On trouvera de même que la polaire réciproque

de la conique

2, -f.>25 = 0 est

AU, M-X/, H-A»A'U, = o où

/== (BC 4- B' C — 2 Diy ) ^» -h (GA' -h AC — ?. EE' ).>^ ~h (AB'-4-BA'-2FF')x»

-f. 2 ( EF' -t- E'F - AD' - AD)yz H- 2 (FD' 4- DF' — BE' — B' E) zar -i- 2 (DE' -I- D' E — CF' — C'F) xj.

L'équation des tangentes commuiH's de Ui et Uj est

i^ = 4Ayu.u...,

(9o) et S est la conique qui passe par les huit points où Ui et Ut sont touchées par ces tangentes communes.

13. Nous allons faire voir comme on pourrait parvenir à ces coniques 4>, £ par une autre voie. En effet, on retroufera la conique £ en cherchant le lieu d'un point d'où les tangentes à Ui , Uj forment un faisceau harmonique , et la conique 4> en cherchant Fenveloppe d'une droite qui est coupée en section harmonique par les coniques Uj, Uj (*).

14. Problème. Tromper la condition pour que les quatre points sur l'axe des x donnés par les équations

Qx^ 4- 2 ^x 4- c = o , a' x' -h 2 ^' 0? 4- c' = o

forment un système harmonique P

Si Xi , Xt sont les racines de la première équation et Xt x^ de la seconde, nous aurons

(ar, — X3)(xa — 074) -H(x, — j:4)(.r, — arâ) = o. Mais

c' , . ib'

donc la condition cherchée est

ad -^ ca' — 2 bb' = o.

Si, rendant les équations homogènes, on pose S, = fl.r' -h 2 bxy -f- cj' = o , 82= «' a;' -t- 2 ^' jcj + c' j» = o ,

(*) Il est éTident que ♦rr:©, £ = 0 sont des polaires réciproques f <ft = o est la conique qui passe par les huit points de contact relatifs à S, et S, et £ =^ o la conique qui passe par les huit points de contact relatifs à IJ, = o, U,= o, Tm.

(90 nous pouvons écrire celte coodilion sous cette forme

r/j;^ </y2 €/j?flfj dji:(ijr df* dx^

OU bien symboliquement

\dXi dx2 dXidfJ

i5. Problème. Troui^er la condition pour que la droite Ix -+- my -^ nz = o soit coupée en section harmonique par les deux coniques

Afin de trouver les points où Ui est coupée par la droite donnée , nous éliminons z entre les équations

U, = o, /a:-H wj^ H- «2 = o,

nous obtenons une équation S, homogène eu x et y. Nous aurons ainsi

r/S, </U. / rfU,

dx dx n dz

d^, d\5, mdV,

dy dy n dz "^

semblablement

dx dx n dz

dS^d\5j^m ^,

dy dy n ' dz

Par conséquent , nous avons

dXi dyx I

\dxy dy^

[id^ d £ ^\ (A^^ — jLY\ \dyi dy2 dy^dz^J \dzid,r^ dZidxy) 1