Admettons, en second lieu, que rinvariant

soit nul.

Les trois hj pothèses

P^s -■ O, /?„ = O, §is = O,

donnent, d'après les relations (5) § P*^,

puis, d'après la première des relations (7) gf,

et enfin d'après la première des relations (io), § l""**)

(lo) A = o

D'un autre côté l'équation (U) se réduit à

( Xm) X; — 2 rt3 *a a?4 — 2 r„ x^ x^ -f- />» arj = o*

C'est un cylindre parabolique.

Ainsi, lorsque

d^l d'à. dùi

da^^ dOi^ da^i da^ dott

ce qui entraîne comme conséquence A = o, Véquatien (I) représente un cylindre parabolique.

Ceci suppose que r^s et r^ ne sont pas nuls en même temps.

Si l'on avait ri8 = o et r^ = o, ce qui donnerait, diaprés les relations (7) § P",

et réciproquement, l'équation (XIII) deviendrait

(XIV) X]-hp,,xl=o,

et représenterait deux plans parallèles imaginaires, si

da^i da^^

deux

plans

parallèles, si

^A da^i da^i

deux

plans

qui se confondent,

rf» A

da„ da^i

Ann, de Mathémati<juesy t. XVH. (Novembre i858.) 27

Quatrième hypothèse.

V équation (I) ne renferme aucun des carrés xj,

18. Dans ce cas, il faut nécessairement admettre que r équation proposée renferme au n^oins un des rectangles Xi Xij Xi Xj, Xi Xs. Nous conviendrons alors de placer au second rang de la première ligne du discriminant à le coefficient ai, du rectangle Xi a:, qu'on suppose exister dans Féquation.

Dans l'hypothèse où nous qous plaçons, ^'équation (I) se présente sous la forme

( XV ) 2 «la o:, Xj -4- 2 a,3 jr, a:, -+- 2 «,« x, ^^4 -+- 2 a^ x, j',

•4- a «24 XjX4 -h 2 «34 X3 ^4 -4- «44 xj = O.

On arrivera encore à la décomposition en carrés, en suivant la méthode indiquée par M. Moutard. On prend les dérivées du premier membre (p (Xi, x,, x», x*) de Téquation ci-dessus par rapport aux variables Xi et Xi, faisant partie du rectangle qui n'a pas disparu, ce qui donne

1 df

2 e/.r, i dff

— — flf 12 .Ti -+- Û23 X3 -+- «34 J?4 1

puis on remarque que

I flJjX, x,-*-a„ fl, 8X1X3 -+-«,20,4 X, 0:4

à cette équation on ajoute Téquation (XV), après avoir

- -3:7 = «la -ï^a H- « 13 ^3 -+■ «14 •'^4 ]

multiplié ses detix membres par — » il vient

I dff dtf j

4 c/X| dXi

a, a «44 — 2ûi4«a4 ^î

d'où l'on conclut, après avoir posé

^ i /dff ^ dff\ a \dxi dXiJ

(XVI) X; — XJ — 4«I8 «aS-^l +4 («•« «84 — «M fl|4 — «18«î4)^8Jr4 H- 2 (fl,î «44 — 2 «,4 Ott) xl=S O.

19. Supposons, en premier lieu, qu'aucun des coefficients Aïs, a,8 ne soit nul; on pourra alors former le carré par rapport à la variable x^j et on trouvera

/ xî -xî~ 4/1,3 a„x;

{XVn)j 2û|3fl„(a,j«44— 2^I,4Ûa4)4-(fl„tf84— «,4^1,3 — a,3fl,4V s

en désignant par Xs la fonction linéaire

Or si , dans les formules (3 ) et (4) (§ I®**)? on introduit les hypothèses particulières

il vient

' /'»4 = — «îa,

. ^44 = 2fl|a«i8«as>

Waa = -— «,a(«ij«44 — ^^u «24)»

^34 = «l»(«ia«S4 «M «»3 «I8«J4)'

La première de ces égalités nous montre que

est différent de zéro et négatif', les autres nous permettent d^écrire ainsi qu'il suit Féquation (XVII) :

; — X; — 4fl,3 û„ X; -h -4 .x] = o,

ou enfin, si Ton a égard à la première des relations (5),

(XVIII) X; - x; - 4«.3«wXJ -f- — ^ xl = o.

Or nous avons supposé que les coefficients ai 2, a^s) ^ts n'étaient pas nuls, ce qui exige, d'après la seconde des formules (n), que CJ44 soit différent de zéro.

Discutons maintenant l'équation (XVIII)-

Avec A > o, on aura à considérer :

i^ fl|3«î3>Oy