EXTRACTION ABROGÉE DUNE RACINE CUBIQUE

Par m. Angêlo GENOCCHI,

J'ai eu tout récemment l'occasion de m' occuper de l'extraction abrégée des racines cubiques dans un cours d'algèbre et de géométrie que je suis chargé de faire à l'université de Turin. M. Serret, dans son Traité d'Arithmétique (publié en iSSa) exige qu'on ait déjà trouvé 71 •+■ 2 chiffres de la racine pour en déterminer n par une' simple division. On trouve la même proposition dans une traduction italiemie de V Arithmétique àe M. Bertrand, imprimée a Florence en i856 avec des additions et des

( '37) notes du traducteur. M. Amiot, dans un intéressant article [Nouvelles Annales, i.85i, p. !iS4 et ^5y) semble même exiger qu'on connaisse au moins n -h 3 chiffres. Je me suis rangé à Topinion de MM. Mîdy et Finck, qui se contentent de n-\-i chiffres seulement (JVoui^elles Annales ^ 1844) P* ^^9; 1846, p. 25i)^ mais j'ai précisé avec plus de soin le cas où le quotient de la division n'est plus la valeur approchée à moins d'une unité de la partie restante de la racine*

Je rapporte mon calcul qui est assez simple.

Soient N le nombre dont on cherche la racine cubique \ a le nombre formé par les n H- i chiffres déjà trouvés à la racine , suivis de n zéros \ q le quotient et r le reste de la division de N — a^ par 3 a'.

En posant

on a

d'où

3ûf' fl 3/1» ' 'ha

Comme r <^ 3 a', on voit que la différence entre x et ^ sera toujours < i tant qu'on aura

x-" x" ^ a Za}

et que si cette inégalité n'a pas lieu, x sera <;^ ^. D'ailleurs on a X <1 10" puisque la partie entière de x ne doit contenir que n chiffres. Or si x n'excède pas 10" 1 on

( »38 ) peut affirmer qu« Ton aura

car 3 X n'excédera pas et , à cause de