SECONDE PARTIE
Dans le cas où le plan sécant passe par une droite donnée, la méthode générale est la suivante :
Soient
l'équation d'une surface du deuxième degré ^
y =r iz H- ^
les équations de la droite donnée; l'équation générale des plans passant par cette droite est
j; ■— rfz — /?=> (j — bz — q).
Entre cette équation et celle de la surface , on éliminera
( 175 ) une des variables , x par exemple, on aura une équation
qui représentera, conjointement avec Féquation du plan, la courbe d^intersection. Entre les équations
du centre de la courbe et Féquation du plan , on éliminera Tindéterminée X , on aura un système de deux équations en X, y ^ z qui seront les équations du lieu; donc le lieu sera une courbe.
application au cône, ■ Soit donc
(i) p*»-i-py — p"z» = o
l'équation du cône. Eliminant x entre cette question et celle du plan variable, il vient
Les coordonnées du centre soqt données par les équations *
(3) x»Cr-6î — ï) + x(«-t-/>)-Hp-r = o,
I X» b (r— bt — q) — \\a{y — bz — g) — b {az -^ p)]
a(az^p]'+- —2=0;
d'où l'on tire
(5) 'kaix^ ^z—7)H-fl(flz-+./7)-+.- ^j — — z = a.
( .76 ) Eliminant successivement X entre Téquation du plan variable et Téquation ( 5 ) , on obtient
(6) (x— flz — /?)j:-H-(7 — ^5 — ^)/=o,
(7) aPx+^P'r — P"« = 0-
Ce sont les équations de Tintersection d'une surface du second ordre par un plan ^ ainsi le lieu cherché est une coirique plane.
Remarque. Il resterait maintenant, pour compléter la question, à examiner ce que devient le lieu dans les cas particuliers où la droite passerait par le sommet du cône, serait une génératrice , etc., mais l'étude de ces cas particuliers n'offre rien de remarquable.
Note du Rédacteur, La théorie des polaires réciproques (principe de dualité) donne ce théorème :
Soient donnés : i^ un cône du second degré ^ a^ un point fixe-, 3^ un plan fixe. Par le point on mène un plan quelconque qui coupe le cône suivant une conique, et le plan fixe suivant une droite: le lieu du pôle de cette droite relativement à la conique est un hyperboloïde dont le centre est dans le plan fixe.
Les deux propriétés énoncées ci -dessus pour le cône subsistent pour une surface quelconque dm second degré ^ c'est d'une évidence intuitive pour la sphère^ et par les procédés métamorphiques on passe dé la sphère aux autres surfaces -, toutefois une démonstration générale directe est à désirer.
Lorsque la droite se transporte à T infini , on a des sections parallèles. Cette propriété est dans tous les traités élémenlaires.
SOLirriON DE LA QUESTION 428 (VANNSON)
(Wir p. 48).;
Par m. Abel DE BOISCHEVALLIER , LlèTe du lycée Saint-Louis (classe de M. Faurie).
Soient O , O ' deux cercles se touchant extérieurement et satisfaisant aux trois conditions énoncées. Les triangles
isocèles MKO^ BKO^ étant équiangles, MO et BO^ sont parallèles ; de même OA est parallèle à O'N , et l'on a
MOA = NO'B = QSP
(angles de même espèce dont les côtés sont perpendicu* laires). Dans le triangle isocèle O'NB, Tangle à la base est le complément de la moitié de Tangle QSP; il en résulte
QSP
BNP=::
Donc NE est parallèle à la bissectrice de Tangle QSP; pareillement MA est parallèle à cette bissectrice.
Ann. de Mathémat,, t. XVII. (Mai i858.^ 13
( «78 ) Si par le point K on mène KC parallèle à la bissectrice de QSP , on a
MC MK OK g CN ~"BK ""0'K"~r
C s'obtient en divisant MN en deux segments dont le rapport est T 9 et le point K se trouve sur la parallèle menée
par le point C à U bi^ectriee de QSP. En outre
NKM = a* — NKB = a* — 5?£.
donc en décrivant sur MN un segment capable de l'angle
OSP 2** — -î^ — î on a un second lieu du point de contact des
deux cercles.
Construction, On joint les deux points donnés , sur la droite tracée on décrit un segn^ent de cercle capable du supplément de la moitié de T angle des deux droites^ on partage la droite qui limite les points donnés sur les deux droites en deux segments additifs proportionnels aux nombres donnés a , &. Par le point ainsi obtenu , on mène une parallèle à la bisseetrioe , et son intersection avec la circonférence détermine le poiqt de contact des deux cercles. En joignant les poinU do^néaj à cette intersection et prolongeant jusqu'à la rencontre des parallèles à la bissectrice menée par ces mêmes points , on forme deux triangles inscrits dans les cercles cherchés.
mmm w u oijestion 413
