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PROPRIÉTÉS FMALBS DBS SURFACES Ml RBUXIIMB ORME;

D*APRÈs HEILERMANN, db Coblentz,

{Monat, Uirieht, Berlin, avril i858.)

1. Théorème. Par un point quelconque d'un ellipsoïde passent deux lignes de courbure et deux plans osculateurs à ces lignes; ces plans coupent le grand axe en deux points P e£ Q ; prenons sur ce même axe deux points FetPà égale distance du centre, tels, que les quatre points F, P, Q, F' forment une relation harmonîque ; les points F et F' sont fixes, quel que soit le point de r ellipsoïde. Nommons ces points focaux.

2. Si par les points F et P et par T intersection des deux plans osculateurs on mène deux plans, les angles qu'ils forment entre eux sont partagés en parties égales par les plans osculateurs.

3. Les normales à la surface menées par les ombilics coupent le grand axe aux deux points focaux F et F'.

4. Deux sphères qui ont pour rayons ces normales et pour centre F et F' sont égales et touchent la surface aux ombilics; elles sont les sphères focales ,

5. Une tangente menée à l'une quelconque de ces sphères par un point de la surface est un rayon focal,

6. Un hyperboloïde coufocal coupe Fellipse suivant une ligne de courbure, et "vice versa chaque ligne de courbure est l'intersection de l'ellipsoïde avec un hyperboloïde confocal. Le plan polaire d'un foyer pris par rapport à cet hyperboloïde est nouiméplan directeur. La distance des deux points focaux, divisée par l'axe traHSverse de l'hy-

{ a43 ) perboloïde, est dite V excentricité de la ligne de courbure,

7. Théorème. Pour un point quelconque d'une ligne de courbure, le rayon focal^ mené toujours à la même sphère focale^ étant divisé par la distance du point au plan directeur, donne pour quotient l'excentricité de la ligne de courbjure.

8. Théorème. Pour tous les points d'une ligne de courbure, et selon quelle appartient à Vun ou à Vautre système:, la somme ou la différence des rayons focaux menés aux deux sphères focales est constante.

9. Il existe aussi deux foyers sur le petit axe et deux autres imaginaires sur Taxe moyen, et sont doues des mêmes propriétés,

10. En prenant les carrés des trois axes principaux dans les surfaces à centre, le plus grand carré désigne le grand axe , le plus petit carré le petit axe, et le carré aïoyen le moyen axe^ ainsi compris, on a les mêmes propriétés sur toutes les surfaces du deuxième ordre à centre.

Note- Ces importants théorèmes ne sont qu'énoncés ^ l'auteur publiera les démonstrations-, ils sont analogues aux remarquables théorèmes de M. l'abbé Sauze (p. 35 et 36), et que M. Chasies a découverts en i838 par une autre voie [Nou^'elles Annales, t. VI, p. 23o).

FORMULES FONDAMENTALES DE L'ANALYSE SPHÉRIQUE

(voir page 209); "

Par m. VAIVNSON.

Problème. Déterminer les foyers dans une courbe sphérique du second degré , la courbe étant rapportée à son centre et à ses axes.

Nous appellerons/byer un point tel, que la tangente de sa dislance J, à un point quelconque de la courbe, soit uue fonction rationnelle de Tabscisse du point, de la

forme 7^* Si nous appelons ocf ex y les tangentes des

coordonnées du point inconnu, nous aurons

tang^= "^ ^^ - y'y-^^'' - "^'y^ir^ - y "^y ,

• I + y y' -f- xx^

Le dénominateur étant rationnel , il faut que le numéraleur le soit; d'où l'on conclura coçime sur un plan quey doit être nul , et si on remplace y* par sa valeur tirée de l'équation de la courbe, la quantité qu'on trouvera sous le radical devra être un carré, ce qui donne

d'où il résulte qu'on doit avoir

Si on désigne par y la distance du centre au foyer, et par a et 6 les deux demi-axes, on lire de Téquation précédente