COSA

^i^^x' + Y» Vh-xj + y;

de là on tire

>..,!,,.'( Y -YO'-KX-X')»H>(YX'-^rX)' ""^ (H-XX'H-YY,)'

Si dans cette expression on regarde A comme constant et X, Y comme variables , on aura l'équation d'une circonférence de cercle en fonction ^es coordonnées de son -pôle et de sa distance polaire A.

Si A = 90 degrés , l'équation devient

YY' -h XX' -+- 1 = o ;

c'est l'équation d'une circonférence de grand cercle (déjà trouvée plus haut). ' "

Quand deux points sont distants de 90 degrés , le cosinus de leur distance est nul , et on a entre leurs coordonnées la relation

Quand deux circonférences de grands cercles se coupent à angle droit , leurs pôles sont distants l'un de l'autre de 90 degrés , la relation précédente a donc lieu entre les coordonnées de leurs pôles. Si les circonférences sont représentées par les équations

la relation précédente devient

AA'H-BB'-f-CC' = o.

Enfin si les circonférences sont représentées par les deux

( '45 ) équations

la relation exprimant qu'elles se coupent à angle droit sera

rr/ + êF/-^' = «-

Si donc on demandait l'équation d'une circonférence passant par un point {x\y') et perpendiculaire à une autre représentée par

-.^' "^ fiê7 "^ * •

on aura pour calculer a' et 6' la relation I I

et, déplus,

Ce qui donne pour équation de la circonférence perpen-^ diculaire à une autre

Si les coordonnées du pôle de la circonférence donnée sont x" et y'^,^ comme il suffit de joindre le point donné à ce pôle , Téquation du cercle perpendiculaire sera

Pour calculer la distance d'un point à une circonférence de grand cercle , il suffit de prendre le complément de la distance entre son pôle et le point donné. Si 4onc

Ann. deMathémat., t. XVU. (Avril 1858.) lO

{ .46" ) la tnrconférence est représentée par

et qu^on appelle A la distance cherchée, on aura

SinA:

L'angle de deux circonférences de grands cercles peut se mesurer par la distance de leurs pôles. Si donc les deux circonférences ont pour équations

AjT-hBj -*- C = o,

A'.r-hB'jH-C'sso,-

et que V représente leur angle, on aura

AA' H- 3B' ■+- ce

V/A^ H- B' H- C» /aÎ-^- BJ -4- C]

JTiéorème des sécantes.

L'équation d'une circonférence peut se mettre sous une auJtr^ formée plus oommode dans certains cas.

En effet, on peut déterminer la position d'un point A par sa distance |0 à un point fixe P et par l'angle a> que

fait PA avec un axe PC que no|is supposerons mené par le pôle C du cercle. Nous aurons dans le triangle APC , en posant PC = a et AC = r,

COB/" ^ cosp cosa -fr sinp sin a cosb).

Si nous rpgardous p comme inconnue, nous résoudrons aisément l'équation en posant

cos p = : 5 sm p = 9

< désignant tang - ; notre équation deyient ainsi

(i) (cosr H- cosa)r' — 2f sinacoso» -h cosr— cosa = o. Le produit des racines est égal à cosr — cos«

cosr-f- cosa

Ainsi quand d'un point P on mène une sécante à un cercle, le produit des tangentes des demi-arcs compris entre le point P et la circonférence est constant, il est égal au carré de la tangente de la moitié de Tare tangentiel mené du point P, si ce point est extérieur au cercle , et, dans le cas contraire , il est égal à la tangente carrée du quart de la corde minima passant par ce point.

Si par le point P on mène un grand cercle perpendiculaire à PA , pour avoir son intersection avec le cercle C, il suffira dans l'équation (i) Ae remplacer coseo par — sinot); si Ton cherche ensuite la somme des carrés des quatre racines dans les deux équations , on trouve

g__ 4siD'r

( cos r-^- cosa)'

quantité indépendante de o). Ce qui démontre un théorème connu sur deux sécantes i»ectangulaires. On peut vérifier la formule en faisant

Ce n'est là toutefois qu'un cas particulier d'un théorème plus général auquel on parvient en augmentant successi-

j iTT 4^ 6^ • >» ^('« — 0^ vement «de — ) -^ » — lusqu a — ^ ^ ? et, en prc-

nant la demi-somme des carrés des racines dans toutes les équations obtenues , on trouve

n sin* r

(cosr-H cosa)'

Ce résultat, indépendant de oi), démontre le théorème suivant :

Si Von dix^ise la surface d*iine sphère en n fuseaux égaux, nous supposons n pair^ par autant de grands cercles menés d'un même point P, si ensuite on les coupe par un cercle grand ou petit de rayon constant et ayant son pôle à une distance fixe du point P, la somme des carres des tangentes des demi-arcs interceptés entre le point P et chaque point d'intersection sera constante, quelle que soit la position du cercle sécant.

Le théorème analogue sur un plan s'énoncerait ainsi : Si l* on construit un polygone régulier d^un nombre pair de côtés, quon joigne son centre P à tous les sommets A , B , etc., puis quon trace un cercle quelconque C dans le plan du polygone, la somme des carrés des segments compris entre le centre P et les points d'intersection des rayons PA , PB ai^cc le cercle C est constante et égale au carré du rayon pris autant de fois qu'il y a de côtés dans le polygone; si le cercle C ne coupe pas tous les rayons PA , PB, etc., ou si même il n'en coupe aucun, le théorème a également lieu en substituant aux segments les binômes imaginaires que donne la résolution des équations.

Dans le théorème sur la sphère, si l'on suppose que le cercle sécant soit un grand cercle , on aura

cos r = o

(«49) et alors

S = séc' «.

Hemarque. Le théorème a également lieu pour des puissances quelconques dVn degré pair inférieur au nombre des côtés du polygone , c'est-à-dire que la somme des puissances de degré an des tangentes des demi-arcs est constante, quel que soit a.

Intersection de deux cercles , axes radicaux.

L'équation trouvée pour un cercle quelconque peut s'écrire ainsi

m' représentant — * m! peut être positif

ou négatif; Téquation d'un second cercle sera de même

V^H-«*-h/» = /w" (xy ^ xx" -4- i).

Si on les retranche membre' à membre , on trouve

C'est l'équation d'un grand cercle. Elle sera vérifiée par les coordonnées des points d'intersection des deux cercles donnés , si l'on suppose qu'ils se coupent , et, dans le cas contraire, elle s^a vérifiée par les racines imaginaires communes aux équations des deux cercles. Ce grand cercle s'appelle Vaxe radical des cercles donnés.

Si, étant donnés trois cercles , on prend les trois équations de leurs axes radicaux en les combinant deux à deux et qu'on les ajoute membre à membre , on trouve une identité*, donc les trois ^xes radicaux concourent au même point.

Si l'on se reporte à la condition pour que deux grands

( ^5o ) se coupent à angle droit , on reconnaitra que Taxe radical de deux cercles est perpendiculaire à Tare qui joint leurs pôles.

Ainsi pour construire Taxe radical de deux cercles qui ne se rencontrent pas, on les coupera par un cercle auxiliaire coupant le premier aux points A et B , et le deuxième en deux points C et D ) on tracera les arcs A6 et CD ; soit O leur point de rencontre : il suffira d'abaisser de O un^ perpendiculaire sur Tare qui joint les pôles des cercles donnés pour avoir leur axe radical.

Définition. Si d'un point O oh mène un arc de grand

cercle coupant un petit cercle C aux points M et N , le

, . ^OM ON . j . ^

produit tang — tang — se nomm^ puissance du point (J

par rapport au cercle C. Cela posé , on peut dire que Vaxe radical de deux cercles est le lieu des points, d'égale puissance par rapport aux deux cercles. Eu effet, menons

Fi.;. :i.

un enrôle qui coupe tes deux cercles douanes \c premier aux points m , 71, le deuxième aux points p, q. Traçons ks ares mn eipq. Supposoi^ qu'ils se conpent au point O, ce point O sera un point de l'axe radical des cercles donnés^ et ou aura

tajDg — taog

On On Oà

( i5. ) Donc le point O, et, en général, tout point appartenant à Taxe radical des cercles donnés est un pbint d'égale puissance par rapport aux deux tîercles. c. q. f. d.

On peut encore démontrer que si un cercle A coupé deux cercles B et G à angle droit, le cercle A aura son pôle sur Taxe radical des deuic autres.

Si les pôles des deux cercles sont sur Taxe des x, l'équation de l'axe radical se réduit à

X [m'af — m"x'') 4- m' — /w" = o.

Si Ton veut que Taxe radical serve comme axe des j, il

faut avoir

m* = m" ou ^

cosr, v^i +^ = r,^ \Ji-{- a:J;

si Ton appelle cn'^a" les abscisses des deux centres , cette relation devient

cos>' cosr^^

CCS a' *^ cosa"

L'équation d'un des cercles peut alors s'écrire ainsi :

cosr' / ■

cosa' ' *^

Posons

cosr

cosa noUs aurons

xx' -f- 1= /* ^i -hx»-4- /'.

Si nous donnons à x' deux valeurs arbitraires en laissant h constant, nous aurons le» équations de deux cercles ayant pour axe radical Taxe des j^. Cette manière de représenter les équations de deux cercles peut servir dans quelques problèmes ou théorèmes.

t* Exemple. Si pour un point de Fàxe radical de

( i5a ) deux cercles on détermine sa polaire relativement à cha* cun d^eux, ces deux polaires se coupent sur Taxe radical. (Nous supprimons la démonstration qui est très-simple. ) //'' Exemple. Étant donnés deux cercles, si l'on mène une circonférence de grand cercle perpendiculaire à là ligne des centrés , et que pour chacun de ses points on trace la polaire relativement à chaque cercle , le lieu des intersections de ces polaires sera une circonférence de grand cercle symétrique de la première par rapport à Taxe radical.

La suite prochainement.

SOLUTION DE LA OlIESTION 37i

(Toirt. XVi).

Déterminer sur le plan d'un triangle ABC [et dans l'intérieur du triangle) un point O tel, quen multipliant chaque distance de ce point à un sommet par le sinus de l'angle formé par les deux distances aux deujc autres sommets, la somme des trois produits soit un iTiaximum, Démontrer que le centre du cercle inscrit vempfit cette condition .

La fonction dont il faut détermitier le maximum e$t

AOisinBOG + BO.sîn AOC -h CO.sin AOB.

Pour déterminer ce miaximum^ il suffira d'établir le lçmn[ie suivant :

( i53 ) Si par Vun des sommets d'un triangle AOB on mène, une droite OF çui divise en deux parties quelconques l 'angle AOB formé par les deux côtés OA , OB , et gnon multiplie respectii^ement chacun de ces côtés par le sinus de r angle que Vautre côté forme ai^ec la ligne de divi^ sion OF, le piaximum de la somme

AO . sin BOF + BO . sin AOF

de ces deux produits sera le troisième côté AB du triangle. Pour démontrer cette propoâition, je mène une droite OG qui fasse avec OA l'angle AOG = BOF, il en résultera BOG=AOF.

Les triangles AOG, BOG donnent

AO . sin AOG = AG . sin OG A et

BO.sin BOG =à BG.sinOGB = BG.sin OGA.

Ajoutant membre à membre ces deux égalités, il vient

AO.sinA0G + B0.sinB0G=:AB.sinOGA,

AO.sinBOF-H BO.sinAOF = AB.sinOGA.

Cette dernière relation montre que la somme AO.sinBOF -h BO.sinAOF

est en général moindre que AB. Pour qu'elle devienne ^ale à AB, il faut que l'angle OGA soit droit, et dans ce cas les angles BOF, AOF sont les compléments des angles OAB, OBA adjacents au troisième côté AB du triangle,

II est maintenant facile de trouver le maximum de la fonction

AO . sin BOC -+- BO . sin AOC -+- CO . sin AOB .

En effet, désignons par OF, OE, OD les prolongements

( i54 ) des droites CO, BO, AO, ou aura

sin BOC = sin BOF, sin Â.OC := sin AOF,

d'où

AO.sinBOC +BO.ÛDÀOG =r AO.sio BOF + BO .sin AOF.

Mais on vient de voir que AO sin BOF -4- BOsîn AOF ne peiu jamais surpasser AB; donc on aura en général

(i) A0.sinB0C4-B0.siiiA0G<AB;

et de même

(2) BO.sinAOC + CO.sinAOB<BG,

(3) CO.sinAOB 4- AO*sinBOC<AC.

Additionnant et divisant par a , il vient

AO . sin BOC + BO • sin AOC 4- CO ,sin AOB < -?-±-5L±^.

Ainsi, la somme des trois produits dont il s^agit est généralement plus petite que le demi^périoiètré du triaogle ABC ; pour qu'elle soit égale à ce demi-périmètre, il faut que les premiers membres des inégalités (i), (2) , (5) deviennent égaux aux seconds membres AB, BC, AC. Or, pour qu on ait

AO. sin BOC + BO.sinAOC = AB,

il faut , comme on Ta vu précédemment , que Tangle AOF soit le complément de OBA. De même, Tégalité

BO . sin AOC -h CO . siû AOB -±1 BC

exige que l'angle COD soit le complément de OBC. Mais les angles AOF, COD sont égaux comme opposés au sommet 5 donc leurs compléments OBA , OBC seront aussi égaux entre eux, c'est-à-dire que la ligne BO sera la bissectrice de Tangle ABC.

( i35 ) On prouvera de même que CO doil eue la bisscclricc de Tangle BCA si Ton suppose à la fois

BO . sin AOC -I- GO . sin AOB = BC et

CO. sin, AOB 4- AO.sinBOC— AC.

D'où Ton peut conclure que le maximum de la somme AO . sin BOC + BO sin AOC -f- CO . sin AOB

s'obtient en faisant coïncider le point O avec le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, et que la valeur de ce maximum est le demi-périmètre du triangle. G.

Note. Dans le t. VII, n° lo, du Bulletin de V Académie de Saint-Pétersbourg y M. Peters (*) établit par le calcul des probabilités que la station de la planchette est déterminée avec la plus grande sécurité lorsqu'elle est placée dans le centre du cercle inscrit dans le triangle formé par les trois objets pris pour auxiliaires dans le problème dit de Pothenot /, cela donne lieu au problème que M. Gerono vient de résoudre d'une manière • trèssimple. M. le professeur Richelot en a donné une solution euristique et fondée sur le calcul différentiel ( Astr, Nachr,, n^ 998^ t. XLII, p. 217, i855). Tm.

(*) Le célèbre directeur de Vobservatoire d'Altoiia.

(voir l. XVI . p. 111) ;

Par mm. h. VIËLLARD it M. LA.QUIÈRË,

Élèveft du lycée Saint-Louis ( classe de M. Faurie))

Et m. L. de COINCT,

Élève du lycée Bonaparte.

Soit a m le degré de Téquation.

Le polynôme y (x) étant un produit de facteurs du second degré de la forme

sa dérivée sera la somme de produits de facteurs du second degré de cette forme, produits multipliés respectivement par la dérivée de celui de ces facteurs du second degré qui n'entre pas dans le produit.

Cette dérivée étant pour tous les facteurs

on aura

F(x) étant la somme de tous les produits [m — i) à (m — i) des facteurs du second degré de la forme ci-dessus qui entrent dans le polynôme/ ( a: ).

1°. De (a) résulte d'abord que 5 est racine de

12^. Les facteurs de la forme énoncée [{x — a){x — 2J H- «)] donnent le même résultat par la substitution de A ou de

( '57 ) 2i — À à la place de x, puisque ce résultat est

ou bien

Ainsi le polynôme F (x) donnera les mêmes résultats par

ces deux substitutions. Si donc k est racine de/' (x) =o

et , par conséquent, de F (a:) = o, 25 — A le sera aussi.

3**. La dérivée/' (x) est de degré (2 w — i), et l'on a

F (x) étant un polynôme de même forme que/(a:), c'està-dire qu'il est un produit de m — i facteurs de la forme

Le polyuôme ç (x) est donc un polynôme de degré impair ayant une racine égale à 5 et dont les autres racines se partagent en couples de somme commune 25. Cela posé,

Or, d'après la démonstration ci-dessus,

F'(x) = 2(^-5)F3(.ar),*

Fs(x) étant d'après la démonstration précédente de la forme F (x) , c'est-à-dire produit de facteurs du second tlegré en nombre ,2 (m — 2 ) et de la forme

ç'(x) = F(.r)H.2(ar-5)(jî-#)F,(a:).

En appliquant encore à f ' (x) la même démonstration que ci-dessus à F (a:), on prouverait que sif' (x) a la racine /, il a aussi la racine 25 — /. c. q. f. d.

( «ss )

Ainsi

soDt de même forme

ont la racine 5.

Les autres racines des polynômes (/3) et celles des polynômes [a) se partagent en groupes de somme 25 (*).

PROPOSITIONS DIVERSKS SDR L HYPERBOLOIDE A UNE NAPPE.

G4)vitrictira fuie svface da qaairiène onlre passait par hvit poiits;

Par m. poudra.

1°. Par trois droites de l'espace, on peut faire passer un hyperboloïde à une nappe et on n en peut faire passer qu'un seul.

n?. Par deux droites et trois points de Tespace, on peut faire passer un hyperboloïde et on peut n'en faire passer qu'un seul.

3°. Par une droite et six points de l'espace , on peut faire passer un hyperboloïde et on n'en peut faire passer qu'un seul.

4**. Par trois droites dont l'une s'appuie sur les deux autres et par deux points de l'espace , on peut faire passer un hyperboloïde et on n'en peut faire passer qu'un seul.

5°. Par quatre droites dont deux s'appuient sur les deux autres et par un point de l'espace , on peut faire

- (*) MM. Marquet, candidat à TÉcole Normale supérieure, et Chanson ont envoyé des solutions de la question ^12.

passer un hyperboloïde et on n'eu peut faire passer qu'uu seul.

6^. Deux byperboloïdeç se coupent généralement suivant une courbe du* quatrième ordre.

7^. Deux hyperbololides ayant une génératrice commune se coupent suivant une courbe du troisième ordre ayant celte génératrice pour asymptote.

8^. Deux hyperbolpïdes ayant deux génératrices conjimunes se coupent suivant deqx autres droites qui sont toutes deux réelles ou toutes les deux imaginaires. En effet, tout plan sécant donne lieu à deux sections coniques qui ont généralement quatre points d'intersection ; à cbacun de ces points correspond une génératrice commune.

9°. Quatre points a ,' 6, c , rf de l'espace donnent lieu aux trois quadrilatères gauches abed^ abdç^ ftdbc. Un cincpiièmepointe détermine donc (5) trois hyperboloïdes qui, deux à deux, ayant deux génératrices communes ,< se couperont encore suivant deux autres droites.

ro^. Cinq points a , i , c , ^, e déterminent quime byperboloïdes qui deux à deux ont quatre droites communes. «

Considérons un quadrilatère abcd formé par les deux droites ab , cd et les deux droites ad , bc qui s'appuient sur les deux premières. Soii un cinquième point o variable. A chaipie position de ce point e cornespondra un seul hyperboloïde, de sorte que pour diverses positions de ce point, nous aurons divers hyperboiojides *, nous appellerons^/îv>ceau d^hyperboloïdes cette série de surfaces ayant pour base commune le quadrilatère abod. Si l'on eofipe ce fais* ceau d'hyperbdlm'des par un plan , on ob tien4ra vax faisceau de coniques passant par les quatre points communs où ce plan coupe les quatre génératrices communes a&, cd^ ad^ bc. Ce faisceau de coniques a pour fonction anhar-

( x6o ) moniqiie le rapport aiihariuonique des tdùgentes à quatr(ï de ces courbes en un point quelconque de leur intersection. Ce rapport afiharmonique sera égal à celui des quatre plans passant par ces quatre tangentes et par la génératrice commuTie qui passe par ce point « 11 en résulte que le rapport anharmonique des quatre tangentes sera le même que celui des quatre plans tangents en ce point. Ce rapport sera le même quel. que soit le plan sécant^ nous l'appellerons ainsi la fonction anharmonique du. faisceau d'hyperboloïdes (* ) .

Soient trois hyperboloïdes passant par les deux droites communes ab^ cd et successivement par les trois points ^19 ^9 9 ^8< Le plan E passant par les trois points coupera les trois hyperboloïdes suivant trois coniques passant par les points d'intersection du plan avec les deux droites ab^ Cé/ et deux autres génératrices (9).

Soient encoi*e trois autres hyperboloïdes passant successivement par les trois mêmes points et par deux droites ' communes a' J', c'rf'. Le plan E les coupera aussi suivant trois coniques.

Imaginons deux systèmes de coniques hômograpbiques relativement aux trois premières coniques et aux trois secondes coniques. Ces deux systèmes se couperont, d'après un théorème connu ^ suivant une courbe du quatrième degré passant par onze points connus : 1^ les trois positions primitives «i , e^, es , et s" les huit points où le plan E coupe les huit génératrices ab^ dc^ ad^ bc^ a' b'^ d' c\ a' d\ b' c', et chaque point de cette courbe sera une position du poiut e par lequel passent deux génératrices de deux hyperboloïdes homologues.'

Tout autre plan sécant donnera lieu dé même à deux faisceaux hômograpbiques de coniques, Tun ayant pour

(*) Vo/Vt. XII, p. 3Ci. Tm.

base les quatre points d' intersection de ce plan avec les quatre génératrices ab ^ cd^ ad^ bc^ et l'autre parles quatre points résultant de Fintersection de ce même plan avec les quatre génératrices a' i', c' J', a' d^^ b' c' . Mais ensuite chaque position du point e dans le plan E donne lieu à deux génératrices qui, coupées par le nouveau plan, donneront deux points dont F un appartiendra à une conique d'un faisceau çt l'autre à la conique homologue dans l'autre. La courbe d'intersection de ces deux faisceaux sera donc généralement une courbe du quatrième ordre. A chaqxie conique correspond un hyperboloïde. On a donc aussi deux faisceaux homographiques d'hyperboloïdes.

L'intersection des deux faisceaux homographiques d'hyperboloïdes sera une surface du quatrième ordre, laquelle semble intéressante à étudier.

I®. Par son intersection avec un plan quelconque, elle peut donner' lieu à une très-grande variété de courbes planes du quatrième ordre.

2^. Cette surface passe parles huit droites afc, ce?, arf, bc,a'b\c'd,a'd',b'c\

3*^. Si le plan sécant passe par une des huit arêtes cidessus, la section sera une courbe du troisième ordre et F arête ci-dessus eni sera une asymptote.

4°. Si le plan sécant passe par deux génératrices telles que ah , bc qui se rencontrent en b^ ce plan sera d'abord un plan tangent à la surface en ce point, et la courbe d'intersection sera une section conique. Il y aura donc huit plans qui donneront des sections coniques.

5®. Tout plan sécant parallèle à une des arêtes donnera une courbe du quatrième ordre ayant deux points à F infini dans la direction de F arête.

6^. Si le plan sécant est parallèle à deux arêtes, la courbe aura donc quatre points à l'infini.

Aftn\ de Mathémat., t. XVH. (Mai i858.) Il

( ,6a ) 7^. Si les huit points d'intersection du plan E ei: des huit génératrices étaient sur une même conique ainsi que les points ei ^ e^^e^^ alors la surface du quatrième ordre se changerait en deux hyperbolotdes.