Démontrer Fidentité
On (fl« -f- tfi -+- a, H- . . . -f- Ah)
(Werker.)
441. Le produit de plusieurs nombres consécutifs ne peut être une puissance parfaite lorsqu'un de ces nombres est premier absolu. (Mathieu.)
SOLUTIONS DES QUESTIONS 4i0 ET 4il (PROUHBT)
(^Ofrt. XVI, 0. MS);
Par mm. Emile MATHIEU, le Capitaine FADRE^ GROLOUS ET TARDY (Gênes).
Si l'on désigne par D le déterminant :
cos/ia« cos^A — l)a» go6(/z •— 2}a«. . . cofDa«
eos^ai cos(«-— i)ai cos{« — «)a,. . . cosoaci
cosRâct cos(«**-i)a» C08{#i-^ a)»». •. coso*»
cos«a« co«(« — i)a„ cos(w— 2«)ûe« .. COSOOn
et par D| le déterminant
cos" ao cos*~' a« cos"~' a. . . . cos« ao
cos"* a, cos""' ai . cos"~* ai . . . cos* a,
cos"a2 cos""' a, cos^-'^c,. . . cos* a,
cos*a„ cos'-'an ces"""' an... cos*a„
on aura
En second lieu , si l'on désigne par D^ le déterminant
sin ( /2 4- I ) OC0 sin /i ao . . . sin a» sin ( /i + I ) ai sin n a. . . . sin a, sin (/t + I ) a, sin /i a, . . . sin a,
on aura
sin (/i -h I ) a„ sin /{ an . . . sin a„ »(n-i)
D, = 2 ^ sin a, sin a, . . . sin a^ D, . Commençons par rappeler la formule
12"'~'i:os'* a» = cos na^-h n cos {n — 2) a© /i(/ï — 1) , ,.
Ensuite aux éléments de la première colonne du déterminant D, ajoutons les éléments des colonnes de rang impair multipliés respectivement par les coefficients du second membre de Téquation (m); puis agissons d'une manière analogue pour les autres colonnes : il est elair que le déterminant D pourra s'écrire de la manière sui-
vante :
a*""' cos" a, 2*»"' cos"~' a, 2»-' cos"~' a» . . . . cos*a« 2"~' cos" a, 2"~" cos"~* a, 2""* coç"""» a, . . . cos*ai
2"""' cos" an 2'
«-» mt»- •
a„ 2*»-^ cos""" a„ . . . . cos» a„
Par conséquent nous aurons
ou .
Pour démontrer la formule de la deuxième question , nous rappellerons Jâ formule suivante :
sin (/i -f- I ) a« = (/i -f- I ) cos^ «• sin a. {n-hi)n{n — r)
cos""' ot $in* a» -h .
qui se déduit immédiatement de celle de Moivre. Si nous remplaçons sin* a, sin* a, etc., par 1 — cos* oc, I — cos* a + cos* a , etc., celte formule pourra s'écrire
sm(n-f-i)a«=sinao/
cos'
L 1.2.3.4.5 Jl
-+• A cos»-' a, -+• B cos"-* «0 H- . .
ou
sin(ii + I ) Ot = sin ««(2"cos" a,-|- A cos«^'a, -h Bcos*-*a,-f-...).
Remplaçons dans le déterminant Df les sinus qui y entrent en fonction de cos «o , et faisons sortir en dehors du déterminant les facteurs sin olq , sin ai etc., communs respectivement aux éléments de la première ligne , de la
{ Ï90 ) deuxième, etc., Dt deviendra
q" cos" «0 h- a cos""* a„ h- B cos"~^ -^... a"""' cos""^ a, -h A' cos"*' a, H- • • . cos* a, : a" cos" a» -H A cos*^* a, 4-B cos""* -h . . . a""' cos""' a^ -*- A' cos""' a, -+- . . . C05*a, ,
a''cos'*06„H-Aco8""~*a„-+-Bco8*^-+-... a"~'o<»'^'«,-4-A''i»f'^*flf»-k-..- cosV, .
Or, d'après un principe duquel nous nous sommes déjà . servis , nous pourrons supprimer les derniers termes de ces éléments, puis les avant-rdemiers , et ainsi de suite, de manière que chaque élément ne contienne plus que son premier terme.
Faisons ensuite aortir les puiasanoes de 2 en detiorada déterminant, nous aurons enfin'
n(n-hi)
H, == a ' sin «0 sin a, . . . sin a„ D,.
(foirt. XVl,p.Wî);
Question 408/ Faisant
Je déterminant ayant deux lignes égales sVnnuIe^ donc D a pour facteur ai ; 6n démontre de même qu'il a pour facteur a^ , etc -, d'ailleurs les exposants ne peuvent dépasser Tunîté^ donc
on voit aussi que le coeflScient est i.
Faisant
( '9' ) Question 409.
on revient au déterminant précédent j donc il existe un terme aiaia^...an. Faisant ensuite
«a = o , on obtient le terme «« aa a^ . .. a„ , et ainsi de suite.
