I -h A' -h 2Acose Le grand cercle ayant pour équation

pour que les deux courbes soient tangentes , il faut qu'on ait

b sin B

^)/t -h A'-f- aAcose

et comme alors le rayon égale la distance du pôle du petit cercle à l'arc tangent, il en résulte que celte formule fait connaître par sa tangente la distance de l'origine à une circonférence de grand cercle; si les axes sont rectangles, la condition de contact sera

^=±:Rv/i-+-A»;

en sorte que l'équation d'une circonférence de grand cercle tangente à un petit peut s'écrire ainsi

Cette formule résout le problème de mener une tangente à un cercle de manière que les tangentes des seg;-

ments interceptés sur les côtés d'un angle droit ayant son sommet au pôle soient dans un raj^port donne ( — A ). U y a deux solutions : si Ton cherche la rencontre des deux circonférences,

jr = Ajr±:Rv^H-A».

On voit qu'il ne peut y avoir pour a: et ^ de valeurs^ finies communes aux deux équations \ il faut donc que j; = oo , c'est-à-dire que la rencontre a lieu à 90 degrés du pôle. Pour achever de trouver le point de rencontre , il faut avoir sa latitude.

Soit Y la tangente de cette latitude, on aura

COSJP

Les équations des deux arcs tangents peuvent donc s'écrire ainsi

Y = A sino? -+-R v'i H- A*cosx,

Y = Asinjr — R ^i -f- A'cosjt,

cosjr = o, .r = -, y=A.

En effet, la distance CO étant un quadrant, Tangle

FiG. I.

( '43) COA = -, U latitude Ct = l'angle CO* = 2 AOL , et ou a évidemment

cotAOL=.ÎÎÎÎB??=-ï^ = A.

tangLO tanga

Si Ton appelle a/ et y' les tangentes des coordonnées do point de contact, on trouvera, au moyen des résultat» précédents, que la tangente peut encore se représenter par Téquation

Qn pourra se proposer de mener une tangente au cercle par un point extérieur, trouver Téquation de la corde de contact ou plus généralement la polaire d*un point a:^y''j ce sera

y-y -4- Jex" = r».

De là on conclura aisément les propriétés des polaires ^ les mêmes que sur un plan.

Problème. Connaissant les coordonnées géographie {jfues de deux points^ trouver leur distance A.

Soient xjr , x'y' les longitudes et latitudes des deux . points donnés \ A sera le troisième côté d'un triangle dans lequel on connaît deux côtés et Tangle compris, ce qui donne

cosA:=r sin^ sin^'-i-cosjr cos^'cos(a? — j/).

Si l'on introduit les tangentes et qu'on développe cos (x — x'), on a

tang/ tang j' H- cosj? cosj?' -H sin.r sinj/

V'ï -♦- tang*^ ^1-1- tongV

si Ton remplace la latitude y par l'ordonnée géométrique, il faudra à tang* y substituer Y* cos* x (Y étant la tangente

• Y' de rordonnée géométrique) ou -: — — (X étant la tan-

gente de l'abscisse ou longitude). On trouve ainsi

YY' 4- XX' + I