sin(^)-.4.sin3(^) = i~2sm

4 sin' ( — ) — 2 . sin' ( — ) — 3 sin ( — | + i = o. \ioJ \ioJ \ioj

D'après cela on voit que sin ( — j est racine de l'équation

Cette équation est évidemment vérifiée par x = 1. En divisant le premier membre par ^ — 1, on trouve l'équation *

dans un cercle de rayon donné un carré , un hexagone réj^ulier. » Il n'y est nullement question du décagone régulier.

(48) qui donne

La racine positive . ^ est le sin de — • La racine

' — 1 — y^ . j . , . de Stt

négative . » changée de signe , est le sinus — »

ou le cosinus de -p j comme il est facile de s'en assurer.

THÊORÉHBS HONOGRAPHIQUES;

Par m. de LAFITTE.

L Si deux figures sont homographiques , il existe dans chacune d'elles une infinité de cercles dont les homologues sont des cercles. — Deux cercles homologues ont leurs rayons dans un rapport constant. — Ces cercles, dans chaque figure, ont leurs centres en ligne droite. — Cette droite est perpendiculaire à la droite de la même figure dont l'homologue est à l'infini, et elle passe par les -centres S et 5 des faisceaux superposahles à leurs homologues.— Enfin si sur le segment rectiligne S s comme diamètre on décrit un cercle, ce cercle coupe à angle droit tous les cercles de la figure dont les homologues sont des cercles.

IL On suppose qu'une figure varie de forme et de position en restant homogrsfJ)hique à une figure fixe.

i*'. Si les homologues de sept droites de la figure fixe tournent chacune autour d'un point fixe, l'homologue de toute autre droite tournera autour d'un point fixe, et

(49) rhomologue d'un point quelconque décrira une conique. Toutes ces coniques passent par un même point , lequel est un point double commun à toutes les figures variables.

2**, Si les homologues de sept points déterminés de la figure fixe décrivent chacun une ligne droite , Fhomologue de tout autre point décrira une ligne droite, et l'homologue d'une droite quelconque enveloppera ime conique; toutes ces coniques touchent une même droite qui est une droite double commune à toutes les figures variables.

Comme cas particulier simple , on peut dire :

ni. On suppose qu une figure varie de forme et de position en demeurant semblable à elle-même.

I**. Si trois droites tournent chacune autour d'un point fixe, toute autre droite tourne autour d'un point fixe, et un point quelconque décrit un cercle. Tous ces cercles passent par un même point , qui est un point double commun à toutes les figures.

a°. Si trois points décrivent chacun une ligne droite, tout autre point décrit une ligne droite et une droite quelconque enveloppe une parabole.

Ces théorèmes donnent la solution des questions suivantes :

IV. Etant donnés deux octogones j circonscrire ou inscrire au premier un octogone homographique au second.

V. Etant donnés deux quadrilatères, circonscrire ou inscrire au premier un quadrilatère semblable au second.

Note. Ces problèmes n'ont chacun qu'iiwe solution , si les points et les droites se correspondent deux à deux. Sans cela le dernier en a évidemment 24 ^* ^^ précédent 4o32o.

Ann, dt Mathémat,, t. XVîl. (Février i858.^

THÉORÈilBS SUR LES POLYGONES A DÉMONTRER;

Par m. FAURE,

Capitaine d*artil1erie«

I. Si Ton décompose un polygone en triangles en joignant ses sommets à un point quelconque de son plan et que Ton appelle S la surface d'un de ces triangles, Si , Ss, Ss les surfaces des trois triangles qu'on obtient en joignant les sommets du triangle S à un point^/îxe^ on aura

= Gonstatkte.

Le signe ^1 ^^ rapporte à tous les triangles qui ont

pour sommet le point du plan et le point fixe restant le même.

II. Si Ton décompose un polygone en triangles en joignant ses sommets à un point quelconque de son plan , et que par un point fixe on mène des parallèles aux côtés de chacun de ces triangles, on formera dans chacun d'eux

trois parallélogrammes. Appelons - la somme des inverses des trois parallélogrammes relatifs à l'un des triangles, on aura

>^ - =s constante.

III. Un polygone est donné ainsi qu'un point fixe F dans son plan \ on mène par ce point une droite arbitraire; appelons q l'aire du parallélogramme qui aurait pour sommets opposés le point fixe et le point d'intersection de la transversale avec l'un des côtés du polygone et pour

(5.) côtés les droites qui joignent le point fixe aux extrémités

du côté du polygone que Ton considère •, on aura

: constante.