DÉMONSTRATION D'UNE PROPOSITION RELATIVE AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES
Dans les Traités d'Algèbre on démontre ces deux propositions :
i**. Si deux nombres a , b, substitués à l'inconnue x d'une équation algébrique entière
à coefficients réels, donnent des résultats de signes contraires f(a)^ f{^)t l'équation a au moins une racine réelle comprise entre a et i.
2*^. Lorsque deux nombres a , h comprennent entre eux un nombre impair de racines réelles de Téquation algébrique
/(a:)=ro,
les résultats f{à)^ f(^) ^^s substitutions de a et i à j: dansy'(:r) ont des signes contraires, et si le nombre des racines réelles de l'équation
comprises entre aelb est pair,y(a) 01/(6) ont le même signe.
La démonstration que Ton donne de la première de ces propositions s'applique à une équation transcendante dont le premier membre est une fonction continue pour les valeurs de x comprises entre aelb. Mais, il n'en est pas de même du raisonnement que Ton fait ordinairement pour établir la seconde proposition , il ne convient qu'aux équations algébriques. Et comme on se sert souvent de
cette seconde proposition dans la recherche des racines d une équation transcendante, il nous semble utile de faire voir qu'elle est encore vraie pour des équations de cette nature.
Dans tout ce qui va suivre, il sera supposé que les fonctions transcendantes considérées sont continues, da moins dans Fintervalle des valeurs substituées à la variable. De plus, on admettra les définitions que nous allons faire connaître.
Lorsqu'une racine a d*une équation transcendante
étant substituée à x dans la dérivée/' (x) de/( x) ne réduit pas à zéro cette dérivée , on dit que a est une racine simple de Téquation
, ou bien encore que Téquation n'admet qu^une seule racine égale à a.
Mais, lorsque la substitution de a à x annule J (x) et un certain nombre (« — i) de ses dérivées successives f[x),f"{x),..., /"- (x) , l'équation
est considérée conime ayant n racines égales à a. Suivant qu'on a
la racine a est nommée racine double, racine triple, etc. Ces définîtions admises, désignons par a, 6 , cJ, y, etc., les valeurs des racines réelles d'une équation transcendante
comprises entre deux nombres donnés a, fc. Et supposons
( .o3 ) d'abord que a, 6, (î, y, etc., représentent des racine» simples. Nous allons faire voir que /(a), J (b) ont de» signes contraires ou le même signe, suivant que le nombre des racines a, 6 , 5 , y, etc., est impair ou pair.
Pour plus de précision , nous admettrons qu'on a a<^& et que les racines a, 6, ^9 7? eic.^ soient rangées par ordre de grandeur; ainsi) les nombres a, a, jS, ^, y,..., b , formeront une suite croissai^e.
Lorsque x varie depuis a jusqu'à a, la fonction f(x} conserve constamment le même signe , puisque l'équation
n'a aucune racine comprise entre a et a. Il en est de même pour les valeurs de x comprises entre deux des racines consécutives a , 6 , cî, 7, etc. , et pour les valeurs de x comprises entre la dernière de ces racines et b. Quand x passe par Tune des valeurs a , 6 , etc., la fonction f{x) change de signe en passant par zéro. En effet, nommons h une quantité très-petite ou susceptible de devenir aussi petite qu'on voudra. Si /(a — h) eif((x + h) avaient le même signe, la valeur def(a) qui est nulle serait nécessairement un maximum ou uo minimum dej'{x). Ce serait un maximum si/* (a — h) ^lf(a-+-h) étaient négatifs, et un minimum si le signe coïkmun de ces deux quantités était -f-. Dans ces deux cas, il faudrait, d'après un principe connu, qne f (et) =z o ^ ce qui est contraire à l'hjrpothèse puisque a. est une racine simple dcj (jc) = o. On voit donc qu'en faisant croître x d'une manière continue depuis a jusqu'à b , la fonctiony(x) change de signe autant de fois qu'il y a de racines a , ê , y, etc. , comprises entre a et b. D'où il faut conclure quef(a) etf(b) ont des signes' contraires ou le même signe, suivant que le nombre de ces racines est impair ou pair.
Supposons maintenant que a soit uno racine double de
( ao4 ) y^ar) := o, on aura
et le noinbrey''(a) ne sera pas nul. Dans ce cas, /[ol) est un maximum ou un minimum A.ef(x), Et, parce que f{a) = d, il faudra que f[oL — h) etf{a -h h) aient le même signe.
Si a est une racine triple, on aura
/(«)=0, /'(ac) = o, /''(a) = 0,
et/*''' (a) sera différent de zéro-, alors y (a) ne peut être ni un maximum ni un minimum dey*(x) , et, par conséquent, y (a — h) ety(a -h /*) auront des signes contraires, et ainsi de suite; c'est-à-dire que y (a — h) et /*(a -h A) ojat le même signe si le nombre des racines égales à a est pair, et quey'(a — h) , f(a. -f- h) ont des signes différents quand le nombre des racines égales à a est impair. De là nous concluons que dans tous les cas f[a)yf{J)) ont des signes contraires , ou le même signe, suivant que le nombre des racines réelles de y (or) = o comprises entre a et b est impair ou pair, en adoptant dans Tévaluation du nombre des racines comprises entre a et & les définitions que nous avons données.
De cette proposition, on peut immédiatement conclure que :
Si deux nombres a , b, substitués à x dans f (x) , donnent des résultats de signes contraires ^ ^ (.*)) ^ (^) 5 ^'^~ auation
a un nombre impair de racines réelles comprises entre a eth^etsi{[di) e£ f (b) ont le même signe , les deux nombres a. et h ne comprennent aucune racine de T équation, ou ils en comprennent un nombre pair. G.
(TOlrt. XVI, p. 81J);
Pau m. h. DELLAG,
Professeur au lycée d'Amiens.
Dans la parabole du troisième ordre
y -zri a '-\- bx -\- cx^ + dx^
Taire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux ordonnées a: = o , a: = J est
et entre les ordonnées x= â^ x = 2a
s^ = aê'^3b--'^^'JC'^'\-lSdy-> 7. ' 6 4
Dans la parabole du second ordre
j = A H- Bx-hCx^ les aires correspondantes sont
Les aires des deux segments compris entre les deux courbes sont donc
et
Leur différence est donc
Les deux courbes ayant trois ordonnées communes /„, ïi y /« pour a: = o,^ = (î,a: = !2^, on a
y, = (iy
Multipliant ces équations ^respectivement par i, 4? i» — I, — 4^ — ij et ajoutant, il vient
Or le second membre est la valeur de M — N multipliée
par j\ donc
Ainsi le,s deux segments curvilignes compris entre les deux paraboles sont équivalents entre eux. Comme, par rapport à chaque courbe , l'un des segments est intérieur et Tautre extérieur, les deux paraboles comprennent la même aire entre la courbe, Taxe des abscisses et les deux ordonnées extrêmes 2: == o , x=id. Ceci étant démontré, les deux corollaires énoncés sont évidents.
8BG0NDE SOLUTION lE LA dUBSTION^SOS
(TOirt. XVI, p St»);
Par m J.-Ch. DUPAIN.
Dans la parabole
(i) jr zzz a -^ bx -^ cx^ -f- da^
on mène cinq ordonnées équidistantes Âa , B6 , Ce , D^/, Ee; par les points A , C, E, on fait passer la parabole
(2) j = A -h Bx-+- Car%
je dis que l'aire des deux courbes est la même. Soity (x) le second membre de (i) 5 on peut écrire
(3) r =/(o) +.x/' (o) + |/' (o) + 1/- (o), l'aire de la première courbe sera
I f ydx= ^9/(0) +8S'f'{o) + ^S'/"{o)
Le tbéorème de Simpson qui s'applique exactement à la seconde courbe donne pour son aire
En développant/ (4 <î) et/(2cî) par la formule (3), on reirouve l'expression (4)* c. q. f. d.
Obseri^ation, Cette solution est un cas particulier d'un calcul destiné à comparer plusieurs formules de quadra-
ture et faisant partie d'un travail que nous avons adressé, ij y a quelque temps, à M. le Rédacteur des Annales. Le corollaire second s'applique aussi à une formule de M, Catalan ^oui»eUes Annales y t. X, p. 4 1 5) et à une formule que nous avons proposée dans ]e travail cité.
Note du Rédacteur, Ce travail sera publié incessamment.
