MT I
MN ■"■ sin p*
Coupons maintenant le système entier par un plan P faisant un angle a avec le plan CG , et mené de telle sorte que son intersection D avec CG passe dans l'intérieur du cône» Ce plan P déterminera dans le cône une conique EE', dans la sphère un cercle AB tangent intérieurement à la conique en deux points symétriques par rapport au grand axe , enfin dans le plan CG la droite D qui passera par les deux points de contact.
Maintenant si Ton appelle mt la tangente menée au cercle AB par un point m pris sur la section EE' et md la perpendiculaire abaissée de m sur la droite D , il est aisé de voir que Ton aura •
mt I mt sin a
md sin a sin p md sin p
•( 35 ) L.e rapport -r— ^ est, comme on peut le voir encore, le
rapporl - de la conique.
On pourra donc énoncer ce tliéorème :
Si dans l'intérieur d'une conique on inscrit un cercle ayant son centre sur un axe principal (*), et si par les deux points de contact on tire une droite, la tangente menée au cercle par un point de la conique et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite seront dans
un rapport constant et égal au rapport - de la conique.
3. Soit maintenant le cône S et les deux sphères OO ' inscrites suivant les parallèles CG, C'G'. En appelant 2 S la distance CC comprise entre les points de contact des sphères avec une des génératrices du cône, MT, MT' les tangentes menées à ces sphères par un point M du cône, on a évidemment pour tout point pris entre les -deux parallèles
MT-+-Mr=2S.
Fie. 2.
C) Focal. Tm.
(36) Pour tout point pris en dehors du côté de Tun des cercles, de C G' par exemple ,
MT — MT'=:îaS,
et Ton peut définir le c6ne S le lieu des points dont les tangentes aux deux sphères O et O' ont leur somme ou leur différence égale à la constante 2 S.
Coupons maintenant le système entier par un plan P qui détermine dans le cône la conique EE' et dans les sphères les cercles AB, A'B' tangents intérieurement à la conique. En appelant mt, ml/ les tangentes menées aux deux cercles par un point m pris sur la conique, on aura
/w? 4- w^ = 2 S ; lorsque m sera pris entre les deux cercles
mt-^ mi' = ^Sy ou /»r' —- /w/ =: a S
dans le cas contraire. On obtiendra ainsi ce théorème :
Deux cercles étant inscrits à une conîgue et ayant leurs centres sur son axe principal , pour un point quelconque pris sur la courbe y la somme ou la différence 2 S des tangentes aux deux cercles est constante.
On remarquera encore qu'en appelant a l'angle du plan P avec l'un des plans CG, C G', |3 celui des génératrices du cône avec les mêmes glans et 2/ la distance entre les centres des deux cercles AB , A'B', on a
2 / sin a c
aS sin p a
4. Ces propriétés dont jouissent ainsi les cercles inscrits dans les coniques sont analogues à celles des foyers. Nous pourrions démontrer qu elles se retrouvent encore dans un grand nombre d'autres cercles. L'ensemble de ces cercles constitue une série ou suite à laquelle les premiers appartiennent , et qui comprend même les foyers comme
(37) cercles dont le rayon est égal à zéro. Nous avons dû né' gliger certains détails assez intéressants, mais qui nous auraient menés trop loin.
On remarquera que les cercles osculateurs aux sommets du grand axe dans une conique peuvent être considérés comme cercles doublement tangents à la courbe, et comme tels, jouissent des propriétés ci-dessus mentionnées. Cette observation nous conduit à cette autre : Une sphère étant inscrite dans un cône, si Von coupe le système par un plan mené suivant une tangente au parallèle de contact, ce plan détermine dans la sphère un cercle qui est osculateur au sommet de la courbe dé^ terminée dans le cône,
5. Ces préliminaires posés, nous allons voir comment le théorème de M, Dandelin s'étend aux surfaces du second degré et de révolution , autres que le cône ou le cylindre qui en est un cas particulier.
Ces surfaces sont au nombre de cinq, savoir : Tellipsoïde allongé, le paraboloïde , Thyperboloïde à deux nappes, l'hyperboloïde à une nappe et l'ellipsoïde aplati.
Les trois premières sont engendrées par le mouvement d'une conique autour de l'axe qui contient ses foyers. Les dernières proviennent de la révolution d'une ellipse ou d^une hyperbole autour de leur axe secondaire.
Considérons une des trois premières , ellipsoïde allongé, byperboloïde à deux nappes ou paraboloïde. Supposons
Fie. 3.
( Ï8 ) qu'à cette surface on ait inscrit une sphère et qu'on ait mené un plan CG suivant le parallèle de contact. Cette surface pourra se définir le lieu de» points tels, que la tangente MT menée à la sphère par un de ces points soit dans un rapport constant av«c la distance MN du même point au plan du parallèle de contact,
e et a étant des éléments de la conique génératrice.
Cela posé , concevons un plan P tangent à la sphère en un point F coupant la surface suivant une courbe EE' et le plan CG du parallèle suivant une droite D. Soit oc Tangle formé par les plans Pet CG. Pour un point m pris sur la section, la ligne m F est une des tangentes à 1» sphère. En appelant mN la perpendiculaire abaissée de m sur le plan CG, on a
w F __ c /wN a
D'ailleurs on a aussi
mis = md sin a ,
md étant la distance de m à Finterseclion D^ donc
/wF c .
— -, = --sina.
ma a
La courbe EË^ est une conique , T eu est le foyer, D la^ directrice, et le rapport de son excentricité à son grand
axe est écal à -sin a.
Au lieu de loucher la sphère, le plan pourrait la couper de façon que le cercle de section fût langent eu deux points à la courbe déterminée dans la surface. Dès
{ 39 ) lors on aurait un système du genre de ceux que nous a déjà fournis le cône.
6. Soient encore Tune des surfaces mentionnées et deux sphèrps inscrites. La somme ou la différence 2 S des tangentes menées aux deux sphères d'un point quelconque de la surface est constante et telle , que
2/ étant la distance eiître les centres des deux sphères. Si l'on coupe cette surface par un plan tangent aux sphères on deux points F, F', les distances m F, /wF' d*un point de la section aux deux points de contact donneront encore
mF±/wF' = aS.
La courbe sera encore une conique, F, F' en seront les foyers.
Hyper boloïde à une nappe,
7. L'hyperboloïde à une nappe se définit quelquefois comme la surface engendrée par le mouvement d'une droite autour d'un axe fixe. Le théorème de M. Dandelin s'y applique alors sans difficulté. Les raisonnements à faire sont absolument les mêmes que pour le cône^ c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas. .
Lorsque, au contraire, on part d'abord de l'idée que celte surface est produite par la révolution d'une hyperbole, on revient au cas précédent en démontrant qu'elle admet aussi un système de génératrices rectilignes. Voici une méthode que l'on peut suivre.
Nous démontrons d'abord que, un cercle étant construit sur Taxe transverse d'une hyperbole comme diamètre, la tangente au cercle menée d'un point quel-
conque de la courbe est dans un rapport constant avec la distance du même point à Taxe transverse.
Soit le point O servant à la fois de sommet à un cône et de centre à une sphère. Soit rie rayon de cette sphère,
FiG. 4.
(3 Tangle des génératrices du cône avec un plan perpendiculaire à Taxe ; CG , C G' deux cercles parallèles suivant lesquels la sphère coupe le cône.
Menons un plan P qui coupe le cône suivant une hyperbole et la sphère suivant un cercle, de telle façon que celui-ci ait pour diamètre Taxe transverse de celle-là. (La figure représente comme les précédentes la section du système entier par un plan mené suivant l'axe du cône perpendiculairement au plan coupant P).
La distance MN d'un point M pris sur l'hyperbole à l'axe tranaverse de cette courbe nous est donnée par l'expression ^mp,mp\
(mp^ mp' sont deux segments déterminés par m sur la parallèle pp^ menée'dans notre figure aux droites CG , CG' , m est la projection de M sur le plan de la figure.) La tangeûte MT menée de M au cercle GG' ou à la sphère O est égale à
v/{MO-f-r)(MO— .r) ou v>C'./>G
(en employant les segments ^C, pG de notre figure).
Or -,
w/;=/?Gcosp, mp' := p C cos p y donc
\/pG. pC cosp MT I
sjmp,mp' ~' " MN'~cosp'
Donc, un cercle ayant pour diamètre l'axe transv^erse d'une hyperbole, la tangente menée au cercle dUm point quelconque de la courbe et la distance du même point à l'axe transv^erse sont dans un rapport constant.
Ce rapport est, comme on pourra le voir aisément,
égalà^>i.
Par suite, une sphère étant inscrite à Thyperboloïde à une nappe suivant le cercle de gorge, la tangente à la sphère menée d'un point quelconque de la surface et la distance du même point au plan du cercle de contact sont dans un rapport, constant plus grand que i .
8. Il nous est facile maintenant de faire voir que Thyperboloïde peut être engendré par le mouvement d'une droite.
En effet, que par lin point pris sur le cercle de gorge on mène à la sphère inscrite suivant ce cercle une tangente faisant avec le plan du cercle un angle d tel , que
sin «î b
(c et b étant des éléments de l'hyperbole génératrice) , en appelant MT une tangente à la sphère , MN une perpendiculaire au plan, menées toutes deux d'un point M pris
sur
la droite,
on
aura
MT
MN
sin $
d'où il suit'que le point M et la droite tout entière appartiennent à la surface.
Les deux énoncés qui suivent , relatifs à Thyperbolo , se déduisent facilement de ce qui vient d'être dit sur l'hyperboloïde.
1°. Un cercle étant inscrit dans une hyperbole de faton que son centre soit situé en un point quelconque de Vaxe imaginaire^ la tangente au cercle menée d[un point de la courbe et la perpendiculaire à la corde de contact sont dans un rapport constant,
12*^. Deux cercles étant inscrits à une hyperbole et ayant leurs centres situés sur Vaxe non transi^erse, la somme ou la différence des tangentes menées à ces cercles par un point quelconque de la courbe est égale à une constante.
Ellipsoïde aplati.
9. L'ellipsoïde aplati diffère particulièrement des surfaces précédentes. Une sphère tangente à celle-ci suivant un parallèle la contient tout entière. Un plan tangent à la. sphère ne peut donc couper la surface. Ainsi les propriétés principales contenues dans le théorème de M. Dandelin ne se trouvent point dans l'ellipsoïde aplati. Toutefois, cette surface en possède encore quelques-unes qui rappellent les précédentes.
Soit une ellipse ayant avec un cercle deux points de contact C, G symétriques l'un à l'autre par rapport au petit
FiG. 5.
(43) axe. L'ellipse est contenue tout entière dans le cercle et lai corde CG leur est commune. Par un point M pris sur Tellipse, menons dans le cercle un diamètre MO; puis ^levons dans le cercle la perpendiculaire ME au diamètre. Cettç droite correspond à une tangente qu'on mènerait au cercle du point M si ce plan était extérieur. Or en appelant MN la distance de M à la corde CG , on démontrerait que Ton a *
L'ellipse par rapport à ce cercle et l'ellipsoïde aplati par rapport à une sphère tangente jouissent donc de propriétés analogues à celles des autres surfaces.
En coupant par un plan un ellipsoïde aplati avec sa sphère tangente et le plan du parallèle de contact , on reproduit un système d'ellipse ^ de cercle et de droite de même nature que le système générateur.
Si le plan coupant contient une tangente au parallèle de contact, le cercle provenant de la sphère est osculaleur à l'ellipse pt^ovenant de la surface.
011ESTI«NS
(communiquées pak m. Vannson).
427. 1^. Si, dans un triangle sphcrique ABC, on joint les milieux des côtés AB, AC par un arc MN, et si du point A on mène un arc AD de 90 degrés se terminant à la rencontre de MN, cet arc sera tangent au c ercle qui passe par B, C, et par le point diamétralement opposé à A.
En conclure qur l'angle formé par AI) et AB mesure la moitié de la surface ABC (sans calcul).
a^. Démontrer que la relation suivante existe entre les six dièdres d'un tétraèdre quelconque : appelant S la somme des carrés des cosinus des dièdres, Si la somme des produits des cosinus carrés de deux dièdres opposés , Ss la somme des quatre produits des cosinus de^ dièdres formant chaque angle solide ^ S^ la somme des produits des cosinus des dièdres en exceptant deux dièdres opposés, on aura
Vérifier celte équation sur un tétraèdre régulier (sans trigonométrie sphérique).
Cette question figure déjà, il est vrai, dans les annales (t. Vy p. SjS), mais on emploie la trigonométrie sphérique, ce qui est inutile. D'ailleurs les calculs ne sont pas terminés, et la relation n'est pas exprimée (*)«*
3*^. Étant donné un point A et deux circonférences de grand cercle qui se coupent en B^ mener par A un arc qui les coupe en X et Y de manière qu'on ait
tangBX tanga lâïigBY tangê'
rapport donné (géométriquement).
4**. Construire géométriquement un triangle sphé-^ rique, connaissant un côté a et les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle opposé A.
5*^. Étant donné un angle sphérique inscrit dans un petit cercle, on demande si l'arc bissecteur de cet angle coupera l'arc intercepté en deux parties égales.
6^. Si deux petits cercles se coupent en A et B, et que par un des points d'intersection, B par exemple, on inscrive une sécante commune DF de longueur donnée m ,
{*) Il me semble que le calcul est complètement terminé et la relation exprimée. , Tm.
(45) trouver par une construction graphique le cercle circonscrit au triangle ADF.
J'ai déjà énoncé celle question dans les jénnales^ mais elle n'a pas été traitée ni indiquée parmi les problèmes non résolus.
7.*^. Etant donné un angle formé par deux grands cercles et un point O, mener par ce point un troisième cercle qui forme avec les deux autres un triangle sphérique de surface donnée [Géométrie),
8**. Si deux triangles sphériques ÔAB, OA'B'ont un angle au sommet commun O et même surface, si l'on joint les milieux des côtés AB, A'B', opposés à l'angle par un arc de grand cercle, il coupera l'arc qui joint B B' à 90 degrés du milieu de BB'.
9*^. Si, dans • un triangle sphérique, on donne un angle C compris entre deux «côtés variables, mais dont la somme des tangentes est constante, le lieu de la rencontre des trois hauteurs dans chaque triangle est une circonférence de grand cercle \ si c'est la somme des côtés qu'on donne constante , le lieu sera une ellipse sphé* rique.
428. Ondoiine, sur deux droites situées dans un même plan , deux points A , B : décrire deux circonférences tangentes entre elles , qui touchent respectivement les deux droites aux peints A , B , et dont les rayons soient dans le
rapport donné T* (A résoudre par la géométrie élémentaire, sans calcul.)
Cas particulier où ^ = i •
