ABC

est le déterminant

aA-h6B -i-cC ak! H- ^B' H-cC a A" -f- ^B' -f cC"

«"A 4- ^'' B -h c" C a" A' -+- b" B' -+- c" 01 a" A" -f- b" B" + c" QT

(*) Quand U, V, W sont des cercles, cette dérivée représente le cercle qui conpe tous les trois cercles orthogonalement.

(96) Or si nous remplaçons J:, /, z par

jc ■= a.T -{- by -t- cz y y =: a' .T -^ h' y -Hc'z,

nous avons

— = ^i — H- /i' — -f- a" — y d.r djc dy dz

d , d dy dx

^ dx dy dz

Nous voyoï^s donc que si nous transformons linéairement U, V, W et puis formons la dérivée des équations transformées , nous aurons

dnc

iû:

du-

dX^

dVf

et quand les deux dérivées ne diffèrent que par un facteur constant, toutes les deux représentent la même courbe.

Donc

d£^ /d\h flMUj flMLJ. dV^\ dl /dV^ rfU, ^ d^ dV,\ dx \ dy dZi dz dy ) dy \ dz éix dx dz /

dl /dV^dV, <r[]j dV,\ dz \ dx dy dy dx /

représente toujours la même courbe quels que soient les axes. Il était donc suffisant de démontrer qu'elle repré-

(") Après les d il faut sous-entendre U, V, W. Tu.

(97) sente troîs droites , en nous servant des plus simples équa« tions.

21 . On peut trouver facilement par celle méthode Féquation des plans principaux d'une surface du second degré.

Soient les termes quadratiques de Téquation

Ui = ax* -+■ by^ -f- cz^ ~H idjz -h a^wr -f- 2.fxjr que nous voulons réduire à la forme

U, = Ax + Bj + Cz,

Mais il faut observer que le carré de la distance d'un point à l'origine est, pour les deux systèmes de coordonnées ,

Si les axes primitifs sont obliques, nous substituons, pour x* -h y* -I- a%

J:' -h J^' + «' H- 2 J3 COS(/, Z) 4- 2«XCOS(2, x)

-+- 7.xy cos[xy y).

Formons l'expression ^de ces systèmes Ut , Uj , savoir :

/= [lï (ô -f- f) ~ /?'-/»] ^^-^[^(c -h fl)—/'~^/»]j» 4-[c(a 4- ^) — //^ — ff'] 3^ -H i{ad-'ef)yz -h'2{be — /d)zx -{' 2 [cf--'de)xy (*),

et puis le déterminant dérivé de U, , Uj, £ représente l'équation cubique des trois plans principaux x^ y^ z (page 95).

22. Nous ajoutons aussi la méthode de M. Boole pour trouver en grandeur les axes d'une surface du second degré. 11 ne faut que former les invariants A , 0 , 0', A' du

(') Voir page 89 : l'on a a' = t' = c' = o, d' = c' ^=^J ' = o. Tm. Ann. de Malhémat., t. XVII. (Mars i8r>8.) 7

(98) système Ui , Ua. Et parce que nous avons pour Téquaiion transformée ( page 84)

A = ABC, e = ABH-BC-hCÀ, e' = A-f-B4-C, A' = i ,

les quantités A , B, C ( qui sont les réciproques des carrés des demi- axes) sont les racines de l'équation

A' V — e' V + e X — A = o ou bien y ^(^a-hù -h c)\^ ^ (Ac — rf' + fflf — /?^-4. ab--/')! — [abc -h idcf—- ad'' — be"" — </*),

équation cubique qui est très-connue dans cette ihéorie (*).