IJ,U

La condition donc que nous cherchons est

[il—— ^—JL\ ,„(— — ^——\'\ \dx,rlzj dy^dz,} \dz, d.r^ dzj dxj 1

,1 (— —^— —\ I \d.r, dji d.JCj€lxJj.

c'est-à-dire

-h 2 w/ï ( ff' +/6'' — ad' — «' rf) -h iinl(/d' 4-/'^— ^^' - 6'«0 -h ilm{de' 4- «'e — </'— e'f) =z o,

et parce que /, //i , /^ sont liés par une relation du second ordre, l'enveloppe de la droite est une conique dont Yéquation est trouvée en prenant la polaire réciproque de 4> et qui est

0'U, + 0Uj — /= o.

16. Problème. Tromper T équation des deux tangentes d'un point quelconque cn^y à une conique U,.

L^équation de la droite qui joint a|3y à un point quelconque x', y'^ z' est

x (pî' - 7/) -hr (7 •^' — «*')-+•« («/-?*') = «»

et si x' y' z' est un point sur l'une ou l'autre des deux tangentes, cette droite touchera Ui. On trouvera donc Téquation cherchée en formant la condition que la droite Ix -h iny -i- nz = o touche U, , et puis, substituant respectivement po.ur / , m , /i ,

pz — yj, 7^? — a«, a/ — p.r, on bien , en substituant en 2, (n° 8) ,

pour t.Tiy^.

Soit S,

l'équati

ion ainsi réduite , et nous aurons

rfz,

rfS, dx ~

rfs,

dS,

dl,

''dn

rfS,

rf2j

,fi.iL jL:l\s.s, \'^\d^,d^,'^l^,d^,l'^^\dr^,'dÏA dK,d^J \

La condition donc pour que le faisceau des tangentes du point a , (3 , y soit harmonique est

a» (BC'-f- CB' — 2DD') 4-. . .= o, ou bien

18. On sait qu'il y a trois points dont les polaires relativement à deux coniques sont les mêmes, et que (si ces trois polaires ont pour équations x ^ y^ «) il est possible de donner aux équations des deux coniques les formes ot} -h hy"^ -h cz^ = o , û'x'-f- ^>'jr'4-ç'.2:»=:o.

[/^o/r mes Conics , p. aSa et 267 (*)•]

Maintenant nous allons faire voir comment cette transformation est effectuée , et nous allons démontrer que , étant données les équations Ui , Uj de deux coniques, les trois droites dont les pôles sont les mêmes pour les deux coniques, sont données par Téquation

dx \ -(fy dz dz dy j dy \ dz dx dx dz J

d£ fd\5, d^d^ ^UA ^ dz \ dx dy dy dy j

(*) OiiTrage Aor* ligne, traduit par M. Poudra. Tm.

équation que nous pouvons écrire sous la forme d'un déterminant

^Ui r/U, rfU.

djc dy dz

dV, £U, dV,

dx dy dz

d£^ dj[ dJ dx df dz

D'abord on voit aisément que cela est vrai quand les coniques Ui , Ug ont les formes

Ui = ax"^ -h /'j' -f- cz* = o , IJ, = rt' x' 4- h' y-" + c' «' = o.

Dans cr cas , on a

S!=h'v', ^'^c'a\ a=a'h\ £=aa'[hc' -Jr b'c)x^-^ bb' (ca' -^ ac') y* -hcc' (ab'-hc'b)z',

et le déterminant que nous venons d'indiquer est (à un facteur constant près )

.7:yz =0.

Il faut donc démontrer que cette équation représente toujours ces mêmes droites quelle que soit la forme de U, etU,.

19. Maintenant il faut observer que é est un coi^ariant (t. XVI, p. 4o6) des coniques Uj , Uj. Un co variant est un dérivé d'une équation (ou de plusieurs équations) tel, que sa relation aux équations primitives subsiste encore quand toutes les équations sont transformées par une transformation linéait^ quelconque. Par exemple, la dé-

rivée -^ n'est pas un covarîant de Ui , parce que , quand

on transforme Téquation aux nouveaux axes , le nouveau

-^ ne représente plus la même courbe. Mais parce que

jf (la conique qui passe par les huit points de contact des tangentes communes de Ui et Us ) est unique , il faut (quels que soient les axes) que nous trouvions une équation qui représente toujours la même courbe.

20. Ensuite nous allons démontrer que trois courbes U, V, W étant données, le déterminant

rfU

dVf

est un couariant des trois courbes.

II est bien connu que le produit des deux déterminants

abc