Équations de l'axe principal diamètre. En écri
vant que le diamètre est perpendiculaire au plan polaire, ce diamètre devietit l'axe principal intérieur. Or, diaprés les iielatîons connues , on a , pour établir celte perpendicularité, les équations
Ao/ -^ B'^y H- B'z' ■+- C B^^ jr^ -f- A'f -h Bz' -f- C
dans lesquelles
IA = ^ -f- ^'cosjr/ H- k'^cosxz, h' == X^' -4- ^ cos^.r H- h" cos^j: , h" = X"-f- ^ cos ca: -+- h! coszj.
Les équations (2) sont celles d€ Taxe principal si a/, j-', z* représentent des coordonnées courantes.
5. Transformation de Véqiwtion du paraboloïde. Quand réquatioh générale (i) représente une surface qui n'a pas de centre unique, elle prend une forme particulière sur laquelle seront fondés tous les calculs suivants.
On a les relations
A^4-B"Â:'4-B'r =0, A'^'H-Br-hB"/=o, A"r-hB'^H-B/'=o,
(t. XVI, p. 211).
(On sait que le déterminant m = o.)
A Taide de ces relations, éliminant A, A', A'' dans Téquation (1), on trouve
Ce calcul est en défaut si l'on a A = o. Alors réquatîou précédente montre que Ton doit avoir eu même temps B"=oetB' = o.
f.es relations que nous avons écrites se réduisent à
A'it'4-Br = o, A"r + B/t' = o, et Téquation (i) devient
Ax» — ~ [k'z — k^'xY 4- aCx -h 2C> H- 2C''z + E = o.
Si de plus A:' = o , l'équation précédente ne peut subsister qu'en supposant B = o. Mais la seconde des relations indiquées donne pour cette limite
Br
et la troisième donne
A"=:o; on a donc
Ax' -h A' 7» -f- 7.Cx -h aC'j -f- i3iC"z -h E = o.
6. Coordonnées du sommet. Les équations (a) , combinées avec l'équation (4) que nous supposerons accentuée, donnent les coordonnées du sommet.
A cet effet, entre les équations (2) éliminant y\ observant que tous les termes qui contiennent le facteur hk se détruisent dans les coefficients de oc/ et de z\ ainsi que dans le terme indépendant', enfin , supprimant le facteur commun h"^ il reste
x' [/i(BB" — A' B') H- /i' (B'B" — AB) + A" (AA' — B"»)] -h z']h (B» — A' A") 4- /*' (A"B" — BB')-|- /*" (A'B' — BB"] -+- h (BC— A' C") + h' ( B"C"— BC) -+- h" (A'C — B"C') = o.
Les coefficients de a:' et de z' peuvent se modifier au
Ann, de Mathêniat,, t. XVII. (Juin iSfiS.) I 5
( a^6 ) moyen des relations obtenues t. XVI, p. aïo, et en remarquant que m = o. Alors le coefficient de x' sera
et Ton aura
H- 2^F cosxz -4- 2^'^"C0S7« = D'.
D est la diagonale du parallélipipède que Ton obtient en portant sur les axes à partir de l'origine les trois longueurs kf k\k".
K De même le coefficient de z' sera — • D*.
Si donc nous posons
^, L[A(A'C" — BC')-f-A'(BC — B''C")-hA"(B"C' — A'C)]
ainsi que les valeurs analogues pour R et R'\ il vient
Ici R, R', R" sont des quantités connues.
Transportant ces valeurs dans l'équation (4) accentuée, comme nous l'avons dit, on obtient
OU enfin
rB"R"»H-^'B'R'» + /BR»
^ ^ \ = kk'k" (2Cy 4- 2C'/ + iCz' + E)
En combinant celle dernière équation avec deux quel-
conques des équations (a) , on a les valeurs x', y\ z' des coordonnées du sommet , puisque toutes ces relations sont du premier degré.
