OBSERVATIONS SDR LA SOLUTION DE LA OUESTION

(▼olr page 79) ;

Par m. DEWULF.

L'équation

se vérifie par des calculs qui ne sont ni longs ni compliqués (i. XVII, p. 8i).

En effet

rfy

dA.

rfA

rfç

dà.

dœ^ dA

dy.

4ro dà

dz,

dz, dùL

dr.

dy.

dx^

dx.

dx.

( '95 ) Donc

De même

Les deux premières coloiines de — D sont dortc identiques , et, par suite.

(voir ptge 33} ;

Par MM..MAR1US LAQUIÈRE et Georges FÉNÉON,

Élèves du lycée Saint-Louis.

Le grahd axe d'une ellipse étant dans une position verticale, toute droite hoïilogèiie p^sâiitë passant par le foyet* et s' appuyant par ses deux extrémités sur l'ellipse est en équilibre «

Je cherche la condition nécessaire pour que la droite MN homogène et pesante appuyée par ses deux extrémités sur les droites MA, NA inclinées des angles a et j3 sur Thorizon soit en équilibre.

La droite peut être considérée comme soumise à trois forces : à son poidÀ P appliqué en son milieu G , et aux deux résistances normales des deux plans. Pour l'équilibre, ces forces doivent concourir sur la verticale menée

( 196 ) parle milieu de la droite. Cette condition géométrique, qui n'est réalisée que d'une seule manière , caractérise la position d'équilibre (*).

La question est donc ramenée à chercher les conditions auxquelles doit satisfaire la droite appuyée sur l'ellipse pour que les deux normales concourent sur la parallèle au grand axe menée par le milieu de la droite.

Soient

l'équation de Tellipse, et

celle de la droite, ^ étant l'abscisse à Torigine que nous déterminerons par la condition d'équilibre.

Les ordonnées des points d'intersection de cette droite avec l'ellipse seront les racines de Téquation

{*) C'est du reste le résultat que donne le calcul.

Appelant i Tangle d'inclinaison de la droite MN sur Thorizon et appliquant les équations d'équilibre , on arrive à la condition

8in(^ — a) .

2Sin^sina

qui est toujours remplie lorsque les normales aux deux plans en M et N

concourent sur la verticale du milieu G de la droite. En effet , soient a l

la longueur de la droite et m la distance du point G au point de concours

R des normales; la droite GR étant verticale, on a, dans les triangles

MRG^IHRG,

sin^ / sing

cos (/3 — i) ~ /i "" cos ('a •+- 1)

ou . '

sin ^ ( cos oc cos * — sin a sin i ) = sin a ( cos/3 cos i — sin ^ sin i ),

ou

sin(^ — a)

tang/ = — r~— : — ••

2 sin^ sin«

( «97 ) t'équation de la normale au point M (x', y') ,

d'où

X — — .rf->t. -7—, y.

L'équation

donnera Fordonnëe y^àxi point d'intersection des deux normales en M et N [x^\ y").

Résolvant,

mais les coordonnées x\y\ x"^ y" satisfaisant à l'équation (i) , on a

. mk-hf . „ mk-^f

d'où, substituant,

•^•""ô»'^ mk L'équation (2) noufr donne

, ;> h^{a\—k-)rn^

y' j^r y" hHm t

et, d'après ce que nous avons dit pour qu'il y ait équilibre, il faut que

donc

Ji=-

/t(fl'w'-h^*) fl^w'-h^'

(198) cm

c^ (a* -^ A') = b^ A\ d'où

La droite doit donc passer par le foyer ^ du reste il est évident que c'est par le foyer inférieur.

Nos calculs supposent que m est fini et différent de « zéro. Si ce coefficient angulaire était nul , la droite serait verticale, se confondrait avec l'axe, car k ne peut être infini; la droite passera encore par le foyer. Dans le cas où m serait infini , la droite alors horizontale est toujours en équilibre, car la condition géométrique est toujours satisfaite , les deux* normales se coupent sur Taxe; de plus les forces sont égales aux deux extrémités de la droite.

Ce cas est le seul dans lequel une droite ne passant pas par le foyer puisse être en équilibre , et toute droite passant par le foyer est en équilibre.

Note du Rédacteur. Soient a et b les distances de M et N à la directrice 5 c, <i les distances des mêmes points au foyer; la distance du centre de gravité de la corde MN

à la directrice est 5 ou , d'après la propriété du foyer,

iw(.c-t-^) , ,,

— ^ ou m est constant, et 1 on a

c-4-y/<MN.

Mais, dans le cas d*équilibre, on sait que la distance du centre de gravité doit être un minimum, ce qui a lieu lorsque c -{-d= MN , c'est-à-dire lorsque la corde passe par le foyer.

■ . ".Il" ' - - I II ■ ■ wn

NOTES SUR QUELQUES QUESTIONS DU PROfilUNHB OFFICIEL.

RECHERCHE DES RACINES D^UXfE ÉQUATION TRÀNSGCNDÀIITE.

Lorsquon a substitué des nombres équidistants et as^ sez voisins pour que les différences des résultats puissent être considérées comme égales entre elles à partir d^un certain ordre, on continue r opération comme s'il s'agissait d'une équation algébrique. (Extrait du Programme officiel.) H

On voit que, dans la recherche des racines d'une équation transcendante^ le procédé prescrit par le Programma officiel se fonde sur cette proposition :

Lorsquon substitue à la variable (ï une fonction transcendante, continue y des nombres équidistants et suffisamment rapprochés les uns des autres ^ les différences des résultats de ces substitutions , à partir d'un certain ordre et dans un certain inten^alle, présentent des variations assez petites pour quon puisse en faire abstraction et considérer les différences comme égales entre elles.

Est-ce une proposition qu'on doive admettre comme un fait d'expérience, ou faut-il en donner l'explication ? . Le Programme n'en dit rien. Quant aux Algèbres conformes au Programme , une seule , et à l'occasion de la construction des Tables numériques, contient quelques mots qui se rapportent à la proposition dont il s'agitj nous les transcrivons ici.

« Il arrive en effet presque toujours que, dans une série » de nombres résultant d'une loi régulière et su(Esam-

» ment rapprochés les uns des autres, les différences » tendent de plus en plus vers Tégalité, à mesure que » leur ordre s'élève. En négligeant des quantités fort pe- )) tites, on pourra, à partir d'un certain ordre, leur » supposer, dans un certain intervalle , une valeur inva- » riable, et construire. la Table comme s'il s'agissait des )y valeurs d'un polynôme.

» Ne pouvant donner ici la raison de ce fait général, » nous nous bornerons à le développer sur deux exem- » pies. »

Il serait à désirer que la Commission chargée de la rédaction du Programme officiel voulût bien donner un peu plus de développement à cq Programme , afin de ne laisser subftster aucun dpute sur le sens des énoncés qu'il renferme.

Dans un remarquable Rapport rédigé par M. Le Verrier, on lit : •

« En laissant toute latitude à cette Commission, nous » exprimons cependant le vœu qu'elle se conforme aux » bases que nou& avons posées précédemment.

» Elle devra restreindre l'étendue des cours mathéma- » tiques et en éliminer nombre de difficultés consîdéra- )) blés, afin ^g mieux approprier la matière à la mémoire ï) et à l'intelligence moyenne des élèves. Elle devra, au- » tant qu'il est possible , introduire des exemples, et des )) applications puisées dans la pratique.

» Il est en outre de toute nécessité que sur chacun des )) cours elle fournisse un Programme très^déueloppéy en- » trant dans des détails minutieux , et qui enchaîne tel- » lement les professeurs , qu'il leur soit impossible d'en » fausser l'esprit. Celte condition est de toute rigueur, )j

Cette condition ne me semble pas savoir été rigoureusement remplie. G.

( aoi )