DISCUSSION BES LI6NBS ET SURFACES DU SECOND ORDRE

(TOir t. XV, p. Stt et 886 ; t. XVI, p. 107 et 894) ;

Par m. PAINVIN,

Professeur, Docteur es Sciences mathématiques.

LIGfîES DU SEGOHD ORDRE.

La discussion des courbes du second ordre , c'est-à-dire la connaissance du genre et de l'espèce de la courbe représentée par une équation du second degré, se déduit très-facilement de la considération des signes de Vim^a-^ riant et du déterminafU,

Soit , en adoptant la notation ordinaire ,

l'équation générale des courbes du second .degré; on pourra toujours supposer k^ù.

( ,3, ) Je rends homogène Téquation (|) , ce qui donne

( =Ajr'-f-C/'-4-F»'-h2Bjr^4- 2Dxa-H2Ej« = o,

et j'égale à zëro les dérivées du premier membre de l'équation par rapport aux trois variables x, j^, je; on obtient ainsi

ÀxJ-f- B^-4-Da = o,

Bx-^-Cy -h Ez = o, Dx -j- E7 -h F« = o.

Le déterminant des coefficients du système de ces trois équations est ce qu'on appdle le discriminant de la fonction f ; le rôle que joue cette quantité dans la question actuelle justifie pleinement cette dénomination.

On aura donc , en désignant par A le discriminant ,

Je considère en outre le déterminant du second ordre

(Invariant.)

qui peut s'écrire immédiatement d'après Tinspection du discriminant, 6t qui n'est autre chose que le dénomina* teur commun des coordonnées du centre : on lui donne le nom dHinvariant.

Or, par une analyse très-simple que je supprime ici , on arrive auit conséquences suivantes :

(*) J-=: âp; Taeeenl désigne une dérivée par rapport k la lettre F.

Tm.

I«' CAS. — Invariant positif ; genre ellipse.

I négatif. . . . Ellipse réelle, nul Point, positif . . . Ellipse imaginaire.

Il* CAS. — Inmriant négatif; genre hyperbole,

. . . ( différent de zéro. Hyperbole. Discriminant { , t^ j •. •

I nul Deux droites qui se coupent.

IIP CAS. — Invariant nul; genre parabole,

idifîér. dezéro. Parabole, i réelles, sirf<o, nul Deux dr. parall. < se confond*, si ^=o,

[ imaginaires, si d^o>

d représente un troisième déterminant auxiliaire

qui se déduit immédiatement du discriminant eh prenant les quatre lettres aux sommets du carré.