; A>o, c'est-à-dire />34<Co, oaaun paraboloïde hyperbolique.

Secoud cas. L'inv^ariant - — étant nul ainsi que le

discriminant A, l'équation (V) appartient au genre cylindrique.

On voit, en effet, par la relation (i), que si A==: o, on aura ^34 = 0, et réciproquement ; l'équation (V) prendra donc la forme

(VI) XjH--^XÎ4-^n--57-*;=o,

da^z da^k et si

- ]> o avec — — > o,

on aura un cylindre elliptique imaginaire^

d'ts. </A

da^^ da44 da^z

on aura un cylindre elliptique ;

si - — -— < o avec — - ^ o, on aura un cylindre hyperbolique 5

(4io)

SI -r — — — > o avec - — = o,

dM 33 «1044 ««33

on aura deux plans imaginaires qui se coupent ou une droite ;

SI -r — - — < O avec -j — = o, on aura deux plans qUi se coupent.

Seconde hypothèse.

Le déterminant pgr ou 7— est nul* et le déterm-

^ • dusida^i

nant p,i ou -z ; — est diffèrent de zéro.

12. Dans cette hypothèse, il faut avoir recours è Véquation i[n)^ qui devient alors :

'^\'^Pu^\ +/?23-'^î —irxi.XtX^ — 2r,3Xajr« — 2r,2jr3 0:4 = 0.

Le coefficient /?,4 étant différent de zéro, on pourra ordonner par rapport à la variable x^ et mettre l'équation sous cette forme

Pu ''13 H- ''ij ''m

"~~ 2 —————— ^^—— jjj J74

après avoir posé (t;oir les formules 4)

da-ii dcikk da^i da^^ da^^ da^^ da^^ dctt

et enfin, en ayant égard aux relations (7) et (9), et y introduisant l'hypothèse /78 4 = o, on trouvera

(VII) X^-hpu^l-i x\ — 2. x^x^ H X]=Z0.

Pu Pu Pu

(4i. ) 13. Supposons que Tinvariant J44 soit différent de zéro; on pourra encore continuer la décomposition par rapport à la variable Xi, et on obtiendra

Pu Pu O44

après avoir posé

d^ dà dà

ilOi^ ^4i ^34

OU enfin, en faisant intervenir la seconde des relations (5),

iP A déiii An A

da^i da^^ dot^

Or on admet J*4^o, et ^54== 05 la première des relations (7) donne

(2) . ^44 «M = — (ru)^

d'où il résulte que ^ — est nécessairement négatif. Avec A ^ o, on aura à considérer ;

da^i don don

ce qui donne les alternances de signes

-h -h -- — ; dA ^ d'à.

2". :r--<o et - — -— .<o,

e qui donne les alternances de signes

-H ~ + -; on reconnaît rbyperboloïde à une nappe.

( 4ia )

Avec A <[ o, on aura à considérer :

dtL ^ d}^ ^

ce qui donne les alternances de signes

ce qui donne les alternances de signes

on reconnaît l'hyperboloïde à deux nappes. Enfin avec A= o, on aura à considérer :

dus. ^ d'u ^

da^^ da^^ da4^

ce qui donne les alternances de signes

ce qui donne les alternances de signes

-»- — -h; on reconnaît le cône.

- Cette analyse complète le résumé correspondant au second cas de la première hypothèse (10).

dA 14. Supposons maintenant que l'invariant ——soit

nul. Introduisant cette hypothèse dans Téquation (VII)? il vient

ft'%r\ V» . -V» ^J|024 , ^11 ©27 2

IX) X; H- /?,4 X; — • 2 XiXi-^ ^î=o. .

Pu P7i

( 4«3 ) Or la seconde des relations (5) donne, puisque ()^4 = o,

ce qui montre que A et p^i, sont de signes contraires^ et, en outre, que A et ^^^ s'annulent en même temps, puisqu'on suppose /E724 différent de zéro.

Je distinguerai deux cas.

Premier cas. Le discriminant A est différent de zéro.

Alors ^î4 est différent de zéro, et on voit que si

A<;o, c'est à-dire /?a,>o, od a un paraboloïde elliptique ; A]> o, c'est-à-dire /?«<^ o, on a un paraboloïde hyperbolique.

Second cas. Le discriminant A est nuL Alors J,4 = o, et réciproquement. Dans ce cas, l'équation (IX) se réduit à

(X) xî-f.-^x5^-^3^x; = o.

^ ^ ' da„da,, ' d' ^ *

dan da^^

Or la triple hypothèse [p^k = Oi cJ** = o, â^t, = o), introduite dans la première et la seconde des relations (7), donne

(4) /•i4=o, et 533^,,= — (r.a)';

puis dans la seconde des relations (9)

rtiPu= o,

et, comme pti, est différent de zéro, on en conclut ri, = o, et par suite

La distinction des différentes espèces de surfaces ne peut donc plus se fonder sur la considération des déterrai-

nanu

qui sont nuls tous deux ; il faut y sulutitiicr les détermi-

nanu

^A dà

et

da2i da^^ da^

L'équation (X) nous conduira aux conséquences suivantes :

Lorsque

d^à flPA ^ dà

afl33 flto44 aOî, ûrfl44 ^ aflr44

si - — T— >o avec -r— >o,

aû!22 a<74( aaj)

on a un cylindre elliptique imaginaire ;

d'à ^ dà ^

SI -r — -7- > o avec -j— < o,

a^ss 0^44 a<?a2

on a un cylindre elliptique 5

. d'à ^ dà ^ ' <C o avec

ai j — ^^ " «»>c^ -z — <">

on a un cylindre hyperbolique ;

d'à ^ rfA

dai2 do^^ da^i

on a deux plans imaginaires qui se coupent ;

d'à ^ dà

SI — <^ o avec - — = o,

dHij dûii dû 27

on a deux plans qui se coupent.

Cette étude complète les résultats établis dans la première hypothèse (11).

Troisième hypothèse.

Les deux déterminants -j — - — et - — - — sont nuls. aa23 aat^ dan «fl<4

i5. L'équation (II), à laquelle il faut maintenant avoir recours, devient

XJ -|-/>J3 ^î — 2 r,4 Xi Xi — 2 r,3 Xi x^ — 2r„ x^ x^ = o.

Or cette dernière équation peut être soumise aux transformations suivantes :

X; — (rM^î-f-r.jX^)! 2J73-f- i — xA H x;=ro;

ou, en posant

2 Ai — /*|4 Xi —T" 7*1 j «r4 "T" 2 •ir3 ••^ 2 ^-~ •3?4 î

2 A.3 — /'|4 JJj -f- Tu Xj — 2X3 — 2 — J?4 ^

(XI) x; - xî -t- xî + '""-P" ^ '''""''" x; =0.

Or en y faisant p^^ = o^ /7,4 = o, les trois premières des relations (7) (§ I") donnent

|^44fl,, = — '•J, ; ^33«M = — r]^y .

$ii «Il = — r' j ;

mais la troisième du groupe (9), c'est-à-dire

^23 «M = ''t3 ''iJ H- ''n Pi:i

nous conduira à

.\ ^» «- ^IiA-^l» -h2/„r.3r.4/^3.

Ojî O33 0,3 ---5 7

( 4i6 ) et comme (relations 5, § I®"^)

il en résulte

(7) A= ^(ru/?M -H 2 '••a '•13).

16. Si l'on suppose -7— différent de zéro, ce qui, en vertu de la relation

exige que i\i, ne soit pas nul, et montre, en même temps,

que -7 — est essentiellement négatif, l'équation (XI) peut

s'écrire :

(XII) X : - Xî -h X^ H- fl.. -^ xj = o ,

da^^ par suite, si

A <^ o, on a un hyperboloïde à deux nappes;

A = o, CD a un cône;

A > o, on a un hyperboloïde à une nappe.