THÉORÈME FONDAMENTAL DE LA TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIOUE
(voir tome Vlll, page S8) ; '
Par m. Ehilk PATRT, Élève de l'École Normale supérieure.
Soient ABC un triangle sphérique, OA, OB, OC les rayons menés au centre. Je mène AP perpendiculaire
sur OB et je projette le triangle OAP sur OC. A A' étant perpendiculaire sur le plan BOC , il résulte du théôrèntie des trois perpendiculaires que la projection de AP sur OC se confond avec celle de A' P sur la même droite ; d'ailleurs A'P est perpendiculaire sur OB. On a donc OAcos(0A, OC) — PA'cos(PA',OC) — OPcas(OP, 0C) = o,
( ao9 ) et siOA2=i,
cos^ — »înc cosB ços (90® — a) — cosc cosa = o ,
cos^ = cosacosf + sinrsinacosB.
On a .
et cette équation subsiste, de quelque manière que les points a et n soient placés relativement à O , pourvu que l'on donne aux droites les signes convenables; ainsi la démonstration convient à tous les cas.
FORMULES FONIIAMBNTALBS DE L'ANALYSE SPHÉRIOUE
(voir page 16S};
Par m. VANNSON.
Problème. Étant donnée sur la sphère une courbe dont l'équation est
X e* y représentant les tangentes des coordonnées d^un de ses points, trouver l'équation de l'arc de grand cercle tangent à cette courbe en un point donné.
Si nous appelons a le coefficient de x dans l'équation d'une sécante, nou$ aurons, quand x" = x\ etc.,
et la limite de ce rapport sera le coefficient de x dans l'équation de la tangente*, on aura donc, comme sur un plan^ a désignant la limite de a ,
Ànn. de Malhém., %. XVIl. (Juin i858.) l4
( aïo ) L'équation demandée sera donc
On voit que la méthode consiste à passer d'un point de la courte au point infiniment voisin en donnant des accroissements infiniment petits aux tangentes des coordonnées , au lieu de les attribuer aux coordonnées ellesmêmes , ce qui serait beaucoup moins simple. Si pour des valeurs particulières
fx = 0, T^ = 0,
a se présente sous la forme -» ce qui indique un point
multiple, CL se trouve alors comme sur un plan par l'équation du second degré
Si les racines sont réelles, on a un point double \ dans le cas contraire, un point isolé.
Soit , par exemple , la courbe représentée par l'équation
ar'-hr* — 3j?r = o,
que nous pouvons appeler le folium sphérique , on trouve pour l'origine
et Téquation du second degré donne une racine nulle et une racine infinie. La courbe est donc à l'origine tangente aux deux axes. Le point où la courbe coupe l'arc bissecteur de Tabgle des axes est donné par l'équation
et on trouve aisément que Tare tangent en ce point est
perpendiculaire à l'arc bissecteur. Sur un plan, on chercherait les points où la tangente est parallèle à la bissectrice. Ici la question analogue consiste à trouver une circonférence tangente qui coupe Tare bissecteur à 90 degrés de l'origine 5 la latitude de ce point étant 45 degrés, on posera
ou, en gênera
r'h(fj = 0.
Cette équation , combinée avec celle de la courbe , donne les points cherchés.
Le folium sur un pl^n a une asymptote, c'est-à-dire une tangente pour laquelle les coordonnées du point de contact sont infinies. Nous allons résoudre la question analogue sur la sphère pour une courbe quelconque. D'abord, pour avoir le coefficient de x dans l'équation de la tangente cherchée, il faut trouver la limite vers laquelle
tend l'expression — rT-7— ,v quand .r' et y' deviennent
infinies. Pour cela, divisons par x' les deux membres de l'équation de la tangente et supposons ensuite x^ infini , nous aurons
«-(-fw-i) =-($)•
Cette limite se trouvera comme dans la question des asymptotes sur un plan. Soit a l'expression supposée réelle qu'on aura trouvée pour limite ; le terme indépendant de l'équation cherchée sera la limite vers laquelle tend le binôme j*' — xx^ quand x' et jr^ deviennent infi» nies. Le calcul ne différera donc en rien de celui qu'on ferait pour la détermination des asymptotes dans une courbe plane.
Dans le cas du folium , on trouve
a= — I ei b =z — i;
Téquation de la tangente demandée est donc
On a vu que la latitude du point de contact , situé à 90 degrés de l'origine , était égale au coefficient de x, c'est-à-dire à — i ; il est donc à 45 degrés au-dessous de l'axe des X] d'ailleurs la circonférence dont nous avons l'équation coupe les axes à 45 degrés du côté des coordonnées négatives. Ces remarques et celles qui ont précédé permettent de construire le folium sphérique. Remar-
Fie. I.
quons toutefois que comme on peut ajouter 180 degrés k un arc sans changer sa tangente, à tout point qu'on aura construit d'après l'équation , correspondra un autre point diamétralement opposé. Pour éviter la confusion, nous n'avons représenté sur la figure qu'une moitié de la courbe.
Appliquons maintenant l'équation générale des tangentes à une courbe quelconque du deuxième degré
Aj' -h ^Jcj H- Cj?» -f- D/ H- E^ 4- F = o. L'équation de la circonférence tangente à la courbe en un
point donné sera évidemment
/(2 Ay -H Bj/ H- D) 4- x(2Cx H- B/ -f- E)
Les axes peuvent être rectangulaires ou obliques. Si on les suppose rectangulaires et qu'on demande les tangentes perpendiculaires à Taxe des a:, Féquation devra se réduire à la forme
j? = /i ; on aura donc
2A/-hBx'H- D = o.
Les points de contact seront donc à la rencontre de la circonférence représentée par cette équation avec la courbe. Si l'on résout l'équation de la courbe par rapport à y, on reconnaîtra facilement que tout arc de la courbe perpendiculaire aux X a son centre sphérique de moyennes distances sur la circonférence qui passe par les points de contact.
Si l'on veut mener une tangente par un point situé arbitrairement sur la sphère, on aura, en appelant x^\ y" les tangentes des coordonnées de ce point,
y (îi A/' -H io:' -f- D) -h a:' [iQx'' H- B/ + E)
H- D/' + Ex" -f 2 F = o et
La première de ces équations, en y regardant y' et x' comme des variables, représente une circonférence passant par les points de contact , et comme elle peut être construite, quand même les coordonnées x\ y* seraient imaginaires , nous appellerons celle circonférence la polaire du point x!'^y"» On peut démontrer, comme pour les courbes planes, que si des points sont situés sur une même
circonférence de grand cercle, leurs polaires passent par un même point qui a pour polaire la circonférence donnée, et réciproquement.
Supposons que D et E soient nuls j cas dans lequel la courbe est rapportée à son centre O, et soit jc" la tangente de Tabscisse d'un point A sur Taxe des Xj la polaire de ce point coupera l'axe en un point B représenté par l'équation
Soit C Tîntersection de la courbe avec Taxe , on trouve
tang'OC = ^,
donc
tang OA X tangOB = tang' OC.
D'où l'on voit que la polaire d'un point coupe la circonférence qui joint le centre à ce point à une distance du centre , dont la tangente , multipliée par celle de la distance du point au centre, égale le carré de la tangente du rayon passant au point donné.
Si
on a
d'où Ton voit que la polaire d'un point à 90 degrés du centre passe par le centre *, en d'autres termes , la circonférence polaire du centre est un grand cercle décrit de ce centre comme p6le.
Réciproquement, si les polaires des deux points A et B, non situés sur un même diamètre, passent en un point O situé à 90 degrés de A et de B, le point O sera rentre de la courbe. En effet, prenons le point O comme
( =»'5 ) origine et faisons passer les axes l'un par A, TaiUre par B. La polaire du point A qui a pour coordonnées
sera
Bj-h 2Cx-4-E=:o.
La polaire de B sera de même
Ba:+ 2A7-f- D = o,
puisqu'elles passent par Torigine , on a
donc le point O est le centre de la courbe.
Remarque. On voit que le mot pôle en géométrie sphérique a deux significations , d'où pourrait résulter une certaine confusion dans les énoncés. Pour l'éviter, nous appellerons pôle d'une circonférence de grand cercle le point dont cette circonférence est la polaire par rapport à une courbe donnée, et nous appellerons le point situé à 90 degrés des points d'une circonférence le pôle sphérique de cette circonférence.
Problème. Étant donnée l'équation générale des courbes du second degré y proui^er que ces courbes ont un centre et trou\>er ses coordonnées. (Bokgnet. )
En admettant dans le théorème qui précède Texistence du centre, nous avons vu qu'il avait pour polaire une circonférence dont ce centre lui-même était le pôle sphérique. Soient donc a:', y' les tangentes des coordonnées d'un point jouissant de cette propriété. La polaire de ce point a pour équation
/(îA/H- hx' + D)4- j:(2Cx'H-B/ -+- E)
(2i6) D*un autre côté, la circonférence ayant ce même point pour pôle sphérique est , comme on Ta vu plus haut,
yy' 4- xa/ + I = o.
Ecrivons que ces deux équations représentent la mèntie ligne. Nous aurons
a Ar' + B jf' -h D ^ , ^ , „ — i— 11-7 = D/-f-E:e'-h2F
et
^^±î^l±^ = Dr' + E:r'4.2F,
équations que nous avons déjà obtenues par la transformation des coordonnées.
On peut aussi trouver la direction des axes de la courbe bans employer les formules de transformation par la considération des polaires. Pour ceIa,>soient y' et x' les tangentes des coordonnées d'un point quelconque de Vun des axes , la polaire de ce point devra être perpendiculaire à l'arc qui joint ce point à Forigine. Or le coeflicient
de X pour le dernier arc est —, et pour l'arc polaire c*est
— ïT^-; r—/; or il est aisé de voir que la condition ex-
Bj:'H-2Ajr' ^
primant que deux arcs sont rectangulaires , l'un d*eux
passant par l'origine, est la même que sur le plan \ on aura
donc
y^ /B/4-2Cx^\
' x'\Bx'H-2Ayy
ou , si l'on pose —, = A',
c'est aussi ce que donneraient les formules de transfor-
( 2*7 ) mation. Il est aisé de voir que les coefficients de Tëqua-» tion transformée se calculeront par les mêmes formules que pour une courbe plane.
Paoblème. Etant donnée V équation générale du sC" cond degré , troui^er les conditions pour qu'elle représente un cercle.
Remarquons d'abord que si Ton prend un point quelconque A à 90 degrés du pôle sphérique de ce cercle , la polaire du point A aura ce même point pour pôle sphérique^ réciproquement, si deux points A et B sont à 90 degrés du centre d une courbe du second degré , et que les polaires de A et de B aient ces mêmes points pour pôles sphériques , la courbe est un cercle, si toutefois la distance des points A et B n'est pas égale a un quadrant; nous nous bornerons à l'énoncé de cette réciproque qui se démontre facilement.
Cela posé, soient x\ y les coordonnées du centre de la courbe , les points à 90 degrés du centre sont sur une circonférence qui a pour équation
jy H- :cy -f- I == o.
Elle coupe Taxe des x en un point A qui a pour abscisse
et l'autre axe en un point B qui a pour ordonnée
• Nous supposerons que les points A et B ne sont
pas distants de 90 degrés *, si cela avait lieu dans un exemple particulier, on pourrait remplacer un des points A et B par un autre point de la circonférence qui les joint
La polaire de A a pour équation
^(Da?' — B)4-J?(Ex'- 2C) -4-2Fjc' — E=o, et la circonférence dont A est le pôle sphérique a pour
équation
.V = jc'.
Pour que ces équations représentent la même circonférence , il faut qu'on ait
D E — 2Fjr
d'où
^ ~B ^ E^'-aC""'"'
