QUESTION D EXAMEN (ÉCOLE POLYTECHNIQUE
On donne les deux axes AA', BB' d^une ellipse; construire deux diamètres conjugués qui forment uri angle donné a.
Sur le grand axe A' A je décris un segment A' EA capable de l'angle a supposé obtus et moindre que Tangle
aM
A'BA. De Tune des extrémités B du petit axe BB', je mène la droite BD qui fasse avec A' A un angle BDA égal à a , et du point D la droite DH faisant avec DA un angle HDA égal à A' BA. Puis je conduis par le point H une parallèle M' HM au grand axe A' A ; les extrémités M' et M de la corde M' M seront des points d'intersection de l'arc A'EA et de lelHpse qui serait construite sur les axes donnés A'A,B'B.
En menant par le centre C de l'ellipse des diamètres parallèles aux cordes supplémentaires A' M , AM , ils satisferont aux conditions du problème proposé. Il est clair que le point M' donne lieu à une seconde solution.
S<NLITI«N DE LA OUBSTION 421 (HfiRJMITB)
(TOir p. 8l}i
Par m. L. RASSICOD,
Élève du lycée Saint-Louis.
Pour que T équation (i) ax-^bjr = n,
OÙ a , fe, »i sont des nombres entiers positifs, admette des
solutions entières et positives, il faut :
1°. Que a et b soient premiers entre eux (*) ^
2*^. Que n soit plus grand que a et h. Car pour que les
valeurs de x et de j
n — by n — ax
tirées de Téquation (i) soient positives, il faut que j' soit < T et X < - ; mais x et y devant être euiiers ne sauraient être plus petits qu'une fraction^ donc il faut que n soit ]> a et > 6.
Si ces conditions sont réalisées, Téquation donnée admettra toujours un système de valeurs (.r=:A,/5=B) entières et positives qui la vérifieront. Toutes les solutions seront d^ailleurs comprises dans ces formules
X =ia—- bq ^ j = B -+- «9 ( ** ).
Pour que ces valeurs soient positives , il faut que Ton ait
(*) Bertrand, Analyse indéterminée du premier degré. {**) Bertrand, Analyse indéterminée du premier degré.
( '27 ) c'esl-à dire, en verlu Je l'idenlilé aA -{- bli = n ,
Si donc on désigne par p le nombre des entiers contenus dans —Tj les p H- 1 valeurs .
ab '^
que Ton donnera à q satisferont à Tinégalité (2) , et , par conséquent, donneront pour Téquation (i) p -h i solutions [dont fera partie la solution (A , B) donnée pour ^ = o] évidemment distinctes et de plus entières et positives. Toute autre valeur attribuée à ^ ne satifaisant pas à rinégalité (2) ne pourra donner pour Téquation proposée un système de solutions entières et positives.
Le nombre de ces solutions est donc en général marqué
par le plus grand nombre d'entiers contenu dans -^ plus
un. Je dis en général , car si n était <^ a et <[ i , il n'y aurait pas de solution entière et positive , c'est-à-dire que le nombre de ces solutions serait précisément égal à p qui serait alors nul.
Note du Rédacteur. Ce résultat est aussi consigné dans V Algèbre de MM. Mayer et Choquet ; dans le Quarterly Journal (msirs y i855, p. Syo) , M. Hermite donne cette nouvelle démonstration :
Désignons par E ( - | le plus grand nombre entier
con-
tenu dans — On doit évidemment avoir
( "8) OÙ x' et) ' sont des entiers positifs^ substituant ces valeurs , on obtient
ax' -4- hy = n — a — p = /i', où
On a
a <; rt et p <C ^ et
a-hp<l"» '»'<Co, n'<if, f^'^^j n'^b.
Ces inégalités doivent subsister pour qu'une solution soit possible. Faisant donc
on obtient
ax' -h by = /i' — a' — p' = n\ où
et les inégalités analogues à celles de ci-dessus.
Répétant les mêmes opérations, on a, pour Téquation de quantième i ,
et de là
( ^^9 ) Les n diminuant , le nombre des transformations est li-* mité et elles s'arrêtent lorsqu'on a
/i* == n'-^* ou a' -h p' = o ; ce qui donne
çc' = o, p' = o,
Mais a et & étant premiers entre eux , on a donc
/i» = (ùab y xà est un nombre entier ", ainsi on obtient une transformée
d'où
le nombre des solutions de cette dernière équation est
Faisons
/f = Trflft -+- p ou p<^aAi
faisant les transformations sous cette forme , on voit que le nombre des solutions de Téquatibn
ax -h bjr :::= n ab -\- p
est égal à la somme des nombres de solutions des équa* tions
ax -h bx =:zT:ab et ax -+- bf = v.
Si cette dernière équation est impossible, alors le nombre des solutions est tt; si elle est possible, le nombre des solutions est 7r H- I .
En faisant les substitutions successives, on parvient
Jtnn. deMathémat,A. XVH. (Avril i8r>8.) 9
(i3o) aux sério»
-f-(-iy6ç,
M. Sylvester a trouvé le nombre des solulions positîyes entières de Téquation générale ox-f-ft^ + cz... =n; ce travail, à ce que je sache, n'est pas encore publié.
