TABLEAU
De& diTers cas fiie présente le preUène •« il s'agit de déterniner imaédiateneit les aes d'aie seetiei coiifae cerne senleneit par cerUiees ceiditieis sans décrire la eevbe ;
Par m. poudra.
Désignation des données,
1^. a ^b^c^ d^ e des points de la courbe; 2°. A, B, C, D, E des tangentes à la courbe aux points respectifs a y A, c, dy e^ 3°. O le centre de la courbe; 4°. F, Fj les foyers ; 5°. M , M^ les longueurs de deux diamètres conjugués \ 6°. a l'angle de ces deux diamètres conjugués ; 7®. A , hi les extrémités du grand axe et £, l'i celles du petit.
J'ai résolu tous les cas suivants :
Données. Données.
!•. a, by Cy dy e, 1 1°. a, h^ C, </, D.
2«; Uy by Cydy E. 12». A, B,C, dyD.
3^ «,>,<?, D,E. i3^ F, a^byc. «
4«. fl,fc,C,D,E. i4». F,«, ^>C.
5°. û,B,C,D,E. i5». F,rt,B,C.
7». £1, fr, c, B, C. 17°. F, «, 6, B.
9«. /ï, ^, c, <^, D. ig«. 0,M, M,, <3t.
10°. fl, B, C, «/, D. 20«. O, «, M, «.
Données. Données.
23«. O, u, B, a. 3o''. O, a, by B.
25^ O, fl, A, a. 32°. O, F, a,
26^ o, rt, ô, c. 33«. 0,F,A.
Il me reste à résoiidre :
36^ /i, fl, B> C. 42«. A, O, «.
Note. On est disposé à donner ces solutions aux lec* leurs qui les demanderont.-
FORMULES FONMHENTALES DE L ANALYSE SPHÉRIOHE
(TOir p. 140);
Par m. VANNSON.
Transformation des coordonnées.
1°. Prendre pour nouvelle origine un point donné sur l'axe des x en laissant les axes rectangulaires. Soient a Tabscisse delà nouvelle origine et
l'équation de la courbe donnée ^ si nous j introduisons les
( i64 ) coordonnées géographiques sans changer l'origine, l'équalion devient
^ \ cosx,/ '
x^ étant Tabscisse dont x était la tangente. Remplaçons maintenant x^ par j^i + a , l'équation deviendra
A tang(ar, -ha), -I-^ — - = o.
L ; cos(x,-f-fl)J
Pour revenir maintenant aux coordonnées géométriques après le changement d'origine, il suffit de multiplier y par cos Xy •, l'équation demandée sera donc
[/ N rcosjTi 1 tang oTi + fl), ^ ; — - =0.
Si nous développons tang (xi -f- a) et cos (Xx + a) , nous aurons , en posant
a = taDga et X=:tangar,
l'équation plus simple
rX-4-a y 1 ^^
^Ll— raX' C08fl(l — aX)j
Nous allons appliquer cette méthode à la recherche du centre dans les courbes du deuxième degré dont l'équation générale est
ky^ -f- Bxy -h Ca:* -4- D/ H- Ex -4- F = o.
Remarquons d'abord que si l'on trouve sur la surface de la sphère un point O tel , que deux arcs menés de ce point et terininés de part et d'autre à la rencontre de la courbe soient divisés au point O en deux parties égales, tout autre arc mené par le point O sera divisé de la même manière , donc le point O sera le centre de la courbe.
( t65 ) En effet , prenons ces deux arcs pour axes et O pour origine: en faisantj^ = o, on devra trouver deux racines égales et de signe contraire , d'où
E = o; on aura de même
d'où l'on voit aisément que tout autre arc mené du point O et inscrit à la courbe aura son milieu au point O ^ O est donc le centre. Soient a et i les coordonnées de ce point O rapporté aux axes primitifs, a et |3 les tangentes des arcs aetb'^ portons l'origine au point de l'axe des x qui a pour abscisse a , l'équation transformée sera
A^^B^(a + X)^^ D^(.-aX)
cos'fl ces a ^ cosfl
-+-E(a-f.X)^i -aX) -f-F(i— aX)»=o.
Concevons maintenant qu'on ait mené par le point cherché un arc perpendiculaire à l'axe nouveau desj^, l'équation de cet arc sera
j = ê cos a
(/ et j3 sont des tangentes)^ on aura alors une équation du deuxième degré en X ] donc les racines seront égales et de signe contraire , ce qui donne la condition
(i) B^-H2Ca-t-E = a(D6 4-Ea-4-2F);
on trouve de même
(2) B a + 2A^ -|-D = 6(D6-HEaH-2F).
Ces équations sont celles qu'on trouve dans la recherche des plans principaux des surfaces du second degré. Pour nous rendre compte de celte similitude, cherchons l'équation de la surface particulière pour laquelle la recherche
( i6d) des plans principaux condairait identiquement aux équations (i) et (2). On trouve aisément
A/* •+• Cx' -4- Bxy + Dyz -4- Exz 4- F2'== o.
Cest un cône ayant son sommet à Torigine.
Si l'on cherclie F intersection de cette surface avec la sphère en employant les coordonnées sphériques, on trouve la courbe proposée.
n reste à faire voir que la ligne de Tespace ayant pour coefficients de direction a , /3 , est perpendiculaire à un des plans principaux. En effet, si nous joignons le centre de notre conique sphérique au centre de la sphère par une droite , cette droite aura pour équations
et comme elle est Tintersection de deux plans principaux du cône , elle est bien perpendiculaire au troisième , ce qu'on voulait faire voir.
Il suit de là que l'élimination de a dans les équa-* tions (i) et (2) conduira à une équation du troisième degré ayant ses trois racines réelles. Notre courbe a donc trois centres , qt , d'après ce qu'on vient de voir, ils sont placés aux trois sommets d'un triangle trirectangle. On voit aussi que si Ton construit ce triangle , chacun de ses côtés partagera la courbe en parties symétriques et sera , par conséquent , un axe de cette courbe.
Remarque. Si , au lieu de transporter l'origine en un point de l'axe des x, on la transportait à la distance 6 sur Taxe des j-, on aurait
, cosy
X1=ZX ; ; r:'
cos(/'-f-6)
Second cas. Pour changer d'axes sans déplacer Forigîne, on peut employer la considération des projections
( »67 ) centrales. On peut aussi, comme nous allons le faire voir, se servir d'un procédé identique à celui qu'on emploie sur un plan.
Définition. Nous appellerons rhombe sphérique un quadrilatère ABCD dans lequel les côtes opposés AB, CD et les deux autres AC et BD se coupent à 90 degrés du sommet A en P et P'.
Théorème. Si par le sommet A d^un rhombe sphérique \*) on mène un arc de grand cercle y la tangente de la projection de la diagonale AD sur cet arc égale la somme des tangentes des projections des deux côtés AB etKC.
FiG. 1.
Soient or', y' les tangentes des coordonnées de B et tJ\ y" les tangentes des coordonnées de C. L'arc PBC aura pour équation
et l'arc P' DB aura pour équation
(*) Le terme parallélogramme , que nous évitons à dessein, a déjà été employé pour désigner un quadrilatère dont les c^agonalcs se coupent en parties égales.
- ( i68 ) On lire de là pour le poinl D .
& Ton menait par le point A un autre arc AE et qu'on construisit un nouveau rhombe avec AD diagonale du premier et AE comme côtés, la tangente de la projection de la nouvelle diagonale égalerait la somme des tangentes des projections des arcs AB, AC, AE , et ainsi de suite pour un nombre quelconque d'arcs.
Cela posé, soient OX et OY deux axes faisant entre eux Fangle ô, soient a l'angle du nouvel axe des x avec l'ancien et a' l'angle du nouvel axe des y avec OX \ si nous traçons les arcs projetants d'un point m dans les deux systèmes, om sera la diagonale commune à deux rhombes. Si donc nous la projetons sur un arc perpendiculaire à l'axe OY, nous aurons , par le tbéorème précédent ,
tang proj. km = x sin 9,
et cette même tangente égale
' J?'sin(e — a)H-y sin(a— a'), d'où
^ jr'sin(e — a)H- ^^sin(Q-~«^) sin 0 On trouve de même
ir^siDa -^y sina^ sinô
Les formules relatives aux divers cas particuliers se déduisent de là comme sur un plan.
Simplification de V équation générale des courbes sphériques du second degré.
Nous avons indiqué plus haut le moyen de trouver les
coordonnées du centre (C) 5 pour y transporter l'origînt?, on commencera par faire tourner Taxe des x jusqu'à ce qu'il passe au centre en laissant les axes rectangulaires;
l'angle a aura pour tangente "^5 j^ et x' désignant les
tangentes des coordonnées du centre 5 puis on transportera l'origine sur le nouvel axe des x au point C, la distance a des deux origines étant donnée par la formule
tanga = Vrî + ^'î-
Quand on applique au cas du cercle , la première transformation doit faire disparaître la première puissance de y et le rectangle des variables par raison de symétrie, la seconde fait disparaître x, et on trouve pour équation transformée
, B>(D»-f-EM-f-2EDBF •^ DE(DE — 2BF)
Ce second membre représente évidemment le carré de
la tangente de la distance polaire du cercle donné. On peut
en déduire
