XIX

-h 2(<ar,jfl'44— 2fl,4 0,4)^5 = 0.

Or, d'après les relations précédentes (11), on a

• A'ai = •— «îî>

d'où

On Yoit, d'après la valeur ci-dessus , que d^^ n'est pas nul , si Ton n'introduit pas d'autre hypothèse que celles que nous ayons admises ; et , par suite^ il en est de même de A: on remarquera, en outre, que A est essentiellement positif.

L'équation (XIX) représentera alors un paraboloïde hyperbolique^ conséquence qui se trouve incluse dans les conclusions du n^ 11 .

Supposons enfin A = o; ce qui exige que ô^^ soit nul, et réciproquement. L'équation (XIX) se réduit à

X; — XJ 4-2(fl,afl44 — 2auflî4)x; =0,

ou, en ayant égard aux relations (11)9

( XX ) X ; — X î — 2 ^' X î = o .

Or, dans ce cas,

on aura, par suite, à considérer

<o avec T^^o,

é/Oga rfrt44 rftf33 ^

ce qui donne un cylindre hyperbolique ^

• <[ o avec - — = o ,

c/û,3 ^^44 ^ dOy,

ce qui donne deux plans qui se coupent.

21 . Cette discussion détaillée nous montre que tous les genres et toutes les espèces , dans les surfaces du second ordre, se trouvent parfaitement caractérisés dans les

(4^3) tableaux suivants, qui en préseliteront le résumé sous plusieurs points de vue.

Résumés.

1^. - -tàrVAXOAMT ^ BXFFteJDBrr BE ZÉRO.

V^ FAMXUJB* — Surfaces à centre unique.

P' CAS. — V invariant -r — et le déterminant — tous deux

doti aa^i da^

posîti/s; genre ellipsoïde.

I négatif. . . Ellipsoïde réel, nul Point, positif. . . Ellipsoïde imaginaire.

N, B. Le déterminant -^ ; — ne peut pas être nul dans ce

dûiidait '^ " ^

cas.

d^ IP CAS. — L* invariant -: — étant différent de zéro et n'étant pas da^it

positif en même temps que le déterminant — — - — 5 genre

hjrperboloïde*

i négatif. . . Hyperboloïde à deux nappes, nul Cône, positif.. . . Hyperboloïde à une nappe.

«Ta N, B. Le déterminant — — - — peut être quelconque, posi-

tif, négatif, ou nul.

2*^ FAMXUiB. — Surfaces démiées de oentre ou pOMédant une infinité de centres.

' dà P' CAS. — L invariant - — étant nui et le discriminant à diffé-

rent de zéro; genre para boloïde.

^, . , i négatif. . . Paraboloïde elliptique.

Discnniinant A { ^ u i ~j u Z i-

( positif. . . Paraboloïde hyperbolique.

N, B. Le détermiDant — peut être quelconque, posi-

da^^da^^^ ^ ^ »r

tlf, négatif, ou nul ; seulement, il ne peut pas être nul en même

temps que -, — » car il en résulterait A = o.

datida^^

d^ II* CAS. — Uinpariant — — et le discriminant A étant nuls; da^i

genre cylindrique.

P. Les deux déterminants — — -z — et - — - — n étant pas

da^^datt da^^da^^

nuls en même temps :

da^z da^^

\ Tî 7 — -^ ^' 7i — -^ ^* cylindre elliptique imagmaire;

ûf^A ^ d^ ^ ,. , „. . > o, -- — <1 o, cylindre elliptique ;

; — <1 o- -; — ^ o , cylindre hyperbolique ;

\ da^z da,, ^ ^«33 ^

r/'A ^ dL j ....

— >> o, - — = o, deux plans imaginaires qui se

af^a dau da..

Si • ^ r-^o,

coupent ou une droite;

r/'A dù^ j , ' .

<; o, - — = o, deux plans qui se coupent.

da.. da,. da^

==0 et

dû. ^

> o , - — > o , cylindre elliptique imaginaire ;

da22 da4i ^^

d}^ ^ dA ^ ,. , „. .

- > o , -j — <; o , cylindre elliptique ;

. da^j dHf^ dHii

■ — <" o , - — ^ o , cylindre hyperbolique ;

( da„ dft^i ^ rffl,a ^ *

I <^A dA , , . . .

]> o , -z — = o , deux plans imaginaires qui se

I da22 da^ da>

{ coupent ou une droite;

I d*ÛL dA

f -T <r O, ,- - = o, deux plans qui se coupent.

I daji da^^ ^ da„ » r -i

IP. Les deux déterminants — et — — - — étant nuls en

oiigj da^^ da^ dot^

même temps :

\?. Si -; — et •- — ne sont pas puis à la fois, on a un cylindre

parabolique ;

„. dA dA

2®. Si - — = o et -r — = o , dû33 da^

> o, on a deux plans parallèles imaginaires;

dan da^A ' d'A l rfûjj da^^

i da„da..

< o , on a deux plans parallèles;

= o^ on a deux plans qui se confondent.

,r « , , ,. dA d'A d'âi

N. B. Les hypothèses -; — = o, ; — = o, -— = o

^ da^i da^i da^^ da^^ lia^^

entraînent, comme conséquence, A = o; mais il n'y a pas réciprocité.

(4^6) 22. On pourra résumer ainsi les signes caractéristiques des différents ^nres de surfaces :

Genre ellipsoïde. L'ÎBvariant -3 — et le déterminant

sont tous deux positîfk^; -; ; — n'est ja-

mais nul.

Genn> hyperbolo^ée. LWarian. £L est différent de ^kro et

n'est pas positif en même temps que le

déterminant - — r— — 9 qui d'ailleurs peut da^z da^t

être nul.

dA Genre paraboloïde. L'invariant -; — est nul , et le discriminant

da^^

d}L à est'différent de zéro : -; — peut être

rffl33 £/fl44

nul.

d^ Genre oriindrlgue. L'invariant - — et le discriminant A sont

tous deux nuls.

23. On peut encore dire, si Ton convient de regarder Tellipsoïde imaginaire, comme une surface réglée :

Discriminant négatif. Surfaces réelles dénuées de génératrices

rectilignes.

Discriminant positif. Surfaces réglées gauches. Discriminant nuL Surfaces réglées dé veloppables .

24, Nous achèverons cette discussion en énoiïçant les conditions déterminantes des surfaces particulières du second degré.

Pour que réquation générale du second degré représente :

Un cône, il faut et il suffit que

un paraboloïde, il faut et il suffit que —- = 0, et A^o;

un cylindre elUptiquç ou hyperboUquey il faut et il suffit que

un cylindre parabolique, il faut et il suffit que

dà ^ d'à d'à

dûjn ' dozi dati da^i da^^

deux plans qui se coupent, il faut et il suffît que

dà d^à

• = o , SI

da^^ da^i da^^ ^

dà d'à

•:7— = o, SI. - — -— =o;

deux plans parallèles , il faut et il. suffit que

dà ^ dà dà __

da,^'^ ' ^33"" ' c?««~~ ' d^à d'à

da^i da^ dau^^**

Note, Le théorèoie sur des. normales inséré (t. X¥I, p. 4^4) e&t consigné dans un Mémoire de M. LiouyîUe et inséré dans son journal (t.* VI, p. 4o3). (Dewulf*)

(4^8 ) SOLUTION DBS OUESTIONS 401 ET 402

(roir t. XVI, p. 401);

Par m. DEWULF.

Equation générale des déi^eloppées en coordonnées linéaires [voir Note à la fin).

Soient

les équations d'une courbe de degré n et de sa normale en un point [Xyy).

Les coordonnées linéaires de la normale sont {Nouvelles Annales ^ t. Vil, p. lo)

. il ^il

df df "^ df df

dx dy dx dy

Ces deux^ dernières équations donnent (3) px-\-qy = \.

En éliminant x en y entre les équations (i), (a), (3), nous aurons une équation entre p et q^ qui sera Téqualion de la développée de la courbe (i) en coordonnées linéaires. D'après Je théorème de Bezout, cette équation sera de degré /z*. Donc la développée d'une courbe de degré n est de la classe /i' (*).

\^^ L'ordre est 3« (n — i). Tm.

Ceci démontre un théorème de Steiner énoncé t. XIV, p. 233.

Pour Tellipse

les calculs précédemment indiqués donnent l'équation

et pour Thyperbole Téquation

ici C' = A«^B«.

Solution de la question 401.

Soit

Téquation de l'ellipse donnée. La droite dont on cherche Penveloppe a pour coordonnées linéaires

Eliminant x et / entre ces trois équations, nous aurons Téquation cherchée de Penveloppe, c'est

Cette équation représente évidemment le développement

(43o ) d'une ellipse dont les axes sont

Soit

Téquation de l'hyperbole donnée, l'enveloppe cherchée aura pour équation

qui représente la développée d'une hyperbole dont les axes sont

ah I ^ ab ,

On trouve avec la même facilité Féquation des coordonnées linéaires de la surface enveloppe de la question 402.

Une surface peut être représentée parle système de deux équations

(0 APfgy^) = o, ou /?X-+-^Y-hrZ = i; (2)

fjy q^ r étant des coordonnées linéaires , l'équation (i) suffit seule à représenter une surface.

L'équation du plan dont on cherclie l'enveloppe en coordonnées ordinaires est évidemment

Xy jr^ z étant les coordonnées^ du point qu'on projette sur

les trois plans coordonnés. Nous avons donc

Si le point x, j, z appartient k l'ellipsoïde

rélimination de x, j^ z entre les quatre dernières équations* nous donnera l'équation de la surface enveloppe

Il est facile de passer au cas des hyperholoïdes.

MM. Sacchi (Jose|)h) , de Milan, et Mendès, élève du lycée Saint-Louis , résolvent la question 401 directement. MM. Laquière (Marîus) et Carenou, élèves du même lycée, font observer que si l'on projette chaque point d^une parabole sur Taxe et sur la tangente qui passe par le sommet, T enveloppe de la droite qui réunit les deux projections est une parabole du second degré.

M. J.-Ch. Dupain , professeur, ramène le problème à une question de dioptrîque.

Note du Rédacteur. Soient

(i) pjr-^qx=i

Téquation d'une droite \

une relation donnée entre p et ^ : on trouve pour enveloppe de la droite (i) , par le procédé connu,

OÙ (P est une fonction connue: -j - sont les coordonnées T P q

linéaires de la courbe enveloppe, dénomination întro«

duîle par M. Plûcker, qui nomme coordonnées par points

(punk-coordinaten), le système cartésien i^bv points \ il

est évident qu'on peut passer d'un système à l'autre. Nous

avons jugé nécessaire de rappeler ce qu'on lit Nouvelles

Annales^ t. VII, p. lo.

(roir page 360);

Par m. a. TERQUEM,

Élève au lycée Saint-Louis.

Une hyperbole équilatère homofocale à une ellipse intercepte sur les côtés d'un angle droit circonscrit à l'ellipse deux cordes égales .

Démonstration, Soit l'équation de l'ellipse

celle de l'hyperbole équilatère homofocale est

Les équations des tangentes perpendiculaires seront de la forme

Je cherche Tintersection de la première tangente avec

l'hyperbole ; les abscisses sont données par Féquation du

second degré suivante :

a' ( 2 /w* -^ I ^ -4- ft'

il— m^)x^±'2.mJa^m^ -^ b' x ^^ ' — =o.

La différence des racines se trouve immédiatement

ou, en réduisant et élevant au carré,

La différence du carré des ordonnées s'obtient aussi immédiatement en substituant les valeurs deji/etdea/'dans l'équation de la tangente

En désignant par / la longueur de la corde, on aura

Cette valeur de /* ne variera pas si on remplace m par

; donc les deuxcordes sont égales. c. q. f. d.

Note, La longueur de la corde varie avec la fraction

^ en remplaçant /;/ par tang a , on trouve