SECONDE SOLUTION D'UNE QUESTION SUR UN PRODUIT CONTINUEL

(▼oir t. XVI, p 398);

Pau m. p. A. G.

Le produit n (w -h i) (/i -I- a) (/i -H 3) de quatre nombres entiers consécutifs étant augmenté de l'unité, devient le carré de/i(n-f-3) -f-iî somme formée du produit des deux facteurs extrêmes et de F uni té.

C est ce que l'on rend immédiatement manifeste en multipliant par r* ( /i •+• 3 ) les deux membres de l'identiié

et ajoutant i de part et d'autre.

Conséquence, Le produit de quatre nombres entiers consécutifs ne peut être, un carré.

(*) Pour comprendre les n»» 21 et 22, il faut se rappeler la théorie des changements des coordonnées. Tm.

(99) FORMULES FONDAMENTALES DE L'ANALYSE SPRERIftUe

(folr pâte 65); Par m. VANNSON.

Théorème. Étant donnés un triangle sphérique ABC et un point O sur la surface d 'une sphère, si de <?e point comme pâle on décrit une circonfé/^nce de grand cercle, quon joigne le point O , pris pour origine des coordonnées ^ au sommet A par un arc quon prolongera jusquà sa rencontre en A' ai^ec la circonférence, si ensuite on joint A' a^^ec le centre sphérique des deux autres sommets et quon répète la même opération trois fois en changeant de sommets, les trois circonférences ainsi obtenues auront un point commun.

On peut généraliser le théorème en Tappliquanl à un système de (n -h i) points, comme nous allons le faire voir.

Soient x\y les tangentes des coordonnées du point A, Téquation de Tare OA sera

toute circonférence passant par le point A' aura pour coef--

(icient dex, -7» Donc la circonférence qui joint le point

A' au centre sphérique des n autres points sera représentée par r équation

mais ou a trouvé dans le problème précédent

valeurs qui étaut portées dans l'équation précédente donnent

On voit donc que cette circonférence et toutes les analogues pour les autres points passent par un point commun ayant pour tangente de ses coordonnées

d'où

Ce point se trouve donc sur la circonférence qui passe par le point O et le centre sphérique C des moyennes distances du système. On voit aussi que ce point partage l'arc OC suivant le rapport spliérique de /z -|- i à — i .

Le théorème analogue sur un plan se démontre par un calcul identique et peut s'énoncer ainsi :

Étant donné un système rfe (n -H i) points et un autre point O , si Von joint chaque point du système au point O, et si Von mène à chacune des droites ainsi obtenues une parallèle par le centre des moyennes distances des autres points, toutes les parallèles se couperont en un même point qui sera situé sur la droite menée du point O au centre des moyennes distances de tout le système et qui partagera cette droite dans le rapport den -h l à — I, c'est-à-dire qu il sera sur le prolongement au delà du centre et que ses distances àCet à O seront comme i est à u -^ i .

Dans le cas particulier d'un triangle, les parallèles sont menées par les milieux des côtés , et le théorème se démontre très-simplement par la géométrie. Le même théorème s'applique aussi À un système de points dans

( loi ) l'espace et se démontre de la même manière que sur la sphère.

Si les points du système se déplacent sans que leur centre de moyennes distances change de position , le point de rencontre des lignes parallèles sur un plan ou des arcs de grands cercles sur la sphère ne changera pas. De là résulte une propriété des polygones réguliers inscrits dans un cercle de centre fixe et de rayon variable. Elle aurait lieu également pour un polyèdre régulier inscrit dans une sphère avec les mêmes conditions.

Problème. Étant donné un triangle ÂBC, si d'un point que nous supposerons sur le coté CB à une distance a du point C on mène un arc sécant qui rencontre ASenCetKCen B', qu on joigne B y B' ef C, G', on demande le lieu du point de rencontre de ces arcs.

Prenons C pour origine , CB et C A pour axes , et désignons CB par a', CA par 6' et la variable CB'par 6.

Cela posé, l'équation de Tare DB' sera

celle de l'arc AB sera

Leur intersection aura pour équations

^'^ «6' -«'6 ' aS'— a'6

L'arc ce aura donc pour équation

i — aa'(6'-6)' pour l'arc AB, c'est

Eliminant S entrt; ces «équations, on trouvera

c'est donc un grand cercle qui passe au sommet C du triangle et qui coupe CB en un point (E ) pour lequel

2a — a On tire de cette relation

(a — a')a: cr a (*' — *),

et 5 remplaçant ces lettres par des tangentes , on trouve

sin CD X sin EB = sin BD . sin CK.

Ce qui prouve que les quatre points C, E, B, D sont harmoniques, et, par suite, que le lieu demandé esi le quatrième arc d'un faisceau harmonique dont les trois autres sont AC, AB , AD, Tare cherché étant conjugué de AD. Cas particuliers. Si nous supposons

« = tahg 90" = oQ ,

nous aurons

taDgCE = -tangCB.

Si nous supposons en même temps . C = 90°,

liions aurons aussi

taBgCO=r-langOCV

O étant un point du lieu et CJ la rencontre de l'arc CO avec AB.

De là résulte d'abord un moyeu graphique de résoudre

cette question : Étant donné un certain nombre d'arcs

a , a', oc", trouver pour chacun d'eux un arc x tel, qu on

ait

tang J? =; - tang a.

On peut en déduire aussi cette conséquence : Etant donnés un point C et une circonférence de grand cercle AB , si du point on mène un arc CC coupant la circonférence donnée en C\ si Ton prend sur cet arc un point O tel , qu'on ait

tangCO = itangCC',

Je lieu du point O sera une circonférence de grand cercle perpendiculaire à l'arc qui projette le point C sur la circonférence donnée. Si, au lieu de mener l'arc OC sécant à une circonférence, on le mène sécant à une courbe quelconque, le lieu du point O obtenu de même sera une autre courbe de même degré que la première et à laquelle il sera facile de mener une tangente en un point donné, ayant une fois tracé la tangente au point homologue de la courbe donnée. Il suflSra , d'après ce qui précède , de projeter le point C sur cette tangente par un arc perpendiculaire CP, de prendre à partir de P sur l'arc tangent une distance PM de 90 degrés , et de joindre le point P au point C de la seconde courbe.

Si le point D par lequel on mène les arcs sécants au triangle ACB était pris à 90 degrés du milieu de la base CB , le lieu des intersections des diagonales du quadrilatère CBB'C serait l'arc qui joint le sommet A au milieu de la base.

Thiëokème. Étant donné un point O à 90 degrés du sommet d^un angle A , si de ce point O on mène deux

arcs sécants Omn , Om' n', les tangentes des quatre seg' ments à partir de A sur les côtés sont en proportion.

Ce qui peut servir à résoudre graphiquement les deux questions : i® construire une tangente quatrième proportionnelle à trois autres \ 7? mener par un point O un arc qui détermine sur les côtés deux segments dont les tangentes soient dans un rapport donné.

Problème. Connaissant les coordonnées géographiques de deux points y trousser les coordonnées du mdieu de Varc qui les joint.

Soient x\ x" les deux longitudes, y' et y'' les latitudes, Ile milieu de Parc A', A" ; appliquant le principe des sinus proportionnels aux deux triangles PA'I, PA''I dont les angles en P ont pour mesure X — a:' et x** — X, nous aurons

sinA'I

cos r' sini sin (X — x')

co% y'

sinA"I

sinI sin(x" — X)'

divisant membre ^ membre , on trouve

cos y" sin (.z" — X) = cos^'. sin (X — jr').

( io5 ) d*oùroii tire

sin X cos /' -f- sin x" cos y"

taDgX =

cos jf' cos y' -f- cosx" cos /"

Si nous supposons les deux points à égale distance de Torigine, nous aurons

cosx' cos j' = cosj:" cos^",

et eu divisant le premier terme du numérateur par cosx' cosy ' et le deuxième par cosa'' cosj^'', nous aurons

ou plus simplement

ces trois lettres représentant des tangentes. Nous aurons

de même

ces trois lettres représentant, non plus les tangentes des latitudes , mais des ordonnées prises sur Taxe des y. On voit par là que le point que nous avions appelé centre des moyennes distances de deux points n'est autre chose que le milieu de l'arc qui les joint, mais seulement quand ces deux points sont équidistants de Torigine.

Corollaire /. Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant son pôle à Forigine et qu'on trace les trois niédianes , on trouvera , pour déterminer leur point de rencontre , les équations

„ X^-hX"4-X" __ y'-^ y" + y- X= ^ , Y= ^ ,

expressions déjà trouvées et qui déterminent le centre sphérique des moyennes distances pour les trois sommets.

( .o6 ) Ainsi le centre sphérique des moyennes distances des trois sommets d'un triangle n'est autre chose que la rencontre des trois médianes , mais seulement quand les trois sommets sont équidistants de Torigine.

Corollaire IL Si un quadrilatère est inscrit dan» un cercle, les arcs qui joignent les milieux des côtés opposés et celui qui joint les milieux des diagonales concourent au même point, et si l'on prend le pôle du cercle comme origine, les coordonnées du point de rencontre seront données par les formules

Problème. Étant données les coordonnées géographiques de deux points (x'y', x"y''), si Von partage l'arc qui les joint en deux segments dont les sinus sont comme m est à n, on troussera pour la longitude du point de dii^ision, en opérant comme dans le problème précédent

n sinx' cos j' -+- /» sin.r" cos ^" n cos.r' cos ^' -I- m cosar'' cos jr"

Si les deux ))oints sont équidistants de Torigine, il

vient

nx' -+- mx^'

de même

ainsi Tare est partagé suivant le rapport sphérique de m à n.

Si Ton circonscrit un cercle à un triangle et qu'on prenne le pôle de ce cercle pour origine, on reconnaîtra facilement, d'après ce qui précède, que les coordonnées du point où les bissoclrires se renconlrenl sont

( ««7 ) données par les formules

x' 9ina -f- «" si« b 4- j?'" sin c

sin <3 + sin 6 + &in c

^ / rina -f-j" sip6 -h/"sinc sm tf 4- sin o -H sin c

Corollaire. Les résultats précédents donnent le moyen de construire un arc X sachant qu'on a

. m tangj:' -»-

tangX :

Nous supposons que m et n sont des sinus.

Soient pris, sur Taxe OX , OA^ = x' ^ OA" = x"^ de O comme pôle décrivons un cercle m' ni\ prenons /n'Kégal

FiG. a.

à Tare dont le sinus est m et KH égal à Tare dont le sinus est «, joigne? m' et H^ à partir de L, milieu de

M' H, prene» LG = -; joignez G à K par un arc qu'on

prolongera jusqu'en I; on aura évidemment

sin m"\ m

sin m!\ h

Si donc on projette I sur OX par Tare IP , on aura

^^ m tanff.r 4- n lang-r" tangOP = r-2 2—^.

( to8 ) Si Ton avait m =n^ l'expression à construire serait

il suflSrail de projeter le point milieu de m' m" sur OX. On construirait d'une manière analogue un arc X donné par l'équation

tang.i/ -4- tang x" -4- fangx'"

tangX : — ^

La suite prochainement.

NOTE SUR LA QUESTION RÉSOLUE PAGES 376, 430 ET 403 (Tome XVI);

Par m. VANNSON.

On donne réqualioii

X = A sin .r ■+■ B ,

trouver le nombre des racines réelles.

La solution donnée page 376 ne précise pas le nombre des racines. Celle donnée page 43o me semble présenter une assertion inexacte. L'auteur dît (p. 43') '- « Dans l'intervalle àe x' k x' -\- t: la dérivée i — A cosar s'an-

nule au plus une fois, soit x' = — : depuis — jusqu'à

— la dérivée, A étant supposé positif s'annule deux

fois. De plus, quand on arrive à des valeurs de x qui donnent des résultats de même signe, il est bon de faire voir que ces nombres substitués ne comprennent pas de racines de la proposée quoiqu'ils puissent comprendre des racines de la dérivée égalée à zéra.

( *09 ) Pour tenir compte de ces remarques , je proposerai la rédaction suivante qui s'écarte peu de la marche suivie parM. Jozon.

Je supposerai

Si nous remplaçons x par

nous trouvons alternativement plus et moins. J'appelle z le dernier multiplicateur de tt pour lequel cette alternance de signes ait lieu^ quand h est impair, on a toujours moins-, donc z est impair, sans quoi 2+1 donnerait le signe moins, et comme par hypothèse z a donné

plus, nous n'aurions pas atteint la limite. Ainsi — [~ zi: mis à la place de x a donné moins ^ le nombre précédent — h ( z — 1) TT a donc dû donner plus , ce qui donne l'égalité [z — I étant pair )

Il faut donc prendre pour z le nombre impair immédiatement au-dessous de 1 Supposons comme dans

Texemple

A', B' étant entiers, on aura

si celte somme est impaire , et, dans le cas contraire ^

Dans Fexempie donné , c'est A' 4- B' — i qui donne le nombre des racines positives. Remplaçons maintenant x par la série décroissante

TT ÏT ÏT ^ t ^ f

~> -— tr, -— 27r,..., - — /itr,..., -- — «tt,...,

on aura alternativement plus et moins ; c'est toujours plus quand h est pair, donc z' est un nombre pair, sans quoi le résultat de la dernière âubstitution serait négatif, et

(z'-+-i)7r donnant le signe -f- , la série ne serait pas

complète. L'avant-dernier terme , savoir (^' — i) 7t a

donc donné le signe moins , ce qui conduit à l'inégalité

11 faudra prendre pour z* le plus grand nombre pair satisfaisant à cette inégalité. Conservant les suppositions déjà admises, on aura

si A' -f- B' est impair, A' — B' le sera aussi et on aura

Le nombre total des racines trouvées est alors a A' H- i. Dans le cas où A' — B' est pair, on a

et le nombre des racines obtenues est

A-hz'rt-

si A'= looo €l B^= 5o. Il reste à démontrer qu'entre deux termes consécutifs de la série

Att 4-- et (A-h i)ir4--,

îl ne tombe qu'une racine^ en effet si h est pair, le cosinus d'un arc compris entre ces deux termes est négatif, donc il n'y a dans cet intervalle aucune racine de la dérivée égalée à zéro ; mais si h est impair, il tombé entre

Att H — et (A -h i) TT H — deux racines de Téquation

Pour qu*il en résultat l'existence de trois racines entre les nombres substitués, il faudrait que la première racine de (j>'a:= o donnât à <fx un signe contraire à celui que

donne A TT H — ? c'est-à-dire le signe plus, et que la

deuxième racine donnât moins.

Soit x' la plus petite racine positive de Téquation

A GOSX — I = o

obtenue en égalant la dérivée à zéro. Les deux racines de cette même équation entre Air -f- - et (A -+- 1) tt -f- - sont

(A-f-i)7r— x' et (A-f- ij-R-H- Jî';

pour que la première mise au lieu de X dans Féquation proposée donne plus, il faut avoir

— Asin«'-f-B — (A4- i)îr -f-V^o,

et pour que la deuxième donne moins, il faut avoir

Asin^r' 4- B — (A 4- i)^ — .r'<; o;

d'où Ton peut lirer

'sinx

Mais

on aurait donc

tang^'<^x',

ce qui est impossible.

Si l'on objectait que le problème revient à couper une sinusoïde par une droite et qu'il peut évidemment y avoir

trois intersections entre les abscisses 3 -et 5 -> il suffirait

de remarquer qu'il faut avoir pour cela Tordonnée de la droite à Torigine plus grande que i en valeur absolue, d'où il résulte A <] B, et c'est le cas contraire que nous avons supposé. On verra de la même manière que si deux

termes hn-h-ei ( A -h i) tt -h - donnent dans Féquation

des résultats de signe moins, ils ne comprennent entre eux aucune racine de Féquation.

Car s'ils comprenaient deux racines , il devrait y avoir entre eux une racine de c'a: = o donna ut k (fx une valeur positive; nous supposerons h impair, afin qu'il y ait

des racines de ç' a: = o entre Att H — et '(A -f- 1 ) tt H

La racine de y' j: = o qui peut donner un résultat positif est (A -h i)7r -Ha:' et il faudrait avoir pour cela l'inégalité

Asin-i' -H B — (A -f- 1) tt — jc' > o, d'où

A 4- I < A'sinx' -h B' — - < A' -h B' — -,

0 étant plus petit que i . D'où

( »»3 ) En sorte que les nombres substitués à x appartiendraient à la série de substitutions pour lesquelles on a trouvé des résultats de lignes alternativement positifs et négatifs^ ce qui est contre l'hypothèse.

(TOir t. XVI, p. 401);

Par m. a. CHANSOIN et P. CHALLIOT (*), Élères an lycée de Versailles (classe de M. Vannson).

Question 401.

On projette un point d'une ellipse sur les deux axes, démontrer que Tenveloppe de la droite qui joint les deux projections est la développée d'une ellipse.

Même question pour Thyperbole.

Soient J^i, /i les coordonnées d'un point de l'ellipse, on aura

Téqualion de la droite joignant les pieds des perpendiculaires sera

Appliquant le théorème qui sert à trouver les courbes enveloppes , nous aurons

(♦) MM. Laquières, Carenou , Lamacq, Mendes , éKères du lycée Saint Louis, ont adressé des solutions analogues.

Ann. de Mathématiques, t. XV!l. (Mars i858.) 8

li- — -^i — k* • on tire de là

Portant dans les équations (i) et (2) , la première donne

La' *' J~

La seconde donne

Remplaçant k par cette valeur dans Téquation (3), il viendra

d'où

(bxy^(ajry=iab)\

équation de la développée d'une ellipse dont nous allons chercher les axes.

La développée d'une ellipse dont les axes sont Â , B a pour équation

(Axf^(Brf = (C')l Pour que ces deux équations soient identiques , il faut que

{ "5) les coefficients soient respectivement proportionnels A A' — B' B

b ab a

d'où l'on déduit

ab* a'b

A = ,-- et B =

Quant à rhyperbole, comme Téqualion de l'hyperbole a' j'— b^x^zs—a^b^

ne diffère de celle de Tellipsc qu'en ce que è* est remplacé par — i*, il suffit, dans le résultat final, de remplacer b* par — è* et Ton a

(arf-.{bxy==^(ab)i

Question 402.

On projette ortliogonalement un point d'un ellipsoïde sur ses trois plans principaux, trourer l'enveloppe du plan qui passe par les trois points.

Même question pour les deux hyperboloïdes.

Soient x\y\ z' les coordonnées d'un point de l'ellipsoïde, on aura

Uéquation du plan passant par les pieds des trois perpendiculaires sera

.r, y, Zy

Appliquant le théorème qui sert à trouver les surfaces enveloppes , nous obtiendrons

(ii6) d'où

Portant dans les équations (i) et (a) , la première donne

ou bien

I \ x^ y^ oH \a' b' c J

et la seconde donne

Remplaçant h par sa valeur dans Téquation (3), on obtient

{bcxf 4- [aeyf -h (abzf = ^\ J. b\ c^ ; enfin

{bcx)^ H- {acyf -h {abzf = {^tabcf,

équation qui a beaucoup d^analogie avec celle de la déve-, loppée de l'ellipse.

L'hyperboloïde à une nappe ayant pour équation

il suffit de remplacer dans Téquation ci-dessus c' par — c*, ce qui donne

— (6firf — {acyY -+- (abz)^ = — {^abcy

( bcxf H- («rjr )^ — [ahzf == (2fl6c)i

Quant à Thyperboloïde à deux nappes, son équation est

il suffit, dans le résultat final, de remplacer a* et &' par — rt' et — i', ce qui donne

'-^(bcxY'^[acyf^{bazf^{%abcf ou

[bcxf-^{acyY-^{abzy='-(^abc)\

Question 403.

Ecrire Téqualion d'un faisceau de surfaces qui passent par le point (x', j^', z') et par l'intersection des deux surfaces

/(jr,j,z) = 0, <p(,r, 7, z) = o.

L'équation générale des surfaces passant par F intersection des deux surfaces proposées sera

X étant une indéterminée arbitraire. Exprimons que le point [xy' z') est sur la surface

>/(^',/,*')-+-?(a:',/, ^') = o, d'où

(.18) par suite l'équation demandée est

(TOir p. SI);

Par m. p. DFXESTRÉE,

Élève du lycée Saint- Louis ( classe de M. Briot),

MM. LAQUIÈRES, FÉNÉON,

Élèves du lycée Saint-Louis,

M. BERGIS, Élève de rinstitution Mayer.

Et M. S. DE SILGUY,

Élève des Carmes (classe de H. Gerono.)

Discuter et construire le lieu représenté par Féquation

yx^ -^ bx -h c = o.

Nous aurons quatre cas à considérer suivant que

mais il suffira de faire la discussion en détail pour le premier cas, parce que les autres ne diffèrent du pi^mîer qu'en ce que la position relative des branches de courbe par rapport aux axes se trouve changée. Résolvant par rapport à /,

bjc -i- c

( '«9) Pour toutes les valeurs positives àex ^ y reste constamment négative \ de plus pour x = o ,

puis y décroît ensuite à mesure que x augmente, et quand ' on a :c = 00 ,

On obtient ainsi la branche CÂB. Si nous donnons maintenant à X des valeurs négatives à partir de o, j^ est

d^abord infiniment grand négatif, puis il décroit en valeur absolue jusqu'à devenir nulle quand a:= — t; audelà , elle prend des valeurs positives , croît d'abord, puis décroit ensuite jusqu'à o quand x est infinie après avoir passé par une valeur maximum. Nous obtiendrons ce maximum en cherchant les points où la tangente est horizontale. Prenant la dérivée,

bx -h 2C

Un seul point a donc sa tangente horizontale, et re point

( >20 ) a pour coordonnées

11 esl à remarquer que Fabscisse OE est précisémenl le double de OD. Pour obtenir les points d'inflexion de la courbe y j'égale à zéro la dérivée seconde ,

,, 26jc-h3c

De là on déduit pour le point d'inflexion les coordonnées

Pour déterminer plus complètement la courbe , proposons-nous de chercher les tangentes aux points remarquables.

EuD

Le coefficient angulaire de la tangente est -\ au point

d'inflexion ^ ce coeBScient a pour valeur --^— ;• On peut encore remarquer que les valeurs

X =z et X = y

subsliuices dans l'équation donnent pour y la mêuio

quantité, ce qui prouve que la branche DG se rapproche plus vile de l'axe des y que la branche ABC.

En résolvant par rapport à y^ on voit que Thyper-

bole xy ^= est diamétrale par rapport à la courbe

donnée.

La discussion pour les trois autres cas serait identiqiie.

(*) L'hyperbole diamétrale et la courbe proposée ont toutes deux pour asymptotes les axes coordonnés. Cette

proposition est évidente pour xy =: \ nous pouvons

la démontrer pour la courbe en appliquant la méthode générale des asymptotes \ j'obtiens ainsi pour le coeflScient angulaire

lim - z= c z=. o

et pour l'ordonnée à l'origine

donc les asymptotes pour la courbe proposée sont bien encore les axes.

Note du Rédacteur. i°. Les Européens habitent l'hémisphère boréal et écrivent de gauche à droite. Delà Tusage de prendre les H- x , direction de l'axe OX de gauche à droite , et les — x , direction de OX' de droite à gauche \ les -f-j^5 direction de OY vers le nord , et les — y^ direction de OY' vers le sud; les -t- z vers le zénith , direotion de l'axe OZ , et les — z , direction de OZ' vers le nadir. Toutefois en mécanique on prend OZ vers le nadir, parce que c'est la direction de la pesanteur. De même pour étudier les mouvements des lignes tri gonomé triques, nous

(") Ce qui suit est de l'clè\e Delcfelrcc.

faisons volontiers parcourir la circonférence par un point de gauche à droite : la direction opposée choque nos habitudes européennes. Les Orientaux , écrivant de droite à gauche , ont d'autres habitudes. Léonard de Vinci écrivait Titalien de droite à gauche: caprice d'artiste.

On connaît Timportante différence entre les directions dextrorsum et sinistrorsum dans Télectricité dynamique et dans les phénomènes de polarisation.

2°. Soit

yx^ -+- 6« -h c = o

Téquation d'une surface du troisième degré*, donnons à jr la valeur constante a. On obtient

C — flj?'

et prenons celte suite de valeurs de z ,

C — az\ cb\ — ac*

c — az\ cb' — abc* + a* c»

Il est évident que Zn^i est une fonction de a^b ^ c dont la formation est une question très-difficile de calcul inverse des différences , non encore résolue. M. Gerono a le premier découvert cette belle et utile propriété de ces fonctions (t. XVI, p. 436). Lorsque a, b ,"i* -j- /^ac sont positifs et que Ton a

ac f~

( '=«3 ) alors x' étant la plus petite racine de Téquation

ax^ -\- bx — c = o ,

la série z\ , -îJs ? ^8 ? etc. , décroît vers x' et la série x^^ x* , Xfi , etc. , croit vers a:' et xr = x'. Le plan qui a pour équation

coupe la surface suivant une ligne dont la projection sur le plan xz est la parabole

ax^ -^ bz — c = G,

L'intersection de cette parabole par la bissectrice x = z donne les deux racines de Féquation

ax^ -^^ bx — r = o.

Soit x' la plus petite racine, les valeurs des z„ seront alternativement au-dessus et au-dessous du plan z = x'.

Pour la vraie signification des racines infinies , il faut lire la Note de M.Gerono (t. III, p. Sa^ i844) ) c'est ce qu'on a dit de plus satisfaisant, de plus rationnel et de plus complet sur cette matière.

(TOir. p. SI);

Par m. Ernest MALIN VAUD, Élève d^ l'institution Bourdeau , à Limoges.

On suppose que dans les deux triangles ABC , abc , les angles A et a sont égaux ; de plus les côtés RC , bc opposés à ces angles sont entre eux dans le rapport des péri-

mèti*es des triangles. Démontrer que ces triangles sont semblables.

Appelons a, 6, c et a', i', c' les côtés des deux triangles, np et ^p^ les périmètres. Les conditions de la question nous fournissent les relations suivantes :

fl' ^ p' p'^a'" b'-^ c'

La formule fondamentale de la trigonométrie rectiligne donne

i-hcosA = i ^r = i rhi > car A = A'v.

nbc ib' c*

d'où Ton tire

bc P [p ^^ ^) û'

F? '^ p{p' —p') "^ ^'* Ainsi

(6 -+-c) __ 6c __a» __ ^bc

11 en rësulie

. [b — cy __ ^' b — c a

En comparant les relations (i) et (2) , on obtient

â''~^'b^~^'^V^^' d'où

MM. Emile Daruty (de Tile Maurice) , Laquières et Fénéon (élèves du lycée Saint-Louis) ont donné des solutions Irigonométrîques semblables^ mais MM. Laquières et Fénéon ont aussi donné une démonstration géométrique fondée sur la considération des cercles ex-inscrits^.