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Ces conditions sont établies dans l'ouvrage de M. Borgnet par une méthode toute différente et très-simple. Nous avons indiqué celle-ci comme une application de plus de la théorie des polaires.
Théorème. Si par un point A on mène un arc de grand cercle qui coupe en B et C la courbe et en ï) la polaire du point A , les quatre points A , B , C , D seront harmoniques.
Prenons le point A pour origine , sa polaire aura pour équation
DjH-Ej:-!- 2F = o;
l'intersection de cette polaire avec l'axe sera donnée par l'équation
et les intersections de la courbe avec cet axe par l'équation
Cr^-hEx -h F = o.
Appelant x'y x" les deux racines , ou aura
donc
ou
Si nous remplaçons x , x', x" par des tangentes et la différence des tangentes sur deux arcs par le sinus de leur différence divisé par le produit de leurs cosinus, nous aurons la relation indiquée. Donc les quatre points sont harmoniques.
Théorème. Si par an point quelconque on mène deux arcs sécants à une courbe sphérique du second degré et quon joigne un point de section sur la première à un point de section sur la seconde, le lieu du point de rencontre des arcs obtenus sera une circonférence de grand cercle polaire du point donné.
Se démontre comme sur un plan et donne lieu aux mêmes applications, entre autres : Mener par un point connu des tangentes à une courbe sphérique du second degré.
Théouème. Si trois courbes du second degré ont deux points communs et qu elles se coupent deux à deux en d^ autres points A, A', B, B', C, C, les trois circonférences de grand cercle passant la première par A, A', la deuxième par B, B', la troisième par C,C', auront un point commun.
Se démontre comme sur un plan.
De là on peut lirer uue démonstration du théorème de Pascal sur Thexagone inscrit dans une courbe du deuxième degré ^ le tliéorème inverse (de Brian chon) sur Tliexagone circonscrit se démontrera par les polaires; les corollaires et applications de ces tliéorèmes seront les mêmes que sur un plan , entre autres :
Si un triangle coupe une courbe du second degré en six points , on aura , en sous-entendant le mot sinus devant chaque arc,
En effet , si Ton prolonge l'arc /:ûÎ jusqu'à la rencontre de
FiG. 2.
Bc au point x, e/" jusqu'à la rencontre de AB en z et ig jusqu'à celle de AC en j^, d'après le théorème de l'hexagone, les trois points x^ y, z sont sur un grand cercle. Ce cercle coupant les côtés du triangle ABC donne (transversales) la relation
Bx Cy Az
L'arc kd coupant le même triangle donne
Ad Cx Bk __ 5c'b^' Ait""''
on a de même
Ae C/ Bz
et enfin
Ce B/ Az ''
Cg Bf,AY Bg' Ai' BY~" ''
Si l'on multiplie ces quatre équations membre à membre,
FiG. 3.
on trouve la relation demandée. Si l'on suppose le triangle circonscrit , on trouve
Ad,C/.Bg = Ag.B/.Cd,
d'où l'on peut conclure que les trois arcs joignant chaque sommet au point de contact opposé concourent au même point. Les polaires donnent un théorème inverse.
Remarque. Le théorème sur le produit des segments dans un triangle coupé par une conique s'étend à un quadrilatère en le décomposant en deux triangles , par suite à un polygone d'un nombre quelconque de côtés. Si on l'applique à un quadrilatère circonscrit , on trouve que le produit des sinus des quatre segments non contigus égale le produit des sinus des quatre autres segments.
Corollaire, De la relation précédente , on peut conclure cette autre propriété du quadrilatère circonscrit à une courbe du second degré : Les deux diagonales et les arcs qui joignent deux points de contact opposés forment un faisceau harmonique.
Soient ô l'angle des diagonales, a l'angle MOB, «' Tangle NOA ; posons aussi
Appliquant aux deux triangles AOM, DOM le principe des sinus proportionnels, nous aurons, en supprimant le mot sinus pour abréger,
AM (9 — g) b BP ol'
BM"" a û' DP"~(a' — 9)''"'
de même pour les autres côtés. Multipliant ces égalités membre à membre , on trouve
sio a sina'
sin ( G — a) sin (a' — ô ) '
ce qui est bien la relation exprimant que les quatre arcs forment un faisceau harmonique. 11 en résulte que si Ton représente Tare HM par Téquation
r = Ax,
en prenant pour axes les diagonales , l'arc MP aura pour équation
Cette remarque nous servira plus loin pour obtenir l'é-
quation générale des coniques tangentes à quatre circonférences données.
BÉTERMINATIftN DU SOINET ET BES AXES PRINCIPAUX BUN PARABOLOIBE; Pae m. eOUSEL,
Professeur.
Nous conserverons les notations et les relations données par M. Mention [Nouvfelles Annales, t. XVI,
i . Equation générale :
I H-2C.r4-aC'7 4- 2C"«H-E = o
(axes quelconques).
2. Équations d*un diamètre du paraboloïde. Soient x'^y\ «'les coordonnées d'un point; les équations du diamètre passant par ce point sont
3. Équations du plan polaire du point dont les coordonnés sont x', y', z' :
x(A.r' + B"/H-B'z'-*-C) 4-r(B";r'4-A'/-f.Bz'-hC') 4- z(B''^' + B/ •+• A''»' 4- C/') -f- €0/ -h C'/ -h C'î' -f- E = o. •
