PREMIERE PARTIE

Voici la méthode générale qu'il faut suivre dans le premier cas :

Soient

l'équation d'une surface du deuxième degré ;

l'équation générale du plan passant par le point donné*, cette équation renferme deux paramètres arbitraires. Entre ces deux équations, on éliminera une des trois variables, z par exemple, on aura ainsi une équation entre x

équation de la projection de la courbe d'intersection sur le plan. Les coordonnées du centre de cette courbe seront

< .73 ) déterminées par les équations

entre ces deux dernières équations et Téquation

on éliminera les deux paramètres arbitraires , et on aura une seule équation en x^ y et z qui sera celle du lieu cherché. On voit donc de suite que le lieu cherché est une surface.

Appliquons celte méthode au cône.

Supposons, pour plus de simplicité, que le sommet du cône soit à l'origine, et que son équation soit

(i) Par^ + F/» — P"«« = o.

Il faut 'au moins qu'un des trois coefficients soit négatif.

Soient (xf^y,z^)les coordonnées du point donné; l'équation générale du plan sécant est

Portant la valerurde z dans Téquation (i), on obtient Téquation

(P— fl'P") X' -4- (P' — b' P") X' — 2aA P'' xy \

-f 2P" (aa/ -f- ày' •^z')aa^'\' 7,^{axf -h by '-h z!) ^/ V = o,

— P''{ax'H-^/-4-*7 )

qui, jointe à l'équation (2) , représente la courbe d'intersection. Les équations qui déterminent le centre sont

(3) «M* — ^) — «*(/-/') -4- /ïz' 4- pa: = o,

(4) ^'(r-y)-«^(^--^)-^^2' + Lr = o.

( 174 ) Eliminant a et b entre les trois équations (2), (3), (4) î on obtient

Le lieu cherché est donc une surface du second degré Les coordonnées du centre sont

ce qui indique que ce point est le milieu de la droite qui joint le point donné au sommet du cÔQe.

Si Ton prend le centre pour origine, on obtient

4 (Pa?» H- P'/> — P'' «») r= P^« 4. ^y* — P'' a'%

l'on a un hyperboloide à une nappe ou à deux nappes selon que le second membre est positif ou négatif^ l'hyperboloïde et le cône ont un élément rectiligne commun et passant par le centre.