Y01TP
Par mm. COIVMET kt G. LKQRAWDAIS,
Élèves du lycée LoQi»-le-Gr9n4.
Soient F «t D le foyer ?t U direçt^i^ce çprreApaQ^^ntc d'une conique ^ Ai , A» , àm^ pWQt^ fiiçfî* «ur )a conique et M un point variable aussi sur la conique^ les droites MAt, MAf rencontrent respectÎTement la directrice aux points P et Q,^4 çlîstî^nç^ PQ ^^( yw 4u foy»p F sous un angle constant, quelle que soit la position du point M sur la conique. (Fà^re.)
Cette question se résout t,rçs-facileroam çp «'appuyant sur cette propriété si connue des courbes du second degré :
Soit une sécs^ne quelconque MAi , F un foyer, DD' la directrice correspondaute , la ligne FP qui joint le foyer F au point P où la sécante coupe la directrice e§t bisisççtrice de l'angle Ai FK extérieur au triangle MAjF.
De même FQ est bissectrice de Tangle A, FK.
Mais
<^«^ «%<»«.. ^-w^mw Al FK- AaFK A1FA2
PFQ = PFK — QFK = -U-,- — ^ = -i '-i
donc Tangle PFQ est constant et égal à la moitié de Ai FAa
Note, M. Aignant fait laxemarque que lorsque la droite Al Aj passe par le foyer, l'angle constant est droit.
MM. Carenoù, Laquières, Feneon, élèves du lycée Saint- Louis, Bonnet, élève de Finstitution Mayer, Aignant, élève du lycée de Douai (classe de M. David) , et Chanson , élève du lycée de Versailles , ont résolu la même question.
M. A. James, maître répétiteur au lycée de Versailles, applique le même raisonnement à l'ellipse sphérique.
(TOlr p. 179);
Par m. BERGIS,
ÉlèTe du lycée Gharlemagne ( institution Massin).
Soit l'équation de la conique
^ I — eco%a et
e cosa
celle de la directrice correspondante au foyer pris pour pôle.
Soient r', a' leô coordonnées du point Ai ^ r", a" celles de As ; p', 0)^ celles du point variable M.
D'après une formule connue, l'équation de MAi sera
pVsin(ft>^ — gQ
° r'sin(« — a') — p'sin(« — w'j ou
[ pVsin(M^-^ft^)
^ (/cosa' — p'cosw')sina -+- (p'sinw' — / sin a' ) ces a *
La coordonné€( angulaire du point d'intersection P de
(i8. ) cette droite avec la directrice sera donnée par la formule
e p' r' sin (»' — a' ) 4- (p' sin «' — r' sinaM p ° (r cosa' — p' cos w ) p
ou bien , en exprimant que les points Ai , Ât , M sont sur la conique, on a, réductions faites ,
sm X — sm «'
tang û», == ; ;
^ cos a — cosw'
ou
tang wi = —
tang-(a -f-w')
De même MAj coupera D en un point Q dont la coordoimée angulaire sera donnée par
tang ei>2 = — — •
tang - (a"-f-w")
L'angle sous lequel la distance PQ est vue du foyer F est la différence des angles a)i et oa^. La tangente de cet angle sera donc donnée par
tang- (a" H- «') tang i (a' -H w' )
tang - (a" ■+- w') tang- (a' -f- «')
ou
sin -(a' — a") 2^ '
rin - f a'^ 4- «M sin - (à" -4- w') -H cos - (a' + «') cos -(a"4- û^')
ou
enfin
taDgl(«'-a>"),
quantité constante.
( i8M Le thëol^ème est dokic démontr».
Nvte dn Rédacteur. M. Richard Oxametidi considère ks polaires des poiats P et Q , elles passent par F et sont respectivement perp^Ddicolairea a PF ot QF \ l«s droites PF, la perpendiculaire a PF en F, les droites FA , FM forment un faisceau harmonique : un angle étant droit dans ce faisceau , Tautre est bissédé , etc.
SOUITiaN n LA QUESTION SOI
(foir t. XIV, p. tel};
PAa M. CHANSON,
Élève du lycée de Versailles (classe de M. Vaùnsoto ).
Un dé est un cube portant sur chaque face des trous nommés points. Ses faces opposées sont i 0t6,2et5,3 et 4« Les points sont placés de manière que le centre de gravité de chaque face coïncide avec son centre de figure; le centre de gravité du dé n'est pas à son centre de figure. Trouver la distance du centre de gravité à chaque face , en supposant que chaque trou enlève une portion de volume
représentée par - du volume total , et p > 21 .
Soient A le cubedonné et ù son côté. Lé volume du dé est
Or le moment du dé par rapport à une face quelconque , la face qui contient 6 points par exemple, est égal au moment du cube par rapport à la même face, moin« la somme des moments des trous. •
Si j'appelle x^ la distance du centre de gravité cherché à la face (6), le moment du dé par rapport à cette face
( »83 ) est
le moment du cube par rapport à la même face est
Quant à la somme des moments des trous, je peux Févaluer en évaluant sëparétnent la somme des moments des trous de chaque face et ajoutant ces sommes.
Or, puisque le centre de gravité de chaque face coïncide avec son centre de figure, j'obtiendrai la somme des moments de» trous d'une face quelconque, en multipliaill la somme de leurs volumes par la distance k la face (6) du centre de figure de la face considérée. Ainsi donc la somme des moments des trous par rapport k la face (6) sera
p pVLptkplp%
Td\ donc Fégalité
d'où
OU
Je vois alors une loi se manifester et j'aurai de mendie , par analogie /en appelant
(184) les dislances du centre de gravité aux faces 5 , 4> 3 ) ^f ^i
Xj = -r * .[(^ — 21) -+-5 — 2],
On vérifie du reste immédiatement que là somme^es distances à deux faces opposées , c'est-à-dire
Xx -\- Xe OU Xi -h Xi OU J*3-f-.r4,
est égale au côté du cube a.
Nous remarquerons aussi que la face la plus voisine du centre de gravité est la face (i) et que la plus éloignée est la face (6). Cette dernière est donc celle qui aura le plus de chances à se présenter au joueur.
Le rapport entre la distance maximum et la distance minimum est .
Xe /? — l6
Il est facile de déterminer ce rapport très-approximativement peur un dé donné.
It n'y aura qu'à mesurer le volume du dé au moyen de la balance hydrostatique, d'abord tel qu'on le donne, ensuite en bouchant lés trous avec un mastic imperméable et de manière que la surface de chaque face reste bien plane. La différence entre les deux donnera la somme des volumes des trous ; et divisant par 2 1 , on aura le vo-
( ,85 ) lume d'tm trou dont le rapport au volume du cube total
doDrDera la fraction -? et par suite le nombre p.
Ayant fait cette opération sur un dé dont le côté était de i5 millimètres , j'ai trouvé que p était égal à i373. Cela donne alors pour le rapport considéré :
QUESTIONS
43i . ABGDEF est un hexagone inscrit dans une cir- .conférence. Si l'on pose
ABma, CD=ô, EF = c,
CF = A, BEr=B, Âd=C, on aura
ABC = crû' A -f- bb' B -+- ce' C -f- abc -f- «' b' d,
(Prouhet.) 432. Déterminant
H- si n est de la forme 4/f^ ou 4p -f- i ;
— si « est de la forme 4p -rf- 2 ou 4p + 3. (Painvin.)
