H ex

tx

tangç,

on trouve

UngJ = tang(a — ^), ou

S zsz a — ff.

Si on appelle â' la distance du point de la courbe à T autre foyer, on aura

donc

$ -hS' = 2a.

On a aussi

tang-^— = ç;

d'où ron voit qu'on a

/d'^S\ ex ,ang.^— -j=~

On peut se proposer le problème învcfrse, c'est-à-dire chercher le lieu des points tels^ que la somme de leurs distances à deux points fixes soit constante ; on retombe sur Téquation de Tellipse.

Quand la courbe n'est pas rapportée k ses axes, on appelleyb^er un point tel, que la tangente de sa distance [d) à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle ^s tangentes des coordonnées de ce point, de la

forme — — -, — — \ d'après l'expression trouvée pour

tang ây on doit donc avoir

Cette équation devant avoir lieu pour tous les points de la courbe, est identique à l'équation de la courbe, ce qui donne cinq relations pour déterminer les cinq inconnues /», w, /7, ot/^y. On peut prendre des coefficients quel-

conques ; mais, pour abréger lecalcul et la discussion, nous supposerous la courbe rapportée à son centre intérieur, ce qui donnera

D=:E = o et B*<4AC,

pour qu'il y ait une courbe réelle. Les équations à résoudre seront donc

(i) mp -ir j' = 0, /î/? -h a?'-= o, •//î' — j:* — 1 72' — j^ — 1

2 [ma -h jr'^') __P' — ^] — J? .

les deux premières donnent

y = ^ mp, x' ziz-^ np; d'où

Ce qui fait voir déjà que les points démandés sont sur la circonférence d'un grand cercle passant par le centre et perpendiculaire au cercle qui aurait pour équation

Celte circonférence, contenant les points demandés, sera

connue quand nous aurons calculé le rapport — On tirç

aussi des équations

ce qui place les points demandés sur un second cercle

(=^47) concentrique a la courbe, et qui sera connu quand nous aurons trouvé p* et m* -h n*.

Pour avoir le rapport — ? je remplace dans les équations (2) j/ et j' par leurs valeurs, ce qui donne

Si je divise dans les deux premiers rapports la différence des numérateurs par celle des dénominateurs, j'aurai un rapport que je pourrai égaler au troisième, j'aurai donc

posant

j'Airai l'équation

Il faut choisir celle des valeurs de z qui convient à la question 5 or nous avons B* <^4 AC, d'où il est aisé de conclure que i — w* — ti^ est positif, et, d'après le signe de F, que le produit mn est de signe contraire à celui

de B^ il en sera de même pour — Ainsi il faut prendre

celle des valeurs de z qui est de signe contraire avec B. Soit, pour fixer les idées, B <^ o, nous prendrons la racine positive 5 et, si nous supposons A<;C, ce sera la plu& grande : elle sera donc supérieure à 1 ; soit a cette racine, nous aurons m = na. Maintenant l'égalité des deux pre

iers rapports (3)

nous

(a48) donne