SURFACES DU SECOND ORDRE

Je fais reposer sur des considérations analogues la discussion des surfaces du second degré.

Soit

Ax»-*-A>«-hA"z»-H"2Bjz-f-2B'z;c-4-2B"xr •4- 2Cx-f-2C'j -+. 2C"z + D=o

(i33) ' réquation générale des surfaces du second ordre , qui , rendue homogène, devient

-f- iiB" xy -^ nCxt -h 2C'>'r-|-2C"«r=o.

En égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de cette dernière équation par rapport aux variables Xj y-j z^ tj on obtiendra les quatre équations

Ax + B"j -+- B' a -f- Cr = o,

B"xH-A'^4-Bz 'hCt=o, B'xH-Bj -hA^z-hCrrzio, C,r -+-C'/ + C"3-*-D/ =o.

A est toujours supposé positif.

Le déterminant de ce système est le discriminant de la fonction ^ .

On aura donc , en désignant par û ce discriminant,

Je considérerai en outre les deux déterminants du troisième ordre :

(i«' invar.) ^ =

et les deux déterminants du second ordre :

(2* invar.) rf =

C) o = Ap, ^'==a;^.. j = ^;„ = a;

Tu.

• ( «34 ) Ces qioaire détermînanu pcttimt s'écrire à la tettle inspection du discriminant, comme si est indique par les lignes ponciuées. Je donnerai aux déterminants â ^t d les noms ée premier et s^cà/idinYMtia»t:^le promier invariant 6st le dénominateur qomman des ^coordonnées d<| centre.

Ceèi posé, là discussidn igénérale des surfaces du second Drdre pourra se résumer de la niatnère suivante.

J'ai supprimé toute dép[U)nstration , pensant que les méthodes de discussion connues étaient bien suffisantes pour établir facilement les propositions énoncées dans cette note 5 j'ajouterai cependant que la décomposition en carrés est la méthode qui m'a semblé conduire le plus rapidement à ces résultats , si on la dirigje conv^aablement en faisant intervenir quelques propriétés simples des déterminants.