Dans le cas où l'on a

on verra directement, en comparant les relations correspondantes

A' A' H- Br =: o, K"k" -h BA-' = o

avec les équations (2) qui deviennent alors

AJ^+C Ay -h B g^ -f- C^ __ B/ H- A^^ z' -h C' h h' ■" //' '

que x' est connu ainsi que k' z' — A'' j' en transportant

ces valeurs dans Téquation

on reconnaîtra que C'y' -h ÇJ' z* est aussi une quantité connue, et que le déterminant dej^' et de z' est

ce qui permettra encore de distinguer certains cas particuliers. En outre, on trouvera, après quelques réductions ,

Si les coordonnées sont rectangulaires, il reste

car la supposition A = o donne alors

Enfin si l'on a de plus

X' = o, ce qui donne

les équations (2) deviennent *

ce qui détermine x' et j^' : il suffira donc de transporter ces valeurs dans l'équation

Aar'» -h Ay H- 2Ca?' -f- 20'/ -+- 2C"2' -h E=: o, pour trouver z '.

( aa9 )

9. Équations des plans et des axes principaux. En transportant dans Féquation du plan polaire les valeurs précédentes de a:', y', z\ on aura le plan tangent qui passe par le sommet^ c'est-à-dire le plan principal exté^ rieur.

On connaît déjà les équations de l'axe diamétral passant par le sommet. Pour avoir celles des deux autres axes^ observons que l'équation en s (t. XVI, p. 2i5) se réduit alors au second degré, puisque /w = o donne une racine nulle. De plus , les expressions

(j — A') (5 008X2 — B') — {scQsyz — B)[sco%xy — B'^)

'*"' (icosxx — W'Y — (j — A) (j — A') '

{s — A) (^ cosyz — B) — [s gosxz — B') [s Cosx/ — B" )

"" "" (jcosorr — B'')» — (f — A){5 — A'j '

qui se déduisent facilement des deux premières formes du quotient s écrites à la page indiquée donnent pour les deux valeurs de s les valeurs correspondantes de (x et v , et , par conséquent, les directions des axes extérieurs*, comme ils passent par le sommet, on a donc leurs équations, qui feront connaître celles des plans principaux intérieurs*

(voir t, XV, p. 190);

Par m. LEGRANDAIS,

Élève du lycée Louis -le -Grand.

Soit ABCD un quadrilatère quelconque 5 si par le point de concours T des perpendiculaires élevées de deux sommets consécutifs A et B sur les côtés opposés AD et BC

( 23o ) qui y aboutissent , on mène une perpendiculaire TF à la

FiG.

droite RS qui joint les milieux des diagonales, cette perpendiculaire divise le côté AB en deux segments inversement proportionnels aux projections AH , BK des côtés AD et BC sur AB.

Il faut démontrer que

^ = ?î^ ou AE.AH=rBE.BK.