DE(DE— 2BF
cos' r = ^ =r — •
D'E^+B'D^-hB'E^
(BORGNET.)
Si Ton pose
tang' r=p%
l'équation prendra la forme
jr^ ^ x^ =z p'.
Pour une courbe quelconque du deuxième degré, après avoir porté l'origine au centre, on pourra faire disparaître le rectangle des variables et calculer les nouveaux coefficients par les mêmes formules que dan^ les courbes planes ; l'équation de 1* courbe sera alors
( »7o ) si nous supposons A et C positifs, F devra l'être, et si l'on pose
on la mettra sous la forme
Si A et C sont de signes contraires, on la mettra de même sous la forme
(BôRGNET.)
Mais , dans ce second cas , on peut ramener Téquatioa à la première forme en transportant l'origine sur l'axe des a; à 90 degrés de l'origine actuelle, si on a — i dans . le deuxième membre , et en opérant de même pour l'axe des / s'il y a. 4- 1 . Pour cela , appelant a:' et /' les coordonnées anciennes, et X', Y' les nouvelles, on posera, comme on l'a vu plus haut,
et
tancY'cosj:'
'^"er'=— ) — -'
cos ( a^i-h - I
ce qui conduira à l'équation
tang^ y X'
en posant
OU , plus simplement ,
TT-i--T=ll
çn représentant tangY' par Y. On voit donc qu'il n'y a en réalité qu'une seule courbe sphérique représentée par
Téquation générale du deuxième degré : on la nomme ellipse sphérique» Comme ou peut ajouter tt à un arc sans changer sa tangente, il s'ensuit que l'équation (i) représente deux courbes égales ahc^ a^ i'c'^ si l'origine est au point O ou O', on a Téquation (i) ; si elle est au point D à égale distance de O et de O' sur Taxe des X , on a l'équation
et D, D^ seront deux nouveaux centres; enfin, si Ton porte l'origine sur l'axe des y au point L ou L' à égale distance de O et de O', l'équation prendra la forme
( ï7^ ) et les points L, L' seront deux nouveaux centres. Nous trouvons donc six centres ^ si le calcul n'a donné que trois solutions, c'est parce que deux points diamétralement opposés ont les mêmes coordonnées. On reconnaît aussi que ces trois points sont placés aux sommets d'un triangle trirectangle. ( Bokgnet. )
PROBLÉNE.
TroiTer le liei géoBétriqie des centres des sectiois faites daas ni cine di second ordre par ne snite de plans passant tons on par nn mène poiit on par nne mimt droite;
Par mm. MARQUET et DALICAN ,
Candidats à l'École Normale supérieure.
